[段考] 108上第2次段考-台北-成功高中-高一(詳解)

108上第2次段考-台北-成功高中-高一(詳解)

範圍：第一冊 龍騰單元6~單元9

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一、多重選擇題

1. 如圖，分別為四條直線中$8$種情形的解圖形
   
   
   
   (A)  即為「$-2x+y-4<0$與$x-2y+4>0$之交集」，故為區域$(III)$，不選
   (B)  即為「$2x-y+4>0$與$x-2y+4<0$之交集」與「$2x-y+4<0$與$x-2y+4>0$之交集」的聯集，意即區域$(IV)$與區域$(II)$之聯集，正確。
   (C)  因根號內必定非負，且根號之值非負，故為「$2x-y+4>0$與$x-2y+4>0$之交集」與「$2x-y+4<0$與$x-2y+4<0$之交集」的聯集，意即區域$(III)$與區域$(I)$之聯集，錯誤。
   (D)  即為「$x-y+3>0$與$x-y-1<0$之交集」與「$x-y+3<0$與$x-y-1>0$之交集」之聯集，即為區域$(VI)$，正確
   (E)  即為「$x-y+3<0$與$x-y-1>0$之交集」，無圖形，不選。
   故本題選(A)(B)(D)
   
   
2. (A)  不一定，若本題有「$a$，$b$，$c$皆為整數」的條件，則本選項正確(其中$c=-1$或$c=3$)，但事實上沒有整數的相關條件，不選。此處舉一反例為$a=\displaystyle{\frac{1}{2}}$、$b=0$、$c=1$。
   (B)  奇次係數和$=\displaystyle{\frac{f(1)+f(-1)}{2}}$；將$x=1$代入得$f(1)-1=f(1)+f(1)$$\Rightarrow$$f(1)=-1$；將$x=-1$代入得$f(-1)+1=-f(-1)+f(-1)$$\Rightarrow$$f(-1)=-1$；故奇次係數和$=\displaystyle{\frac{f(1)+f(-1)}{2}}=0$
   (C)  依除法原理$f(x)$可表示為$f(x)=(ax-b)\cdot q(x)+r$，由題意得$f(\displaystyle{\frac{x}{a}})=(a\cdot \displaystyle{\frac{x}{a}}-b)\cdot q(\displaystyle{\frac{x}{a}})+r$$\Rightarrow$$f(\displaystyle{\frac{x}{a}})=(x-b)\cdot q(\displaystyle{\frac{x}{a}})+r$，可得商為$q(\displaystyle{\frac{x}{a}})$，不選。
   (D)  由餘式定理知$f(\displaystyle{\frac{b}{a}})=r$$\Rightarrow$以$(ax-b)$除以$xf(x)$之餘式為$\displaystyle{\frac{b}{a}}\cdot f(\displaystyle{\frac{b}{a}})=\displaystyle{\frac{b}{a}}\cdot r=\displaystyle{\frac{br}{a}}$
   (E)  正確，$f(x)={{x}^{5}}$，$g(x)=x$即可。
   故本題選(B)(D)
   
   
3. $(3$，$-2)$代入$L$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{3}{a}}-\displaystyle{\frac{2}{b}}=1$$\Rightarrow$$ab-3b+2a=0$，使用強迫因式分解$\Rightarrow$$b(a-3)+2(a-3)=-6$$\Rightarrow$$(b+2)(a-3)=-6$$\Rightarrow$所有可能性為
   
   $\Rightarrow$
   
   ，但分母有$a$、$b$，扣除掉一組後剩下$7$組，(A)不選。
   繼續討論$a$、$b$所衍生出來的其他值如下：
   
   ，其中$-\displaystyle{\frac{b}{a}}$即為斜率，最大值為$2$，(B)正確；$y$截距即為$b$，最大為$4$，(C)不選；面積即為$\left| \displaystyle{\frac{ab}{2}} \right|$，最大為$16$，(D)正確。
   (E)  先解出過$(3$，$-2)$且與圓相切之直線。令斜率為$m$$\Rightarrow$$mx-y-3m-2=0$，相切即$d(L$，圓心$)=r$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{\left| 2m-4 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}}=2$$\Rightarrow$解方程式後消根得到$m=\displaystyle{\frac{3}{4}}$或斜率不存在(鉛直線)$\Rightarrow$當$m>\displaystyle{\frac{3}{4}}$時有兩交點$\Rightarrow$當$(a$，$b)=(4$，$-8)$或$(5$，$-5)$時皆兩交點，其餘皆無交點，共$4$個交點，(E)選項正確。
   故本題選(B)(D)
   
