[段考] 108上第1次段考-台北-建國中學-高一(題目)

108上第1次段考-台北-建國中學-高一(題目)

範圍：自編

　 　

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一、是非題(佔40分)第1至20題為是非題，每題答對得2分，若該題敘述正確請打「$\bigcirc$」，錯誤請打「$\times$」

1. $0.\bar{9}=1$。
   
   
2. $\displaystyle{\frac{273}{336}}$可化為有限小數。
   
   
3. 能表示成$\displaystyle{\frac{n}{m}}$的數($m\ne 0$且$m$、$n$為實數)，就是有理數。
   
   
4. 設$a$、$b$為實數，若$a+b\sqrt{2}=0$，則$a=b=0$。
   
   
5. 設$q$為有理數且$q>0$，則$\sqrt[3]{q({{q}^{2}}+3q+3)+1}$為有理數。
   
   
6. 設$a$、$b$為實數，若$a+b$為有理數且$a-b$為無理數，則${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$為無理數。
   
   
7. 設$a$、$b$為實數且$a<b$，則$a< \displaystyle{\frac{a\sqrt{3}+b\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}<b$。
   
   
8. 設$x$，$y$，$z$為實數，則$x>y$$\Leftrightarrow$$xz>yz$。
   
   
9. 設$a$、$b$為實數，若$ab=\left| ab \right|$，則$\left| a+b \right|=\left| a \right|+\left| b \right|$。
   
   
10. 任何實數都可以表示成$10$的乘冪。
    
    
11. 設$a>0$，則${{a}^{\frac{2}{5}}}$與${{a}^{\frac{5}{2}}}$互為倒數
    
    
12. ${{1.1}^{\frac{4}{5}}}>{{1.1}^{\frac{5}{6}}}$
    
    
13. $log1=0$
    
    
14. ${{10}^{3log5}}>{{10}^{7log2}}$
    
    
15. $log\sqrt[3]{100}=0.\bar{6}$
    
    

第16至20題為題組，請閱讀以下資料，並根據這些資料，回答第16至20題。

我們在課堂上介紹過有理數，也了解到它擁有很多良好的性質(交換率、結合律、分配律、三一律、稠密性、對加減乘除的封閉性…等)，但在電子工程及電腦科學領域，「布林代數」才是數位電路中的數學基礎。在電路中的訊號可分為高、低電壓訊號兩種，當兩個訊號輸入邏輯閘(電路上的某種元件)時，邏輯閘會再輸出一個訊號。此模式可用數學運算來表達，$0$表示低電壓訊號，$1$表示高電壓訊號，而邏輯閘則視為某種定義在$0$和$1$上面運算，不同型式的邏輯閘代表不同運算，如下列兩個例子：


訊號輸入 訊號輸入 訊號輸出 數學運算式 $0$ $0$ $0$ $0\cdot0=0$ $0$ $1$ $0$ $0\cdot1=0$ $1$ $0$ $0$ $1\cdot0=0$ $1$ $1$ $1$ $1\cdot1=1$	訊號輸入 訊號輸入 訊號輸出 數學運算式 $0$ $0$ $0$ $0+0=0$ $0$ $1$ $1$ $0+1=1$ $1$ $0$ $1$ $1+0=1$ $1$ $1$ $1$ $1+1=1$


上述左例的邏輯閘「$\cdot$」運算，右例的邏輯閘「$+$」運算。設$a$、$b$、$c$為$0$或$1$，請根據以上敘述，回答下列問題。


16. 根據上述定義，$0$和$1$在「$\cdot$」運算之下具有封閉性。
    
    
17. $(1+0)\cdot (0+0)=1$
    
    
18. 「$+$」運算具結合律$(a+b)+c=a+(b+c)$。
    
    
19. 「$\cdot$」運算對於「$+$」運算具有左分配律$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$。
    
    
20. 滿足$(a+b)\cdot (a+b)=(a\cdot a)+(a\cdot b)+(b\cdot a)+(b\cdot b)$。
    
    

二、填充題(佔36分)說明：第21至26題為填充題，每題答對得6分，答案請化為最簡的形式，否則不給分。

21. 已知$log121=k$，則$log0.00121$可以用$k$表示為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
22. 已知$\left| ax-1 \right|\le b$的解為$-3\le x\le 1$，$a$，$b$為實數，試求數對$(a$，$b)$為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
23. 設$\displaystyle{\frac{1}{3-\sqrt{5}}}$的整數部分為$a$，小數部分為$b$，試求${{a}^{2}}+2ab+3{{b}^{2}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    
24. 設$x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$，試求${{x}^{3}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    
25. 設$a>0$，試求$({{a}^{-3}}+8)({{a}^{-3}}-8)\div (16{{a}^{2}}+4+{{a}^{-2}})-{{({{a}^{-2}}-2)}^{2}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
26. 請閱讀以下資料，並根據這些資料回答問題：
    (1)  現代人在運算和記憶時，習慣使用十進位，電腦則常用二進位，一個二進位數字的每個位數只可能是$0$或$1$，例如：${{11010}_{(2)}}$，右下角的$(2)$顯示其為二進位數字。十進位數字$89757$可以理解成$7$個$1$、$5$個$10$、$7$個$100$、$9$個$1000$、$8$個$10000$，所以${{89757}_{(10)}}=8\cdot {{10}^{4}}+9\times {{10}^{3}}+7\times {{10}^{2}}+5\times {{10}^{1}}+7\times {{10}^{0}}$。我們可以用類似的方法來理解一個二進位，並將二進位數字轉換為十進位數字，例如：${{11010}_{(2)}}$可以理解成$0$個$1$、$1$個$2$、$0$個$4$、$1$個$8$、$1$個$16$，所以轉換成十進
    位數字可以得到${{11010}_{(2)}}=1\times {{2}^{4}}+1\times {{2}^{3}}+0\times {{2}^{2}}+1\times {{2}^{1}}+0\cdot {{2}^{0}}={{26}_{(10)}}$
    
    (2)  $log2$是一個實數，更進一步說，它是一個無理數，我們可以利用反證法證明。在實務上，我們會取$log2$的近似值為$0.3010$，它是四捨五入到小數點後第四位的結果，所以最右邊的那個$0$並不是寫好玩的。
    
    (3)  「位元」($bit$)是電腦資料的最小儲存單位，一個位元可以記憶二進位數字的一個位數。在不特別將數字資料編碼或壓縮的情況下，一個$n$位數的二進位數字需要用$n$個位元來儲存，例如：${{11010}_{(2)}}$需要用$5$個位元來儲存。
    
    根據以上資料，現有一個十進位數字${{10}^{200}}$，若要將此數字用上述方法儲存在電腦裡，則需要用$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個位元來儲存。
    
    

三、計算證明題(佔24分)說明：第27至28題為計算證明題，第27題佔14分，第28題佔10分。

27. 試以分段討論的方法，解絕對值不等式$2\left| x+3 \right|+\left| x-2 \right|\ge 6$。(將數線分成三段來討論解的情況，用其他方法不給分。)
    
    
28. 建中數學科團隊為慶祝建中121週年校慶，打算設計一款底面為長方形的四角柱水杯(無握柄)，經數學老師討論後，希望此水杯高度為$10$公分，最大容量為$360m{\ell }$(把水杯裝滿的情況下)，且在杯壁厚度忽略不計的情況下，底面和側邊四個面的表面積總和要最小。試問：底面和側邊四個面的表面積總和最小是多少？此時水杯的長、寬分別是幾公分？