[段考] 108上第1次段考-台南-台南一中-高一(詳解)

108上第1次段考-台南-台南一中-高一(詳解)

範圍：108上泰宇1-1~2-1

　 　

---

參考數據：絕對溫度$=$攝氏溫度$+273.15$；$\sqrt{2}\approx 1.414$；$\sqrt{3}\approx 1.732$；$log2\approx 0.3010$；$log3\approx 0.4771$；$log5\approx 0.6990$；$log7\approx 0.8451$；$2.204\div 1.496\approx 1.47326203$

一、單選題(每題5分，共10分)

1. $a=\sqrt{8+\sqrt{24}}=\sqrt{8+4.\cdots }=\sqrt{1.2\cdots }=3.\cdots$，選(B)
   
   
2. $1404={{2}^{2}}\times {{2}^{3}}\times 13$，$\displaystyle{\frac{1}{12}}> \displaystyle{\frac{k}{1404}}> \displaystyle{\frac{1}{13}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{117}{1404}}>\displaystyle{\frac{k}{1404}}> \displaystyle{\frac{108}{1404}}$$\Rightarrow$$117>k>108$，又$k$與$1404$互質$\Rightarrow$$k=109$，$113$，$115$$\Rightarrow$共$3$個，選(C)
   
   

二、多選題(每題6分，共12分)

1. 2014年$8$公克、2016年$4$公克可得半衰期為$2$年，且2013年為$8\times \sqrt{2}\approx 8\times 1.414=11.312$。故(A)(C)正確、(B)錯誤。2015年為$8\times \sqrt{2}\times \displaystyle{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}$，(D)錯誤。2023年為$8\sqrt{2}\times {{(\displaystyle{\frac{1}{2}})}^{5}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{4}}\approx \displaystyle{\frac{1.414}{4}}=0.3535$，(E)錯誤。
   
   
2. (A)(B)(C)(E)斜率皆為$-\displaystyle{\frac{2}{3}}$，且過$(1,-2)$，選(A)(B)(C)(E)。
   
   

三、填充題(每格5分，共65分)

1. ${{({{3}^{2}})}^{\frac{2}{3}}}\times {{({{3}^{\frac{1}{2}}})}^{\frac{4}{3}}}={{3}^{\frac{4}{3}}}\times {{3}^{\frac{2}{3}}}={{3}^{2}}=9$
   
   
2. ${{({{10}^{\frac{1}{2}}})}^{-\frac{2}{3}}}\div {{10}^{log2}}\times {{({{10}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{9}{2}}}\div {{({{10}^{\frac{1}{3}}})}^{5}}={{10}^{-\frac{1}{3}}}\div 2\times {{10}^{3}}\div {{10}^{\frac{5}{3}}}=10\div 2=5$
   
   
3. $67={{27}^{\frac{1}{a}}}={{3}^{\frac{3}{a}}}$、$603={{81}^{\frac{1}{b}}}={{3}^{\frac{4}{b}}}$$\Rightarrow$${{3}^{\frac{3}{a}}}\div {{3}^{\frac{4}{b}}}=\displaystyle{\frac{67}{603}}={{3}^{-2}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{3}{a}}-\displaystyle{\frac{4}{b}}=-2$
   
   
4. $-2$與$1$的距離恰為$3$，故解為$x\ge 1$
   
   
5. $6\times {{10}^{-4}}=2\times 3\times {{10}^{-4}}={{10}^{0.301}}\times {{10}^{0.4771}}\times {{10}^{-4}}={{10}^{-3.2219}}$$\Rightarrow$$3.2$
   
   
6. $-8$代入$\left| x+5 \right|+\left| x-b \right|$為$14$，則$b=3$或$-19$；$6$代入$\left| x+5 \right|+\left| x-b \right|$為$14$，則$b=3$或$9$$\Rightarrow$$b=3$；$x=-6$代入即為$a$$\Rightarrow$$\left| -6+5 \right|+\left| -6-3 \right|=10$，$a$即為$10$
   
   
7. $\displaystyle{\frac{2}{13}}=0.\overline{153846}$$\Rightarrow$$100\div 6=16\cdots 4$$\Rightarrow$$8$
   
   
8. $(2.204\times {{10}^{10}})\div (1.496\times {{10}^{8}})\approx 1.473\times {{10}^{2}}=147.3$
   
   
9. $(5x+2y)+(-x-2y)\sqrt{2}=7-3\sqrt{2}$$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{1}5x+2y=7 \\ -x-2y=-3 \end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{1}x=1 \\ y=1 \end{array} \right.$$\Rightarrow$$x+y=2$
   
   
10. $\displaystyle{\frac{({{x}^{2}}-3)+4}{2}}\ge \sqrt{4\cdot ({{x}^{2}}-3)}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-3}}}\ge 4$，此時${{x}^{2}}-3=4$，即$x=\sqrt{7}$、$m=4$
    
    
11. $y=ax+b$過$(0$，$300)$，$(8$，$60)$$\Rightarrow$$a=-30$、$b=300$；$x=10$時$y=-30\times 10+300=0$
    
    
12. ${{10}^{195}}\le {{91}^{100}}<{{10}^{196}}$$\Rightarrow$${{10}^{39}}\le {{91}^{20}}<{{10}^{39.2}}$$\Rightarrow$$40$位數
    
    
13. $\overline{BD}=\sqrt{(3+2\sqrt{3})\cdot (-9+14\sqrt{3})}=\sqrt{57+24\sqrt{3}}=\sqrt{57+2\sqrt{432}}=4\sqrt{3}+3$$\Rightarrow$$a=3$、$b=4$
    
    

四、計算題(第一題7分，第二題6分)

1. (1)  $0.175=k\cdot {{343}^{\frac{2}{3}}}$$\Rightarrow$$k=\displaystyle{\frac{1}{280}}$
   (2)  $0.1=\displaystyle{\frac{1}{280}}\cdot {{7}^{\frac{2}{3}}}$$\Rightarrow$$T={{28}^{\frac{3}{2}}}=56\sqrt{7}$
   
   
2. 若$\sqrt{3}$為有理數，即$\sqrt{3}=\displaystyle{\frac{b}{a}}$，$(a$，$b)=1$，$a$，$b\in \mathbb{Z}$。則$3{{a}^{2}}={{b}^{2}}$$\Rightarrow$${{b}^{2}}$為$3$的倍數，即$b$為$3$的倍數$\Rightarrow$令$b=3k$$\Rightarrow$$3{{a}^{2}}=9{{k}^{2}}$$\Rightarrow$${{a}^{2}}=3{{k}^{2}}$$\Rightarrow$${{a}^{2}}$為$3$的倍數，即$a$為$3$的倍數。此時$(a$，$b)\ge 3$，與假設不符$\Rightarrow$$\sqrt{3}$無法表示為$\displaystyle{\frac{b}{a}}$，$(a$，$b)=1$，$a$，$b\in \mathbb{Z}$的形式，即$\sqrt{3}$為無理數。