   

二、填充題

1. 先將圓方程式配方得${{(x-2)}^{2}}+{{(y+5)}^{2}}={{5}^{2}}$$\Rightarrow$圓心$(2$，$-5)$、半徑$=5$；如圖，接著求$(2$，$-5)$的對稱點。
   
   
   
   步驟一「將$(2$，$-5)$對$x-2y+3=0$作垂線$L$」：$x-2y+3=0$之斜率為$\displaystyle{\frac{1}{2}}$$\Rightarrow$垂線$L$斜率$-2$$\Rightarrow$$2x+y=-1$；
   步驟二「找垂足$H$」：$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=-1 \\ x-2y=-3 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$H(-1$，$1)$
   步驟三「找對稱點$P$」：令對稱點$P(\alpha$，$\beta )$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{2}}[(\alpha$，$\beta )+(2$，$-5)]=(-1$，$1)$$\Rightarrow$$P(-4$，$7)$即為所求圓心。
   半徑依然為$5$$\Rightarrow$${{(x+4)}^{2}}+{{(y-7)}^{2}}=25$
   
   
2. $(3$，$-1)$在${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+2k+4=0$外部$\Rightarrow$將$(3$，$-1)$代入${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+2k+4>0$；
   $(3$，$-1)$在${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-k-6=0$內部$\Rightarrow$將$(3$，$-1)$代入${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-k-6<0$；
   $\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} 2k-4>0 \\ 4-k<0 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$2<k<4$
   
   
3. (1)  「求$\overline{AB}$中垂線」：${{m}_{AB}}=\displaystyle{\frac{5-6}{3-0}}=-\displaystyle{\frac{1}{3}}$$\Rightarrow$$\overline{AB}$中垂線斜率$=3$，又$A$、$B$中點為$(\displaystyle{\frac{3}{2}}$，$\displaystyle{\frac{11}{2}})$$\Rightarrow$$\overline{AB}$中垂線為$3x-y=-1$；「求$\overline{BC}$中垂線」：${{m}_{BC}}=\displaystyle{\frac{1-6}{5-0}}=-1$$\Rightarrow$$\overline{AB}$中垂線斜率$=1$，又$C$、$B$中點為$(\displaystyle{\frac{5}{2}}$，$\displaystyle{\frac{7}{2}})$$\Rightarrow$$\overline{BC}$中垂線為$x-y=-1$；交點即為圓心$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} x-y=-1 \\ 3x-y=-1 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$圓心$(0$，$1)$；到直線$L$距離為$\displaystyle{\frac{\left| -4+3 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}}=\displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (2)  作圖，${{m}_{PB}}=\displaystyle{\frac{8-6}{6-0}}=\displaystyle{\frac{1}{3}}$、${{m}_{PC}}=\displaystyle{\frac{8-1}{6-5}}=7$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{3}}\le m\le 7$時有相交$\Rightarrow$$m<\displaystyle{\frac{1}{3}}$或$m>7$時不相交
   
   
   
   
   
4. 將圓配方得${{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}={{4}^{2}}$；令所求切線斜率$m$，過$(6$，$8)$$\Rightarrow$$mx-y=6m-8$$\Rightarrow$$mx-y=6m-8$與$(2$，$-3)$距離為$4$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{\left| 2m+3-6m+8 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}}=4$$\Rightarrow$$m=\displaystyle{\frac{105}{88}}$或不存在$\Rightarrow$$105x-88y=-74$或$x=6$
   
   
5. 令圓心$O$$\Rightarrow$${{m}_{CO}}=-1$$\Rightarrow$直線$CO$方程式為$x+y=k$；$O$在$\overline{AC}$中垂線上$\Rightarrow$$O$在$y=\displaystyle{\frac{k-2}{2}}$上；$O$在$\overline{BC}$中垂線上$\Rightarrow$$O$在$2x-hy=2-\displaystyle{\frac{{{k}^{2}}}{2}}$上；解聯立$\left\{ \begin{array}{l} x+y=k \\ y=\displaystyle{\frac{k-2}{2}} \\ 2x-ky=2-\displaystyle{\frac{{{k}^{2}}}{2}} \\ \end{array} \right.$得$\left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-1 \\ k=0 \\ \end{array} \right.$
   
