[段考] 108下第1次段考-台中-台中二中-高一(詳解)

108下第1次段考-台中-台中二中-高一(詳解)

範圍：第二冊 泰宇2-1,2-2,4-1,4-2

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總分103分，超過100分以100分計算。
一、填充題(每格6分)

1. (1)  筆試平均${{\mu }_{x}}=\displaystyle{\frac{4+5+7+5+9}{5}}=6$$\Rightarrow $$\sqrt{\displaystyle{\frac{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}+{{7}^{2}}+{{5}^{2}}+{{9}^{2}}-5\cdot {{6}^{2}}}{5}}}=\displaystyle{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$
   (2)  $\displaystyle{\frac{4-6}{\frac{4}{5}\sqrt{5}}}=\displaystyle{\frac{-\sqrt{5}}{2}}$
   (3)  口試平均${{\mu }_{y}}=\displaystyle{\frac{3+1+4+3+9}{5}}=4$
   $\Rightarrow $相關係數$=\displaystyle{\frac{{{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}+{{x}_{3}}{{y}_{3}}+{{x}_{4}}{{y}_{4}}+{{x}_{5}}{{y}_{5}}-5\cdot {{\mu }_{x}}{{\mu }_{y}}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+{{x}_{4}}^{2}+{{x}_{5}}^{2}-5\cdot {{\mu }_{x}}^{2}}\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}+{{y}_{4}}^{2}+{{y}_{5}}^{2}-5\cdot {{\mu }_{y}}^{2}}}}$$=\displaystyle{\frac{4\cdot 3+5\cdot 1+7\cdot 4+5\cdot 3+9\cdot 9-5\cdot 6\cdot 4}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}+{{7}^{2}}+{{5}^{2}}+{{9}^{2}}-5\cdot {{6}^{2}}}\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{9}^{2}}-5\cdot {{4}^{2}}}}}$$=\displaystyle{\frac{21}{24}}=\displaystyle{\frac{7}{8}}$
   (4)  $a={{r}_{xy}}\cdot \displaystyle{\frac{{{\sigma }_{y}}}{{{\sigma }_{x}}}}$$=\displaystyle{\frac{{{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}+{{x}_{3}}{{y}_{3}}+{{x}_{4}}{{y}_{4}}+{{x}_{5}}{{y}_{5}}-5\cdot {{\mu }_{x}}{{\mu }_{y}}}{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}+{{x}_{4}}^{2}+{{x}_{5}}^{2}-5\cdot {{\mu }_{x}}^{2}}}$$=\displaystyle{\frac{4\cdot 3+5\cdot 1+7\cdot 4+5\cdot 3+9\cdot 9-5\cdot 6\cdot 4}{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}+{{7}^{2}}+{{5}^{2}}+{{9}^{2}}-5\cdot {{6}^{2}}}}=\displaystyle{\frac{21}{16}}$；迴歸直線通過$({{\mu }_{x}}$，${{\mu }_{y}})=(6$，$4)$$\Rightarrow $$4=6\cdot \displaystyle{\frac{21}{16}}+b$$\Rightarrow $$b=\displaystyle{\frac{-31}{8}}$
   
   
2. 平均漲幅$=\sqrt[n]{(1+{{r}_{1}})(1+{{r}_{2}})\cdots \cdots }-1-$，$20%=\sqrt[3]{(1-20%)(1+60%)(1+r)}-1$$\Rightarrow $${{1.2}^{3}}=0.8\cdot 1.6\cdot (1+r)$$\Rightarrow $$1+r=1.35$$\Rightarrow $$r=35%$
   
   
3. ${{3}^{3}}+{{6}^{3}}+{{9}^{3}}+\cdots \cdots +{{27}^{3}}$$={{3}^{3}}({{1}^{3}}+{{2}^{3}}+\cdots \cdots +{{9}^{3}})$
   
   
4. ${{a}_{1}}=100$，$d=-3$，${{a}_{1}}$，${{a}_{4}}$，${{a}_{7}}$，…形成一新的等差數列，新公差$=-9$，新項數$=\displaystyle{\frac{118-1}{3}}+1=40$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{[2\cdot 100+(40-1)\cdot (-9)]\cdot 40}{2}}=-3020$
   
   
5. ${{a}_{2}}-{{a}_{4}}=-30$得${{a}_{1}}r-{{a}_{1}}{{r}^{3}}=-30$
   ${{a}_{3}}+{{a}_{4}}=12$得${{a}_{1}}{{r}^{2}}+{{a}_{1}}{{r}^{3}}=12$
   $\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{r-{{r}^{3}}}{{{r}^{2}}+{{r}^{3}}}}=-\displaystyle{\frac{5}{2}}$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{1-{{r}^{2}}}{r+{{r}^{2}}}}=-\displaystyle{\frac{5}{2}}$$\Rightarrow $$2{{r}^{2}}-2=5r+5{{r}^{2}}$$\Rightarrow $$3{{r}^{2}}+5r+2=0$$\Rightarrow $$r=-1$或$r=-\displaystyle{\frac{2}{3}}$。若$r=-1$則${{a}_{1}}r-{{a}_{1}}{{r}^{3}}=-30$無解$\Rightarrow $$r=-\displaystyle{\frac{2}{3}}$
   
