[段考] 108上第1次段考-桃園-桃園高中-高一(題目)

108上第1次段考-桃園-桃園高中-高一(題目)

範圍：南一1-1~1-4

　 　

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一、多選題：每題5分，共10分(全對得5分，錯一個選項得3分，錯兩個選項得1分，錯三個選項以上得0分)

1. 若$a$，$b$為實數，則下列各式何者必成立?
   (A)  $\left| a \right|>0$
   (B)  $\sqrt{{{a}^{2}}}=a$
   (C)  若$a<b<0$，則$\displaystyle{\frac{1}{a}}> \displaystyle{\frac{1}{b}}$
   (D)  ${{({{a}^{\sqrt{2}}})}^{2}}={{a}^{2}}$
   (E)  ${{10}^{-log5}}=\displaystyle{\frac{1}{5}}$
   
   
2. 下列敘述何者正確?
   (A)  $\displaystyle{\frac{1}{2}}({{10}^{0.6}}+{{10}^{0.4}})>{{10}^{0.5}}$
   (B)  $\displaystyle{\frac{1}{2}}({{10}^{-0.6}}+{{10}^{-0.4}})>{{10}^{-0.5}}$
   (C)  $1>0.\bar{9}$
   (D)  若${{a}^{2}}$，${{a}^{4}}$皆為有理數，則$a$為有理數
   (E)  若${{a}^{3}}$，${{a}^{7}}$皆為有理數，則$a$為有理數
   
   

二、填充題：每題5分，共80分

1. 若$0<n<10$，比較$(\sqrt{10+n}-\sqrt{10})$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$(\sqrt{10}-\sqrt{10-n})$的大小。(請填入"$<$"，"$>$"，"$=$")
   
   
2. 孫悟空陪同師父唐三藏取經的路程中，因三藏肚子餓。悟空須到附近的人家化緣素菜，而此時，路程前方和蜘蛛精，後方有鐵扇公主。若蜘蛛精所在位置於數線上$2$點的地方，鐵扇公主位於數線上點$-5$的地方，而三藏位於點$x$處，悟空為確保師傅安全，用金箍棒畫了一個安全區域，告訴師父只要師父與鐵扇公主的距離大於蜘蛛精距離的$2$倍，即便可受咒語保護，不被妖魔侵略。試問有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個整數點$x$可確保三藏安全無虞？
   
   
3. ${{(\sqrt{4}-\sqrt{5})}^{99}}{{(\sqrt{4}+\sqrt{5})}^{100}}$的值最接近哪一個整數?
   
   
4. 若${{0.00038}^{a}}=100$，${{3.8}^{b}}=1000$，試求$\displaystyle{\frac{3}{b}}-\displaystyle{\frac{2}{a}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 比較$a={{27}^{\sqrt{2}}}$，$b=\sqrt{3\sqrt[3]{81}}$，$c=\sqrt{243}$的大小$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(以$a$，$b$，$c$表示)
   
   
6. $2015$年時耶魯大學的研究團隊利用衛星及超級電腦等科技工具，計算出地球上約有$3.04$萬億棵樹，假設每棵樹平均每年可吸收$18$公斤的二氧化碳，求地球上的樹一年可吸收多少公斤的二氣化碳？(化為科學記號，並以$2$位有效數字表示)
   
   
7. 已知$x$，$y$皆為整數，且$x<log21907<x+1$，$y<log0.000357<y+1$，則$x-y=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 設$\sqrt{4+\sqrt{12}}=a+b$，其中$a$是正整數，$0<b<1$，求$\displaystyle{\frac{1}{a+b}}-\displaystyle{\frac{1}{b}}=$?
   
   
9. 設$x$，$y$為正實數，且$xy=8$，若$2x+9y$有最小值，試問此時數對$(x$，$y)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 數線上有$A(-5)$，$B(7)$，$C(x)$，已知$\overline{AB}$：$\overline{BC}=3$：$4$，求$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 設$a$，$b$都是實數，若$\left| ax+3 \right|\le b$之解為$-1\le x\le 5$，求$(a$，$b)$之值。
    
    
12. 設$a$，$b$，$c$是整數，若$\left| a-2 \right|+\left| b+1 \right|+3\left| c+4 \right|=2$，則$a+b+c$的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
13. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特$(W/{{m}^{2}})$來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為${{I}_{0}}={{10}^{-12}}(W/{{m}^{2}})$；當測得的聲音強度為$I(W/{{m}^{2}})$時，所產生噪音分貝數$d$為$d(I)=10\cdot log\displaystyle{\frac{I}{{{I}_{0}}}}$。已知一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為${{10}^{-12}}(W/{{m}^{2}})$。唐三藏取經的路程中經過虎頭山時一直被蚊子咬，這時孫悟空使用金箍棒想要消滅蚊子，因為怕傷及無辜，所以需要知道蚊子的數量，這時沙僧拿出了分貝計測得蚊子產生的噪音$20$分貝。若欲將蚊子產生的分貝數降為$10$分貝，請推估悟空要消滅$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$隻蚊子？
    
    
14. 已知$x+\displaystyle{\frac{1}{x}}=6$，且$0<x<1$，若${{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=a$，${{x}^{3}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}=b$，$x-\displaystyle{\frac{1}{x}}=c$，則數對$(a$，$b$，$c)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
15. 已知$\displaystyle{\frac{1}{73}}=0.\overline{01369863}$，則$\displaystyle{\frac{27}{73}}$化成小數，小數點後第$108$位數字為何?
    
    
16. 已知費馬數是以數學家費馬命名一組自然數，具有形式${{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1$，現在某人想列印${{F}_{10}}={{2}^{{{2}^{10}}}}+1$出來，則全部共有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個數字。($log2\approx 0.301$)
    
    

三、計算證明題(共10分)

1. 試求絕對值不等式$\left| x+1 \right|+2\left| x+2 \right|+x>7$的解。(7分)
   
   
2. 已知$\vartriangle ABC$為直角三角形，且$\angle A=90{}^\circ$，$D$為$\overline{BC}$中點，$\overline{AH}$為$\overline{BC}$上的高，比較$\overline{AH}$、$\overline{AD}$的大小(1分)並說明(2分)。