   
6. 本題即為「直線$L$：$\displaystyle{\frac{x}{3}}+\displaystyle{\frac{y}{4}}=1$(或：$4x+3y-12=0$)上任意一點到$(6$，$-8)$距離」之平方最小值$={{(\displaystyle{\frac{\left| 24-24-12 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}})}^{2}}}=\displaystyle{\frac{144}{25}}$
   
   
7. (1)  因第一段「除綜合大樓外，各棟大樓的每層樓的高度皆相同」，這邊假設一層樓高$h$；再假設樓板的半長為$\ell$，故$\overline{AB}=2\ell$、$\overline{AC}=2\ell -50$(公分)，如圖。
   
   
   
   可以由本小題得知$\left| \displaystyle{\frac{{{m}_{CD}}}{{{m}_{AN}}}} \right|=\displaystyle{\frac{15}{8}}$$\Rightarrow$$\left| \displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{2h}{2\ell }}}{-\displaystyle{\frac{h}{2\ell -50}}}} \right|=\displaystyle{\frac{15}{8}}$$\Rightarrow$$\ell =400$(公分)$=4$(公尺)$\Rightarrow$$\overline{AB}=8$(公尺)
   (2)  由第一段「四維樓每層樓高約$3$公尺(本大題以$3$公尺$12$公分計算)」、「連接處的牆面距離$2$公尺$76$公分」、「二樓須$4$階的高度連接，三樓須$7$階的高度連接，四樓須$11$階的高度連接，五樓須$14$階的高度連接，其中每階高度有$16$公分」可以將題目提供圖例加以標示如圖。
   
   
   
   $\Rightarrow$${{m}_{AB}}$$=\displaystyle{\frac{2\times 312+14\times 16}{276}}$$=\displaystyle{\frac{848}{276}}$$=\displaystyle{\frac{212}{69}}$，${{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}+{{m}_{4}}$$=\displaystyle{\frac{312+16\times 4}{276}}+\displaystyle{\frac{312\times 2+16\times 7}{276}}+\displaystyle{\frac{312\times 3+16\times 11}{276}}+\displaystyle{\frac{312\times 4+16\times 14}{276}}$$=\displaystyle{\frac{312\times 10+16\times 36}{276}}$$=\displaystyle{\frac{3696}{276}}$$=\displaystyle{\frac{308}{23}}$
   (3)  如圖，$\overline{OP}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\times 10=5$$\Rightarrow$$\overline{AP}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{5}^{2}}}=5\sqrt{3}$$\Rightarrow$$A(-5\sqrt{3}$，$5)$；${{m}_{\overline{AO}}}=-\displaystyle{\frac{\overline{PO}}{\overline{AP}}}=-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$\Rightarrow$過$A$點之切線斜率$=\sqrt{3}$$\Rightarrow$過$A$點之切線為$y=\sqrt{3}x+20$；$\overline{BO}=11$，$\overline{PO}=5$$\Rightarrow$$\overline{BP}=4\sqrt{6}$$\Rightarrow$$B(-4\sqrt{6}$，$5)$$\Rightarrow$${{m}_{\overline{BO}}}=-\displaystyle{\frac{5}{4\sqrt{6}}}$$\Rightarrow$過$B$點之切線斜率為$\displaystyle{\frac{4\sqrt{6}}{5}}$$\Rightarrow$過$B$點之切線為$y=\displaystyle{\frac{4\sqrt{6}}{5}}x+\displaystyle{\frac{121}{5}}$
   
   

三、計算題

1. (1)  此題須注意：$3x+4y<28$為虛線
   
   
   
   (2)  
   
   ，共有$4+5+4+3+2=18$個
   
   
2. (1)  $\left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-4y+9=0 \\ 3x+y=7 \\ \end{array} \right.$，$y=-3x+7$代入圓$\Rightarrow$${{x}^{2}}+{{(-3x+7)}^{2}}-10x-4(-3x+7)+9=0$$\Rightarrow$$x=1$，$3$$\Rightarrow$$y=4$，$-2$，交點為$(1$，$4)$與$(3$，$-2)$
   (2)  將$(1$，$4)$對$y$軸作對稱得$(-1$，$4)$，$(-1$，$4)$與$(3$，$-2)$連線與$y$軸交點即為所求之$P$，連線長即最小值$=\sqrt{{{[3-(-1)]}^{2}}+{{[4-(-2)]}^{2}}}=2\sqrt{13}$