108下第1次段考-台中-台中二中-高一(詳解)
範圍:第二冊 泰宇2-1,2-2,4-1,4-2



總分103分,超過100分以100分計算。
一、填充題(每格6分)
- (1) 筆試平均μx=4+5+7+5+95=6⇒√42+52+72+52+92−5⋅625=4√55
(2) 4−645√5=−√52
(3) 口試平均μy=3+1+4+3+95=4
⇒相關係數=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5−5⋅μxμy√x12+x22+x32+x42+x52−5⋅μx2√y12+y22+y32+y42+y52−5⋅μy2=4⋅3+5⋅1+7⋅4+5⋅3+9⋅9−5⋅6⋅4√42+52+72+52+92−5⋅62√32+12+42+32+92−5⋅42=2124=78
(4) a=rxy⋅σyσx=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5−5⋅μxμyx12+x22+x32+x42+x52−5⋅μx2=4⋅3+5⋅1+7⋅4+5⋅3+9⋅9−5⋅6⋅442+52+72+52+92−5⋅62=2116;迴歸直線通過(μx,μy)=(6,4)⇒4=6⋅2116+b⇒b=−318
- 平均漲幅=n√(1+r1)(1+r2)⋯⋯−1−,20⇒1.23=0.8⋅1.6⋅(1+r)⇒1+r=1.35⇒r=35
- 33+63+93+⋯⋯+273=33(13+23+⋯⋯+93)
- a1=100,d=−3,a1,a4,a7,…形成一新的等差數列,新公差=−9,新項數=118−13+1=40⇒[2⋅100+(40−1)⋅(−9)]⋅402=−3020
- a2−a4=−30得a1r−a1r3=−30
a3+a4=12得a1r2+a1r3=12
⇒r−r3r2+r3=−52⇒1−r2r+r2=−52⇒2r2−2=5r+5r2⇒3r2+5r+2=0⇒r=−1或r=−23。若r=−1則a1r−a1r3=−30無解⇒r=−23
- 0到4、4到8、8到12、……皆向右2次⇒20004×2=1010(次)
- 不計第一小時則金額累加(24−1)⋅2−1=45次⇒a1=10,r=2,n=45⇒10⋅(245−1)2−1=10×[(100.3010)45−1]=10⋅1013.545−10=1014.545−10⇒k=14
- 這邊說明「標準化數據之平方和=n」。標準化數據zi=xi−μxσx,故標準差=σxσx=1、μz=μx−μx=0,則√z12+z22+⋯⋯+zn2−n⋅01n=1,因此平方和z12+z22+⋯⋯+zn2=n。
(A)選項經觀察,平均≠0,不選;(B)(C)(D)都有10筆數據,但(C)(D)之x,y都介在−1與1之間⇒選(B)。
- 每張圖之白色皆剩下前圖的34⇒圖5之白色佔比例=(34)5=2431000⇒22⋅(1−2431024)=4⋅7811024=781256
二、多重選擇題(全對給6分,錯一個選項給4分,錯二個選項給2分,其餘情形給0分)
- (A) 資料II較資料I集中,錯誤
(B) III為資料I之(−2)倍⇒σ3=|−2|σ1,錯誤
(C) n為2倍、平方和亦為2倍,則標準差=√平方和−nμ2n會相同
(D) 將資料開根號始資料更靠近1⇒σ5<σ1,但非直接開方根
(E) 資料VI即將資料I以100減去⇒σ6=σ1,正確。
- 必須過(4,9)且斜率必須在±σyσx之間,即±2之間⇒(D)(E)正確
- 在迴歸直線上的點經線性調整依然在直線上。若經適當調整可知C點會落在迴歸直線上。
三、計算證明題(13分)
- (1) a2=a1+12⋅3=23
a3=a2+13⋅4=34
(2) 猜測an=nn+1
(3) 當n=1時a1=11+1=12成立;
令n=k時,ak=kk+1成立;
則當n=k+1時,ak+1=ak+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2)=k2+2k(k+1)(k+2)+1(k+1)(k+2)=k2+2k+1(k+1)(k+2)=(k+1)2(k+1)(k+2)=k+1k+2=k+1(k+1)+1
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