[段考] 108下第1次段考-台北-和平高中-高一(題目)

108下第1次段考-台北-和平高中-高一(題目)

範圍：第二冊 龍騰1,2,8,9

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一、多重選擇題：(每格5分，共15分)(全對得5分，答錯一個選項得3分，答錯兩個選項得1分，其餘0分計)

1. 已知數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $的前$n$項和${{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots \cdots +{{a}_{n}}=n{{(n+1)}^{2}}$，選出所有正確的選項。
   (A)  $\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為等比數列
   (B)  $\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為等差數列
   (C)  ${{a}_{3}}-{{a}_{2}}<{{a}_{6}}-{{a}_{5}}$
   (D)  ${{a}_{6}}<{{a}_{5}}+{{a}_{4}}$
   (E)  ${{a}_{10}}<300$
   
   
2. 某公司$216$員工的薪資分配如下表。選出所有正確的選項

   薪資(千元)	${25}$	${28}$	${35}$	${39}$	${42}$	${46}$	${51}$	${55}$
   員工數	${20}$	${34}$	${21}$	${22}$	${26}$	${39}$	${32}$	${22}$

   (A)  ${{Q}_{1}}=31.5$
   (B)  ${{Q}_{3}}=46$
   (C)  ${{P}_{35}}=35$
   (D)  ${{P}_{45}}=42$
   (E)  ${{P}_{90}}=53$
   
   
3. 關於相關係數及回歸直線的敘述，選出正確的選項。
   (A)  兩變量$x$與$y$的相關係數不受單位影響
   (B)  當兩變量$x$與$y$的相關係數愈大時，代表$x$與$y$的相關度愈強
   (C)  迴歸直線$y=mx+k$中的斜率變動範圍在$-1$與$1$之間
   (D)  若兩變量$x$與$y$的數據皆滿足$2x+y=3$，則$x$與$y$的相關係數$r=1$
   (E)  若$x$與$y$的相關係數$r>0$，則$y$對$x$的回歸直線的斜率$m>0$
   
   

二、填充題：(每格5分，共75分)

1. 設三正整數成等差數列且總和為$24$，若此三數依序加上$1$，$2$，$12$後會成等比數列，則此三數中最大的數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 如圖，以正方形${{T}_{1}}$各邊中點為頂點連成四邊形${{T}_{2}}$，再以${{T}_{2}}$各邊中點為頂點連成四邊形${{T}_{3}}$，如此繼續下去，可得一系列的正方形${{T}_{1}}$，${{T}_{2}}$，${{T}_{3}}$，……，若${{a}_{n}}$表正方形${{T}_{n}}$的面積且${{T}_{1}}$的邊長為$64$，則${{a}_{10}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
   
   
   
3. 若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為等比數列，滿足${{a}_{3}}-{{a}_{1}}=16$，${{a}_{2}}+{{a}_{3}}=12$，則${{a}_{4}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為等比數列，且${{a}_{2}}=12$且${{a}_{4}}=18$，則此等比數列前五項的和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 若等比數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $的首項為$3$，末項為$768$， 和為$513$，則此等比數列的公比為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 求連續正奇數的平方和${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}+\cdots \cdots +{{37}^{2}}+{{39}^{2}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 某次期中考試共有$20$題，每題$5$分，改完考卷得全班算術平均數為$40$分，標準差為$10$分，今老師將計分方式改為每題答對可得$6$分，且將每人的總分一律加$16$分。(假設調整後的分數均不超過$100$分)若調整後的算術平均數為$\mu $且標準差為$\sigma $，則數對$(\mu $，$\sigma )=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 以上$40$位同學某次數學平常考試成績的次數分配入下表。

   成績	${20}$	${30}$	${40}$	${50}$	${60}$	${70}$	${80}$	${90}$	${100}$
   次數	${1}$	${7}$	${3}$	${a}$	${b}$	${5}$	${6}$	${4}$	${2}$

   若眾數為$50$分，中位數為$60$分，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 求五個數$32$，$38$，$41$，$44$，$50$的標準差$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 兩變量$x$與$y$的數據如下表：

    ${x}$	${6}$	${7}$	${8}$	${9}$	${10}$
    ${y}$	${8}$	${8}$	${11}$	${8}$	${10}$

    求
    (1)  $x$與$y$的相關係數$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    (2)  $y$對$x$的迴歸直線方程式$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 設有$n$組數據$({{x}_{i}}$，${{y}_{i}})$，$i=1$，$2$，……，$n$，兩變量$x$與$y$的算數平均數分別為${{\mu }_{x}}=7$，${{\mu }_{y}}=6$，標準差分別為${{\sigma }_{x}}=6$，${{\sigma }_{y}}=10$。若$y$對$x$的迴歸直線過點$(10$，$2)$，則兩變量$x$與$y$的相關係數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 某班段考國文，數學與英文的算術平均數和標準差如下表。

    	國文	數學	英文
    算術平均數	${70}$	${68}$	${60}$
    標準差	${8}$	${5}$	${4}$

    已知班上甲生此次段考國文成績為$81$分，數學成績為$75$分與英文成績為$66$分，相對於全班，甲生在這三科中，$A$科目表現最好，$B$科目表現最差，則$A$，$B$依序為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(要填寫國文、數學或英文)
    
    
13. 若等比級數$2+2\times 3+2\times {{3}^{2}}+2\times {{3}^{3}}+\cdots \cdots +2\times {{3}^{49}}$的和為$S$，則$S$為幾位數$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。($log3\approx 0.4771$)
    
    
14. 已知$9$個人的數學成績，其算術平均數為$56$分，標準差為$4$分，且其中$7$個人的成績為$50$，$52$，$54$，$55$，$57$，$60$，$62$，求另外兩個人的成績$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、計算題：(每題10分)

1. 使用數學歸納法證明：對於所有的正整數$n$，${{a}_{n}}={{3}^{2n-1}}+1$恆為$4$的倍數。