[段考] 108上第1次段考-台北-建國中學-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-建國中學-高一(詳解)

範圍：自編

　 　

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一、是非題(佔40分)第1至20題為是非題，每題答對得2分，若該題敘述正確請打「$\bigcirc $」，錯誤請打「$\times $」

1. 正確，$0.\bar{9}=1$
   
   
2. $336={{2}^{4}}\times 3\times 7$，$273=3\times 7\times 13$，故$\displaystyle{\frac{273}{336}}=\displaystyle{\frac{13}{{{2}^{4}}}}$，分母僅為$2$或$5$的冪次，為有限小數，正確。
   
   
3. 錯誤，必須要是$m$、$n$為整數。
   
   
4. 錯誤。反例：$a=\sqrt{2}$、$b=-1$
   
   
5. 因$\sqrt[3]{q({{q}^{2}}+3q+3)+1}$$=\sqrt[3]{{{q}^{3}}+3{{q}^{2}}+3q+1}$$=\sqrt[3]{{{(q+1)}^{3}}}$$=q+1$，若$q$為有理數，則$q+1$亦為有理數，正確。
   
   
6. 錯誤。反例：$a=\sqrt{2}$、$b=-\sqrt{2}$。
   
   
7. 根據內分點公式，正確
   
   
8. 錯誤，必須要$z>0$才正確
   
   
9. 正確，$ab=\left| ab \right|$代表$a$、$b$同號，故$\left| a+b \right|=\left| a \right|+\left| b \right|$
   
   
10. 錯誤，負數無法
    
    
11. 錯誤，${{a}^{\frac{2}{5}}}\cdot {{a}^{\frac{5}{2}}}={{a}^{\frac{29}{10}}}\ne 1$
    
    
12. 底數$1.1>1$，但$\displaystyle{\frac{4}{5}}< \displaystyle{\frac{5}{6}}$，故${{1.1}^{\frac{4}{5}}}<{{1.1}^{\frac{5}{6}}}$，錯誤
    
    
13. 因${{10}^{0}}=1$，正確
    
    
14. ${{10}^{3log5}}={{({{10}^{log5}})}^{3}}={{5}^{3}}=125$、${{({{10}^{log2}})}^{7}}={{2}^{7}}=128$，錯誤
    
    
15. $log\sqrt[3]{100}=log{{10}^{\frac{2}{3}}}=\displaystyle{\frac{2}{3}}=0.\bar{6}$，正確
    
    

第16至20題為題組，請閱讀以下資料，並根據這些資料，回答第16至20題。

16. 由上述結果可知，不管$1$或$0$經過任何組合運算後依然為$1$或$0$，正確。
    
    
17. $(1+0)\cdot (0+0)$$=0\cdot 0$$=0$，錯誤
    
    
18. 如下表列舉法，正確
    

    $a$	$b$	$c$	$(a+b)+c$	$a+(b+c)$
    $0$	$0$	$0$	$0$	$0$
    $0$	$0$	$1$	$1$	$1$
    $0$	$1$	$0$	$1$	$1$
    $0$	$1$	$1$	$1$	$1$
    $1$	$0$	$0$	$1$	$1$
    $1$	$0$	$1$	$1$	$1$
    $1$	$1$	$0$	$1$	$1$
    $1$	$1$	$1$	$1$	$1$

    
    
19. 如下表列舉法，正確
    

    $a$	$b$	$c$	$a\cdot (b+c)$	$(a\cdot b)+(a\cdot c)$
    $0$	$0$	$0$	$0$	$0$
    $0$	$0$	$1$	$0$	$0$
    $0$	$1$	$0$	$0$	$0$
    $0$	$1$	$1$	$0$	$0$
    $1$	$0$	$0$	$0$	$0$
    $1$	$0$	$1$	$1$	$1$
    $1$	$1$	$0$	$1$	$1$
    $1$	$1$	$1$	$1$	$1$

    
    
20. 可以先觀察「$\cdot $」具有交換率；再根據上述兩題可知，$(a+b)\cdot (a+b)$$=(a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b$$=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=(a\cdot a)+(a\cdot b)+(b\cdot a)+(b\cdot b)$，正確。
    
