108下第1次段考-宜蘭-宜蘭高中-高一(題目)

範圍：第二冊翰林1-1~1-3

答案詳解　(※索取各種題目檔案請來信索取。)

第壹部分：共90分(每題6分，共15題)

以下表格請填入正弦、餘弦、正切値(填至答案卷中)，每格皆正確共得一題分，錯一格共得半題分、錯兩格以上不給分。

	$0{}^\circ $	$15{}^\circ $	$30{}^\circ $	$75{}^\circ $	$120{}^\circ $
$sin\theta $		$\displaystyle{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$		$\displaystyle{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
$cos\theta $		$\displaystyle{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$		$\displaystyle{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
$tan\theta $		$2-\sqrt{3}$		$2+\sqrt{3}$

已知$\theta $為銳角，且$cos\theta =\displaystyle{\frac{1}{4}}$，則$tan\theta =$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
圓$C$以原點為圓心，圓上有一點$P(-\sqrt{3}$，$1)$，若$P$點的極座標為$[r$，$\theta ]$，且$r>0$，$0{}^\circ \le \theta <360{}^\circ $，則$[r$，$\theta ]=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
如右圖的三角形，已知$\overline{BC}=2\sqrt{3}+6$，$\angle B=60{}^\circ $，$\angle C=45{}^\circ $，則

(1) $\overline{AC}$的長度為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(2) 此三角形之外接圓圓面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方單位。
若$\vartriangle ABC$中，$\overline{AB}=2$，$\overline{AC}=\sqrt{5}$，且$cosA=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}}}$，則$\vartriangle ABC$的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(複選題)請選出正確選項?(選項皆正確得6分，錯一個選項得3題分、錯兩個以上不給分。)
(A)  $sin70{}^\circ <sin50{}^\circ $
(B)  $cos70{}^\circ <cos50{}^\circ $
(C)  $sin120{}^\circ <cos120{}^\circ $
(D)  $cos50{}^\circ <\displaystyle{\frac{1}{2}}$
(E)  $sin85{}^\circ <\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
(F)  $tan345{}^\circ <sin15{}^\circ $
若$co{{s}^{2}}27{}^\circ +\displaystyle{\frac{1-sin27{}^\circ }{cos27{}^\circ }}+co{{s}^{2}}63{}^\circ +\displaystyle{\frac{sin63{}^\circ }{1-cos63{}^\circ }}=A+\displaystyle{\frac{B}{cos27{}^\circ }}$，則$A+B=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
已知$sin\theta =0.7$，則$sin(-\theta )+sin(180{}^\circ -\theta )+cos(90{}^\circ +\theta )=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
已知直線$L$的斜角為$30{}^\circ $，並通過$(-1$，$2)$，則原點$O$到直線$L$的距離為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
已知$sin\theta +cos\theta =\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$\theta $為第二象限角，則$sin\theta =$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
已知正三角形$ABC$邊長為$10$，設$D$為射線$\overrightarrow{AB}$上一點，且$\angle BDC=15{}^\circ $，則$\overline{CD}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
操場的旗桿垂直地面並高$8$公尺，旁邊有一土堆，由側面看過去土堆是邊長$3$，$4$，$5$公尺的直角三角形，如右圖。則土堆頂點離杆頂$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公尺。
設$225{}^\circ <\theta <270{}^\circ $，且$1+si{{n}^{2}}\theta +2co{{s}^{2}}\theta =7sin\theta cos\theta $，則$tan\theta =$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
如右圖所示，在$\vartriangle ABC$中，已知$\angle CAB=90{}^\circ $，$\overline{AB}=5$，$\overline{AC}=12$。今分別以$\overline{BC}$與$\overline{AC}$為邊長往外作正方形$BCDE$與正方形$ACGF$，則$\overline{DG}$的長度為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

第貳部分，共10分

數學素養題：
西方海龍公式流傳已久，但在中國也出現過一個與海龍公式等價的公式，那就是秦九韶的三斜求積術。《數書九章》被列為宋元數學的代表作之一，此算書的第五卷─田域類的第二題「三斜求積」，就是已知三角形三邊之長，求其面積的題目。秦九韶提出著名的「三斜求積術」
問曰：沙田一段有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何?
答曰：田積三百一十五頃
術曰：以少廣求之。以小斜冪並大斜冪減中斜冪逾半之自乘於上以小斜冪乘大斜冪減上餘四約之為實一為從隅開方得積
由於在本文中，秦九韶只給出公式，沒有推導過程，那麼這個公式究竟如何產生呢?
雖然歷史並無定論，請同學以本章所學習到的術學知識，將以下各個證明步驟，依正確順序排列。完全正確得4分，錯兩個得3分，錯三個以上不給分。

(A)  $\Rightarrow $${{h}_{a}}=\sqrt{{{c}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{{{c}^{2}}-{{[\displaystyle{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2a}}]}^{2}}}$
(B)  將方程組依代入消去法可得：$x=\displaystyle{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2a}}$
(C)  即$\vartriangle ABC$面積為$\sqrt{\displaystyle{\frac{1}{4}}[{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{(\displaystyle{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2}})}^{2}}]}$
(D)  以知$\vartriangle ABC$邊長如附圖，並以最大內角作此三角形之高，不失一般性，令此高度長為${{h}_{a}}$
(E)  $\therefore $$\vartriangle ABC$面積為$\displaystyle{\frac{1}{2}}\cdot a\cdot {{h}_{a}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\cdot a\cdot \sqrt{{{c}^{2}}-{{[\displaystyle{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2a}}]}^{2}}}$
(F)  由畢氏定理得知：$\left\{ \begin{array}{l}
x=a-y \\
{{h}_{a}}^{2}={{b}^{2}}-{{y}^{2}} \\
{{h}_{c}}^{2}={{c}^{2}}-{{x}^{2}} \\
\end{array} \right.$
※本題改編自HPM通訊：海龍公式專輯。原文網址：https://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/904.pdf
※本題圖形網址：https://baike.baidu.com/item/%E6%B5%B7%E4%BC%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F

數學素養題：完全正確得6分，答錯不給分。
自動卸貨車的車箱採用液壓機構，設計時要計算油泵桿$\overline{BC}$的長度。如右圖，車箱最大仰角為$60{}^\circ $，油泵桿頂點$B$與車箱支點$A$之間的距離為$2.00$公尺，$\overline{AB}$與水平線之間的夾角$6{}^\circ $，$\overline{AC}$長為$1.50$公尺，則$\overline{BC}$長為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公尺。(四捨五入至小數點後第二位)

※本題改編自九章出版社之平面幾何新路張景中先生著
※參考數據：

$sin66{}^\circ \doteqdot0.9135$	$cos66{}^\circ \doteqdot0.4067$	$tan66{}^\circ \doteqdot2.2460$
$\sqrt{3.8098}\doteqdot1.9519$	$\sqrt{4.1092}\doteqdot2.0271$	$\sqrt{5.0102}\doteqdot2.2383$
$\sqrt{6.5149}\doteqdot2.5524$	$\sqrt{7.3540}\doteqdot2.7118$	$\sqrt{8.6902}\doteqdot2.9479$

Ray's, 108課綱高中數學研究

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2020年4月29日星期三

[段考] 108下第1次段考-宜蘭-宜蘭高中-高一(題目)

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