[段考] 108上第2次段考-台北-成功高中-高一(題目)

108上第2次段考-台北-成功高中-高一(題目)

範圍：龍騰單元6~單元9

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一、多重選擇題(24%，每一題全對得8分，錯一個選項得6分，錯兩個選項得4分，錯三個選項以上不得分)

1. 甲：$\left\{ \begin{array}{l}
   -2x+y-4<0 \\
   x-2y+4>0 \\
   \end{array} \right.$，乙：$(2x-y+4)(x-2y+4)<0$，丙：$\sqrt{(2x-y+4)(x-2y+4)}>0$，丁：$(x-y+3)(x-y-1)<0$，戊：$\left\{ \begin{array}{l}
   x-y+3<0 \\
   x-y-1>0 \\
   \end{array} \right.$，下列四條虛線，恰為四條直線方程式：${{L}_{1}}$：$2x-y+4=0$，${{L}_{2}}$：$x-2y+4=0$，${{L}_{3}}$：$x-y+3=0$，$x-y-1=0$，則下列圖解的區域，哪些解是正確的?
   (A)  甲：$IV$
   (B)  乙：$II$及$IV$
   (C)  丙：$III$
   (D)  丁：$VI$
   (E)  戊：$V$及$VII$
   
   
   
   
   
2. $f(x)$、$g(x)$均為多項式，下列敘述何者正確?
   (A)  設$f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$，且$4\left| a \right|+5\left| b \right|+\left| c-1 \right|=2$，則$deg\left( f\left( x \right) \right)=0$
   (B)  若$f({{x}^{3}})-x={{x}^{3}}f(x)+f({{x}^{3}})$，則$f(x)$的奇次項係數和為$0$
   (C)  若$f(x)$除以$ax-b$的商為$q(x)$，餘式為$r$，則$f(\displaystyle{\frac{x}{a}})$除以$(x-b)$的商式為$q(x)$
   (D)  若$f(x)$除以$ax-b$的商為$q(x)$，餘式為$r$，則$xf(x)$除以$(ax-b)$的餘式為$\displaystyle{\frac{br}{a}}$
   (E)  若$deg(f(x))\le 5$，且$deg(g(x))\le 5$，則$f(x)+g(x)$與$f(x)-g(x)$有機會均為五次多項式
   
   
3. 若點$(3$，$-2)$在直線$L$：$\displaystyle{\frac{x}{a}}+\displaystyle{\frac{y}{b}}=1$上，其中$a$，$b$均為整數，下列敘述何者正確?
   (A)  數對$(a$，$b)$共有$8$組解
   (B)  所有滿足條件的直線中，斜率最大為$2$
   (C)  所有滿足條件的直線中，$y$截距最大為$8$
   (D)  所有滿足條件的直線中，與兩坐標軸所截出的三角形面積皆不超過$16$
   (E)  圓$C$：${{(x-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=2$與所有滿足條件的直線，恰有$4$個交點
   
   

二、填充題(60%，每格5分)

1. 坐標平面上，求圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+10y+4=0$對稱於$x-2y+3=0$所形成之圓形方程式。
   
   
2. 設點$A(3$，$-1)$落在圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+2k+4=0$的外部，且同時落在圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-k-6=0$之內部，求$k$的範圍$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 坐標平面上三點$A(3$，$5)$、$B(0$，$6)$、$C(5$，$1)$，
   (1)  求過$A$，$B$，$C$三點之圓的圓心到直線$L$：$3x-4y+3=0$的距離$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  求過點$P(6$，$8)$且與$\vartriangle ABC$不相交之直線斜率$m$範圍$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 已知一圓$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-3=0$，求過點$P(6$，$8)$且與圓$C$相切之直線方程式$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 一圓通過相異三點$A(0$，$-2)$、$B(2$，$0)$、$C(0$，$k)$，已知圓在$C$點之切線斜率為$1$，求$k=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 設$P(x$，$y)$在直線$L$：$\displaystyle{\frac{x}{3}}+\displaystyle{\frac{y}{4}}=1$上，求${{(x-6)}^{2}}+{{(y+8)}^{2}}$的最小值$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 成功高中歷史悠久已近百年，校舍建築幾經翻修，目前主體建築物有求是樓、八德樓、四維樓、綜合大樓，其中求是樓由北棟與南棟組成，分別啟用於$1960$年與$1971$年，八德樓啟用於$1974$年，光明樓$1977$年，四維樓$1983$年，綜合大樓$2009$年。由於完成年代不同，所以各棟大樓之間皆有或多或少的高低差，除綜合大樓外，各棟大樓的每層樓的高度皆相同。四維樓每層樓高約$3$公尺(本大題以$3$公尺$12$公分計算)。與綜合大樓兩棟大樓之間，連接處的牆面距離$2$公尺$76$公分，且一樓比綜合大樓一樓高$36$公分，二樓須$4$階的高度連接，三樓須$7$階的高度連接，四樓須$11$階的高度連接，五樓須$14$階的高度連接，其中每階高度有$16$公分，腳踏面有$27$公分(參考圖(A)與圖一、圖三)。
   
