[段考] 108下第1次段考-台中-台中二中-高一(題目)

108下第1次段考-台中-台中二中-高一(題目)

範圍：第二冊 泰宇2-1,2-2,4-1,4-2

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總分103分，超過100分以100分計算。
一、填充題(每格6分)

1. 老師注意到申請入學考生的筆式成績似乎與其口試成績有關，因此隨機抽選了$5$位考生，其筆試與口試成績如下表。

   考生	甲	乙	丙	丁	戊
   筆試成績(分)	$4$	$5$	$7$	$5$	$9$
   口試成績(分)	$3$	$1$	$4$	$3$	$9$

   試回答下列各題：
   (1)  這五位學生筆試成積的標準差為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$分。
   (2)  甲生的筆試成績標準化後為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (3)  這五位學生筆試成績與口試成績的相關係數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (4)  若口試成績對筆試成積的迴歸直線方程式為$y=ax+b$，則$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 油價在連續三年的年平均漲幅為$20\%$。已知第一年油價跌$20\%$，第二年油價漲$60\%$，則第三年油價漲$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\%$。
   
   
3. ${{3}^{3}}+{{6}^{3}}+{{9}^{3}}+{{12}^{3}}+...+{{27}^{3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 已知等差數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$：$100$，$97$，…，則${{a}_{1}}+{{a}_{4}}+{{a}_{7}}+...+{{a}_{118}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知等比級數$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$滿足${{a}_{2}}-{{a}_{4}}=-30$，${{a}_{3}}+{{a}_{4}}=12$，則公比為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 從$0$開始，依照先向上、向右、向下、再向右的規律，將所有整數依序排列如下圖所示。則從$0$排倒$2020$共經過$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$次向右。
   
   
   
   
   
7. 高雄市環保局曾於$103$年提議於$104$年元旦起要將$city$ $bike$的收費標準改為「使用一卡通或信用卡租借第$1$小時免費、第$60$至$90$分鐘新台幣$10$元、第$90$至$120$分鐘新台幣$20$元、第$120$至$150$分鐘新台幣$40$元、第$150$至$180$分鐘新台幣$80$元；每半小時費率倍數增加，依此類推」。已知在此新制下，使用一卡通租借$23$小時又$59$分鐘的$city$ $bike$需要支付的金額介於${{10}^{k}}$～${{10}^{k+1}}$元，其中$k$為正整數，則$k=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(註：$2\approx {{10}^{0.301}}$)
   
   
8. 下列哪一個選項最有可能是二維數據經過標準化後的散布圖?(補：圖中座標軸上的點為長度1的點)
   (A)  
   
   
   
   (B)  
   
   
   
   (C)  
   
   
   
   (D)  
   
   
   
   
   
9. 取一個邊長為$2$公分的白色正方形，將其等分成$4$個相同的正方形，然後將左上的正方形塗成黑色(第$1$圖)；接著將剩下的$3$個白色小正方形，分別等分成$4$個相同的更小正方形，並將左上更小的正方形塗成黑色(第$2$圖)。重複這樣的步驟，如下圖所示。
   
   
   
   依此規律可畫出第$4$圖、第$5$圖，則第$5$圖所有黑色正方形的面積和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方公分。
   
   

二、多重選擇題(全對給6分，錯一個選項給4分，錯二個選項給2分，其餘情形給0分)

1. 已知
   資料$I$：$20$，$30$，$54$，$87$，$99$的算術平均數為$\mu$，標準差為${{\sigma }_{1}}$；
   資料$II$：$\mu$，$20$，$30$，$54$，$87$，$99$的標準差為${{\sigma }_{2}}$；
   資料$III$：$-40$，$-60$，$-108$，$-174$，$-198$的標準差為${{\sigma }_{3}}$；
   資料$IV$：$20$，$20$，$30$，$30$，$54$，$54$，$87$，$87$，$99$，$99$的標準差為${{\sigma }_{4}}$；
   資料$V$：$\sqrt{20}$，$\sqrt{30}$，$\sqrt{54}$，$\sqrt{87}$，$\sqrt{99}$的標準差為${{\sigma }_{5}}$；
   資料$VI$：$80$，$70$，$46$，$13$，$1$的標準差為${{\sigma }_{6}}$；
   下列哪些選項是正確的？
   (A)  ${{\sigma }_{2}}={{\sigma }_{1}}$
   (B)  ${{\sigma }_{3}}=-2{{\sigma }_{1}}$
   (C)  ${{\sigma }_{4}}={{\sigma }_{1}}$
   (D)  ${{\sigma }_{5}}=\sqrt{{{\sigma }_{1}}}$
   (E)  ${{\sigma }_{6}}={{\sigma }_{1}}$
   
   
2. 今有資料數對(${{x}_{1}}$，${{y}_{1}}$)，(${{x}_{2}}$，${{y}_{2}}$)，…，(${{x}_{100}}$，${{y}_{100}}$)，已知${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…，${{x}_{100}}$的算術平均數為$4$，標準差為$5$；${{y}_{1}}$，${{y}_{2}}$，…，${{y}_{100}}$得算術平均數為$9$，標準差為$10$，(${{x}_{1}}$，${{y}_{1}}$)$=$($2$，$3$)則下列哪些直線可能是這些資料數對的迴歸直線？
   (A)  $y=x+1$
   (B)  $y=3x-3$
   (C)  $y=-2.5x+19$
   (D)  $y=1.5x+3$
   (E)  $y=-0.01x+9.04$
   
   
3. $A$，$B$，$C$，$D$，$E$為坐標平面上$5$個點，已知這$5$點的$y$坐標對$x$坐標的迴歸直線恰與直線$L$平行，若$A$，$B$，$C$在直線$L$的上半平面，$D$，$E$在直線$L$的下半面，且這$5$點到直線$L$的鉛垂線段長度分別為$4$，$3$，$1$，$1$，$2$，則這$5$點哪些點會落在迴歸直線上？
   
   
   
   (A)  $A$點
   (B)  $B$點
   (C)  $C$點
   (D)  $D$點
   (E)  $E$點
   
   

三、計算證明題(13分)

1. 設數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$滿足遞洄式$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}} & {} \\ {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+\displaystyle{\frac{1}{(n+1)(n+2)}} & n\ge 1 \\ \end{array} \right.$
   (1)  求${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$的值。($2$分)
   (2)  猜測一般項${{a}_{n}}$的公式。($2$分)
   (3)  使用數學歸納法驗證你的猜測。($9$分)