    

二、填充題(佔36分)說明：第21至26題為填充題，每題答對得6分，答案請化為最簡的形式，否則不給分。

21. 根據定義，${{10}^{k}}=121$，則$0.00121=\displaystyle{\frac{121}{100000}}=\displaystyle{\frac{{{10}^{k}}}{{{10}^{5}}}}={{10}^{k-5}}$，故$log0.00121=k-5$
    
    
22. 由$-3\le x\le 1$可知$\left| x-(-1) \right|\le 2$$\Rightarrow $$\left| x+1 \right|\le 2$$\Rightarrow $$\left| -x-1 \right|\le 2$，則$a=-1$，$b=2$
    
    
23. $\displaystyle{\frac{1}{3-\sqrt{5}}}=\displaystyle{\frac{3+\sqrt{5}}{4}}=\displaystyle{\frac{5.\cdots }{4}}=1.\cdots $，故$a=1$、$b=\displaystyle{\frac{3+\sqrt{5}}{4}}-1=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}$，故${{a}^{2}}+2ab+3{{b}^{2}}$$=3{{b}^{2}}+2b+1$$=3\cdot \displaystyle{\frac{6-2\sqrt{5}}{16}}+2\cdot \displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}+1$$=\displaystyle{\frac{9-3\sqrt{5}}{8}}+\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}+1$$=\displaystyle{\frac{13+\sqrt{5}}{8}}$
    
    
24. $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，$\displaystyle{\frac{1}{x}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，故$x+\displaystyle{\frac{1}{x}}=2\sqrt{3}$、${{x}^{2}}-1+\displaystyle{\frac{1}{x}}={{(x+\displaystyle{\frac{1}{x})}}^{2}}-3=12-3=9$，故${{x}^{3}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}=(x+\displaystyle{\frac{1}{x}}))({{x}^{2}}-1+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\_=2\sqrt{3}\cdot 9=18\sqrt{3}$
    
    
25. 原式$({{a}^{-3}}+{{2}^{3}})({{a}^{-3}}-{{2}^{3}})\div [{{(4a+{{a}^{-1}})}^{2}}-4]-{{({{a}^{-2}}-2)}^{2}}$$=\displaystyle{\frac{({{a}^{-1}}+2)({{a}^{-2}}-2{{a}^{-1}}+4)({{a}^{-1}}-2)({{a}^{2}}+2a+4)}{(4a+{{a}^{-1}}+2)(4a+{{a}^{-1}}-2)}}-{{({{a}^{-2}}-2)}^{2}}$$={{a}^{-2}}({{a}^{-1}}+2)({{a}^{-1}}-2)$ $={{a}^{-4}}-4{{a}^{-2}}-{{a}^{-4}}+4{{a}^{-2}}-4$$=-4$
    
26. ${{10}^{0.3010}}\approx 2$，故${{10}^{200}}\approx {{({{10}^{0.3010}})}^{664.45}}={{2}^{664.45}}$，進位後為$665$位數。
    
    

三、計算證明題(佔24分)說明：第27至28題為計算證明題，第27題佔14分，第28題佔10分。

27. 若$x\le -3$，則$-2x-6-x+2\ge 6$得$x\le -\displaystyle{\frac{10}{3}}$，解交集得$x\le -\displaystyle{\frac{10}{3}}$；
    若$-3<x\le 2$，則$2x+6-x+2\ge 6$得$x\ge -2$，解交集得$-2\le x\le 2$
    若$2<x$，則$2x+6+x-2\ge 6$得$x\ge \displaystyle{\frac{2}{3}}$，解交集得$x>2$
    上述三段取聯集得$x\le -\displaystyle{\frac{10}{3}}$或$x\ge -2$
    
    
28. 令底面寬度分別為$x$與$y$，則$10xy=360$，底面積為$xy=36$，側面積為$20x+20y$，故表面積為$20x+20y+xy$$=20x+20y+36$$\ge 2\sqrt{400xy}+36$$=240+36$$=276$，此時$20x=20y$，且$x=y=6$。