[段考] 108上第1次段考-嘉義-嘉義女中-高一(題目)

108上第1次段考-嘉義-嘉義女中-高一(題目)

範圍：泰宇1-1~2-1

　 　 詳解

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一、單選題：(每題5分，共計10分)

1. 若正實數$x$、$y$滿足$\log x=3$、$\log y=5$，則$\log ({{x}^{2}}+y)$最接近下列哪一個整數？
   (A)  $4$
   (B)  $5$
   (C)  $6$
   (D)  $7$
   (E)  $8$
   
   
2. 已知$x$，$y$為有理數，且$x+y\sqrt{19+8\sqrt{3}}=x\sqrt{21-12\sqrt{3}}+15\sqrt{3}$，求$x+y$的值？
   (A)  $0$
   (B)  $1$
   (C)  $2$
   (D)  $-1$
   (E)  $-2$
   
   

二、多重選擇題：(每題6分，共計18分)(錯1個選項扣2分，扣至該題0分為止)

1. 試問下列敘述哪些正確？
   (A)  $\displaystyle{\frac{108}{{{5}^{3}}}}$可化為有限小數
   (B)  $138\times {{10}^{7}}$是${{10}^{7}}$量級的數
   (C)  若$\ |a|\ >\ |b|$，則$|a|+\ b>0$
   (D)  ${{(-2)}^{\frac{1}{2}}}={{[{{(-2)}^{2}}]}^{\frac{1}{4}}}={{4}^{\frac{1}{4}}}$
   (E)  若$a$為有理數，$b$為無理數，則$ab$為無理數
   
   
2. 設有三直線${{L}_{1}}$：$ax+by+c=0$、${{L}_{2}}$：$bx-ay+c=0$、${{L}_{3}}$：$bx+ay-c=0$，已知它們在坐標平面上的位置如右圖所示，關於下列選項中的敘述，請選出正確的選項。
   (A)  $P$與$R$垂直
   (B)  $Q$即為${{L}_{2}}$
   (C)  $ab<0$
   (D)  $ac<0$
   (E)  $|a|\ >\ |b|$。
   
   
   
   
   
3. 設正數$x$滿足$logx=7.72$，正數$y$滿足$logy=-7.72$，下列選項何者正確？
   (A)  $x={{10}^{7.72}}$
   (B)  $x$的整數部分為$7$位數
   (C)  $y$值在小數點後第$8$位開始不為$0$
   (D)  $x+y=0$
   (E)  $y$是${{10}^{-8}}$量級的數
   
   

三、填充題：(每格6分，共計72分)

1. 計算：$\displaystyle{\frac{{{2}^{1-\pi }}\times {{8}^{\pi -1}}}{{{4}^{\pi }}}}+{{(2-\sqrt{3})}^{\sqrt{7}}}{{(2+\sqrt{3})}^{\sqrt{7}}}+\log 100\sqrt{10}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 設$x=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$，計算${{x}^{3}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設$a,b$為實數，若不等式$\left| ax+1 \right|<b$的解為$-2<x<12$，則數對$\left( a,b \right)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 解不等式$|2x-5|+|x+4|\ \le 8$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 設$A={{10}^{0.3}}$，$B={{10}^{1.3}}$，$C=3.14\times {{10}^{-1}}$，且已知$\sqrt{5}$介於${{10}^{0.3494}}$和${{10}^{0.3495}}$之間。請比較$\sqrt{5}$、$A$、$B$、$C$等四數的大小關係$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 國際上常用地震規模來衡量地震釋放出的能量，而國內又常以芮氏規模做為報導的主要參考。根據中央氣象局資料，如果設芮氏規模為$r$的地震釋放能量為$E$爾格，則$r$與$E$的數學關係為
   $logE=11.8+1.5r$
   已知$2018$年美國阿拉斯加州大地震的芮氏規模為$7.0$，$2011$年日本仙台外海大地震(三一一大地震)的芮氏規模為$9.0$，請問仙台外海大地震釋放出的能量約為阿拉斯加大地震的$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$倍。
   
   
7. 已知三角形$ABC$的三個頂點坐標$A\left( 1,4 \right)$、$B\left( 5,2 \right)$、$C\left( 3,0 \right)$，若點$D$在$\overline{BC}$上，且$\Delta ABC$面積是$\Delta ABD$面積的$4$倍，求所在的直線$AD$方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 直線$L$：$y=mx+2$與$\overline{AB}$相交，其中$A(3,0)$，$B(-1,-5)$，求實數$m$的範圍為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 若直線$L$與直線$2x+y+5=0$平行，且直線$L$與坐標軸所圍成的三角形面積為$16$，試求其直線方程式。(全對才給分)
   
   
10. 已知在某實驗中，細菌數$1$日後增加為$a$倍，其中$a$為定值。若剛開始觀察時細菌數為${{N}_{0}}$，已知$2$日後細菌數為${{10}^{5}}$、$3\displaystyle{\frac{1}{2}}$日後細菌數為$8\times {{10}^{5}}$，試求$4$日後細菌數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 設矩形$PQRS$，如右圖所示，其中$\overline{PQ}=14$，$\overline{QR}=6$。酷炫想要畫一等腰三角形$ABC$，使得$\overline{AB}=\overline{AC}$，且$P$、$Q$兩點在$\overline{BC}$上，$R$、$S$分別在$\overline{AC}$、$\overline{AB}$上。請問：$A$點必須距離$\overline{BC}$長為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$，三角形$ABC$的面積才有最小值。
    
    
    
    
    
12. 如右圖所示，設$C$點坐標為$(8,12)$，若直線$L$過$C$點且分別交$x$軸、$y$軸於$A$、$B$二點，已知$2\overline{AC}=5\overline{BA}$，則直線$L$的斜率為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。