   
   
   綜合大樓外圍的建築極具特色，有「春風化雨」的外飾特色(如圖(B))，其中修件共有鋁件$2000$件，每件長度$1$公尺，寬$7$公分；範圍長$59$公尺、高$11$公尺；涵意為適合草本生長的和風及雨水，用以比喻師長和藹親切的教育，以及學子如沐春風，意氣風發。作品藉以讚頌作育英才的老師，也闡述在良好的教育環境中如沐春風的莘莘學子，施與受兩方的優異表現，為台灣不斷持續的發光。作品形式是利用自然中光的元素，與每一個不同角度的鋁管所構成的有機畫面。畫面會隨著欣賞者移動的不同視點而出現連續的光影變化，視覺效果猶如陣陣綿綿春雨。單純的元件，巨幅的畫面，無窮的變化，是低限藝術，卻是藝術無限。以此簡練而柔美的作品來表達春風化雨，如沐春風。綜合大樓籃球場上方的外牆形成極具哲學意涵與藝術之美(見圖(C)，由一樓地板至六樓地板可以看到中間圓形梁柱恰將一、二、四、五、六樓分成左右兩段，如同《易經》中的陰爻；而三樓是一個完整的大段，未被左右分開，如同《易經》中的陽爻，整體來看恰如六十四卦中的謙卦，蘊藏著謙和之德的內涵，蘊育著成功高中師生獨特的內在涵養；而此卦上方的外圍為圓形，下方三爻之外圍為方形，有天圓地方之喻，可藉以陶冶學生內在存有剛毅準則，外在行持圓潤祥和。
   
   
   
   又在綜合大樓外面的鋼骨與樓層之間的樓梯形成優美的幾何圖形(圖(D))，一個「$Z$」字形(如圖二中$MNAB$)鋼骨剛好是兩階段連接上下樓層；兩者交相輝映，美不勝收。
   據上述內容回答下列問題：
   (1)  今知「ㄣ」字樓梯的上段延伸後交$Z$字形鋼骨的下面橫枝$\overline{AB}$於$C$點，距離端點$B$為$50$公分(如簡圖二中的$\overline{BC}$)。「$Z$」字形鋼骨中間斜枝的斜率與「ㄣ」字樓梯的上段延伸($\overline{CD}$)的斜率絕對值比值為$\displaystyle{\frac{15}{8}}$。試求「$Z$」字形鋼骨的下面橫枝(如簡圖二中$\overline{AB}$長)的長度為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公尺。(假設本題這兩層樓高相等)
   (2)  四維樓三樓樓板(如圖三$A$點)至綜合大樓五樓樓板(如圖三$B$點)斜率為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$；又四維樓一樓(如圖三$C$點)至綜合大樓二樓(如圖三$D$點)的斜率${{m}_{1}}$，四維樓一樓(如圖三$C$點)至綜合大樓三樓(如圖三$E$點)的斜率${{m}_{2}}$，四維樓一樓(如圖三$C$點)至綜合大樓四樓(如圖三$F$點)的斜率${{m}_{3}}$，四維樓一樓(如圖三$C$點)至綜合大樓五樓(如圖三$B$點)的斜率${{m}_{4}}$，則${{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+{{m}_{4}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (3)  今以綜合大樓五樓地板與中間圓形梁柱交會處為原點，假設此圓形圖案中心在原點，半徑為$10$公尺，其中四、五、六，三層樓板恰將圓直徑四等分，試問過六樓樓板左邊與圓交點(即圖四中的$A$點)之切線方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$；又，如果今僅將圓半徑加壹公尺，其他建築物不變，則切線方程式(即圖四中$B$點切線方程式)又為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(參考圖四)
   
   

三、計算題(直接作答於答案卷，需有過程，否則不予計分)(16%)

1. (1)  圖解聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
   x\ge 3 \\
   y\ge 0 \\
   x-2y\le 6 \\
   3x+4y<28 \\
   \end{array} \right.$，請標示各線交點坐標
   (2)  承上題，求圖形區域中有幾個格子點。(4%，4%)
   
   
2. 設直線$3x+y=7$與圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-4y+9=0$相交$A$，$B$兩點
   (1)  求這兩點的坐標
   (2)  若$P$為$y$軸上一點，求$\overline{PA}+\overline{PB}$之最小值為何?(4%，4%)