   
6. $0$到$4$、$4$到$8$、$8$到$12$、……皆向右$2$次$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{2000}{4}}\times 2=1010$(次)
   
   
7. 不計第一小時則金額累加$(24-1)\cdot 2-1=45$次$\Rightarrow $${{a}_{1}}=10$，$r=2$，$n=45$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{10\cdot ({{2}^{45}}-1)}{2-1}}$$=10\times [{{({{10}^{0.3010}})}^{45}}-1]$$=10\cdot {{10}^{13.545}}-10$$={{10}^{14.545}}-10$$\Rightarrow $$k=14$
   
   
8. 這邊說明「標準化數據之平方和$=n$」。標準化數據${{z}_{i}}=\displaystyle{\frac{{{x}_{i}}-{{\mu }_{x}}}{{{\sigma }_{x}}}}$，故標準差$=\displaystyle{\frac{{{\sigma }_{x}}}{{{\sigma }_{x}}}}=1$、${{\mu }_{z}}={{\mu }_{x}}-{{\mu }_{x}}=0$，則$\sqrt{\displaystyle{\frac{{{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+\cdots \cdots +{{z}_{n}}^{2}-n\cdot {{0}^{1}}}{n}}}=1$，因此平方和${{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+\cdots \cdots +{{z}_{n}}^{2}=n$。
   (A)選項經觀察，平均$\ne 0$，不選；(B)(C)(D)都有$10$筆數據，但(C)(D)之$x$，$y$都介在$-1$與$1$之間$\Rightarrow $選(B)。
   
   
9. 每張圖之白色皆剩下前圖的$\displaystyle{\frac{3}{4}}$$\Rightarrow $圖$5$之白色佔比例$={{(\displaystyle{\frac{3}{4})}^{5}}}=\displaystyle{\frac{243}{1000}}$$\Rightarrow $${{2}^{2}}\cdot (1-\displaystyle{\frac{243}{1024}})=4\cdot \displaystyle{\frac{781}{1024}}=\displaystyle{\frac{781}{256}}$
   
   

二、多重選擇題(全對給6分，錯一個選項給4分，錯二個選項給2分，其餘情形給0分)

1. (A)  資料$II$較資料$I$集中，錯誤
   (B)  $III$為資料$I$之$(-2)$倍$\Rightarrow $${{\sigma }_{3}}=\left| -2 \right|{{\sigma }_{1}}$，錯誤
   (C)  $n$為$2$倍、平方和亦為$2$倍，則標準差$=\sqrt{\displaystyle{\frac{平方和-n{{\mu }^{2}}}{n}}}$會相同
   (D)  將資料開根號始資料更靠近$1$$\Rightarrow $${{\sigma }_{5}}<{{\sigma }_{1}}$，但非直接開方根
   (E)  資料$VI$即將資料$I$以$100$減去$\Rightarrow $${{\sigma }_{6}}={{\sigma }_{1}}$，正確。
   
   
2. 必須過$(4$，$9)$且斜率必須在$\pm \displaystyle{\frac{{{\sigma }_{y}}}{{{\sigma }_{x}}}}$之間，即$\pm 2$之間$\Rightarrow $(D)(E)正確
   
   
3. 在迴歸直線上的點經線性調整依然在直線上。若經適當調整可知$C$點會落在迴歸直線上。
   
   

三、計算證明題(13分)

1. (1)  ${{a}_{2}}={{a}_{1}}+\displaystyle{\frac{1}{2\cdot 3}}=\displaystyle{\frac{2}{3}}$
   ${{a}_{3}}={{a}_{2}}+\displaystyle{\frac{1}{3\cdot 4}}=\displaystyle{\frac{3}{4}}$
   (2)  猜測${{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{n}{n+1}}$
   (3)  當$n=1$時${{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{1}{1+1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}$成立；
   令$n=k$時，${{a}_{k}}=\displaystyle{\frac{k}{k+1}}$成立；
   則當$n=k+1$時，${{a}_{k+1}}$$={{a}_{k}}+\displaystyle{\frac{1}{(k+1)(k+2)}}$$=\displaystyle{\frac{k}{k+1}}+\displaystyle{\frac{1}{(k+1)(k+2)}}$$=\displaystyle{\frac{{{k}^{2}}+2k}{(k+1)(k+2)}}+\displaystyle{\frac{1}{(k+1)(k+2)}}$$=\displaystyle{\frac{{{k}^{2}}+2k+1}{(k+1)(k+2)}}$$=\displaystyle{\frac{{{(k+1)}^{2}}}{(k+1)(k+2)}}$$=\displaystyle{\frac{k+1}{k+2}}$$=\displaystyle{\frac{k+1}{(k+1)+1}}$