[段考] 108上第1次段考-新竹-新竹女中-高一(題目)

108上第1次段考-新竹-新竹女中-高一(題目)

範圍：108上龍騰單元1~單元5

　 答案　 詳解

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一、多重選擇題：至少有一個選項是對的。

1. 關於有理數的運算，下列哪些敘述是正確的?
   (1)  若$a$為有理數，$b$為無理數，則$a+b$為無理數
   (2)  若$a$為有理數，$b$為無理數，則$ab$為無理數
   (3)  若$a+b$為有理數，且$b$為無理數，則$a$為有理數
   (4)  若$ab$為無理數，且$b$為無理數，則$a$為有理數
   (5)  若$a+2b$，$3b+4c$，$5c+6d$皆為有理數，則$b$為有理數
   
   
2. 關於循環小數的敘述，下列哪些選項是正確的?
   (1)  $\displaystyle{\frac{1}{19}}$無法化為循環小數
   (2)  $0.\overline{19}=\displaystyle{\frac{19}{99}}$
   (3)  $0.1\bar{9}=\displaystyle{\frac{19}{90}}$
   (4)  $1.1\bar{9}=0.19\bar{9}$
   (5)  $0.1\bar{9}<0.2$
   
   
3. 設實數$a>1$且滿足$a+{{a}^{-1}}=4$，則下列哪些選項是正確的?
   (1)  ${{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt{6}$
   (2)  $a-{{a}^{-1}}=2\sqrt{3}$
   (3)  ${{a}^{2}}+{{a}^{-2}}=16$
   (4)  ${{a}^{3}}+{{a}^{-3}}=52$
   (5)  ${{a}^{4}}+{{a}^{-4}}=112\sqrt{3}$
   
   
4. 關於指數的運算式，下列哪些選項是正確的?
   (1)  ${{\pi }^{0}}=1$
   (2)  ${{5}^{-2}}=-25$
   (3)  ${{(-8)}^{\frac{1}{3}}}=-2$
   (4)  $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[4]{8}={{2}^{\frac{13}{12}}}$
   (5)  ${{3}^{({{3}^{5}})}}={{3}^{10}}$
   
   
5. 「碳$14$定年法」是利用生物體死亡後，體內的放射性碳$14$會開始進行衰變，其半衰期為$5730\pm 40$年，故可依其殘存的碳$14$含量來推算死亡時間，但此法能測量的時間不超過$6$萬年。小美利用近日所學將上述半衰期$x$的範圍表示為$\left| x-a \right|\le b$，其中$a$，$b\in \mathbb{R}$；並推論該定年法能測量的時間最多只有$n$個半衰期，其中$n\in \mathbb{N}$。則依小美的結論，下列選項哪些是正確的?
   (1)  $a+b=5770$
   (2)  $a-b=5690$
   (3)  $n=11$
   (4)  經過$n$個半衰期後，碳$14$含量為原來的$1/1024$倍
   (5)  生物體內碳$14$含量比率佔全部碳的${{10}^{-12}}$，若死亡經過$n$個半衰期後，該比率會低於${{10}^{-15}}$
   
   

二、填充題：(每題5分，全對才給分，共45分)

1. 設$a$，$b\in \mathbb{R}$，已知不等式$\left| ax-6 \right|>b$的解為$x>2$或$x<-6$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 設$a$，$b$為正實數，已知聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} \left| x+1 \right|<a \\ \left| 2x-5 \right|<b \\ \end{array} \right.$的解為$0<x<2$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設$a$，$b\in \mathbb{Q}$，已知$(2+\sqrt{5})a+(1-\sqrt{5})b=7-\sqrt{5}$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 設$\sqrt{\displaystyle{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}}$的整數部分為$a$，小數部分為$b$，則$\displaystyle{\frac{2}{b}}-a=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 設數線上$A$，$B$，$C$三點的坐標分別為$-2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$x$，且$\overline{AC}$：$\overline{BC}=3$：$2$，則$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(有兩解)
   
   
6. 設正整數$a$的小數部分為$b$，且$a-{{b}^{2}}=2$，則$b=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 設實數$x$滿足方程式$\left| x-2 \right|=2\left| x+1 \right|$，則$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(有兩解)
   
   
8. 設實數$x$滿足不等式$3\le \left| 1-2x \right|<5$，則$x$的範圍為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 已知放射性碘${{I}_{131}}$的半衰期是$8$天，即$8$天後質量會變為原來的一半。設放射性碘${{I}_{131}}$每經過$1$天，質量會變為原來的$a$倍，且$a={{2}^{x}}$，則實數$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 設$a$，$b\in \mathbb{R}$，已知不等式$\left| ax-6 \right|>b$的解為$x>2$或$x<-6$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 設$a$，$b$為正實數，已知聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} \left| x+1 \right|<a \\ \left| 2x-5 \right|<b \\ \end{array} \right.$的解為$0<x<2$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、計算題：須輸寫推論過程，否則不予計分。(每題10分，共20分)

1. 設$x$為實數，試解不等式$\left| x+1 \right|-2\left| x-5 \right|\ge 3$。
   
   
2. 某日，數學課堂上，老師拿了一條長為$60$公分的繩子，問了幾個問題，向來束感頗佳的小沂皆立即有答案。其對話如下：
   老師：用這條繩子圍成任意邊長的矩形，則所圍成的面積是否都相同?
   小沂：不一定。
   老師：如果面積不一定相同，那麼面積是否有最大值?若有，又發生在什麼情況呢?
   小沂：有，當矩形為正方形時面積最大。
   試以數學推論驗證上述小沂的答案。