[段考] 108上第1次段考-桃園-桃園高中-高一(詳解)

108上第1次段考-桃園-桃園高中-高一(詳解)

範圍：南一1-1~1-4

　 　

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一、多選題：每題5分，共10分(全對得5分，錯一個選項得3分，錯兩個選項得1分，錯三個選項以上得0分)

1. (A)  應為$\left| a \right|\ge 0$
   (B)  應為$\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|$
   (C)  正確，倒數會逆序
   (D)  應為${{({{a}^{\sqrt{2}}})}^{2}}={{a}^{2\sqrt{2}}}$
   (E)  正確，${{10}^{-log5}}=lo{{g}^{log{{5}^{-1}}}}=\displaystyle{\frac{1}{5}}$
   
   
2. (A)  正確，由算幾不等式得$\displaystyle{\frac{{{10}^{0.6}}+{{10}^{0.4}}}{2}}\ge \sqrt{{{10}^{0.6}}\cdot {{10}^{0.4}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{2}}({{10}^{0.6}}+{{10}^{0.4}})\ge {{10}^{0.5}}$，又${{10}^{0.6}}\ne {{10}^{0.4}}$，等號不成立。
   (B)  正確，由算幾不等式得$\displaystyle{\frac{{{10}^{-0.6}}+{{10}^{-0.4}}}{2}}\ge \sqrt{{{10}^{-0.6}}\cdot {{10}^{-0.4}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{2}}({{10}^{-0.6}}+{{10}^{-0.4}})\ge {{10}^{-0.5}}$，又${{10}^{-0.6}}\ne {{10}^{-0.4}}$，等號不成立。
   (C)  錯誤，$1=0.\bar{9}$
   (D)  反例：$a=\sqrt{2}$
   (E)  正確，由有理數封閉性得$\displaystyle{\frac{{{a}^{7}}}{{{({{a}^{3}})}^{2}}}}=a$為有理數
   
   

二、填充題：每題5分，共80分

1. 比較$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10+n}-\sqrt{10}}}$與$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{10-n}}}$之大小關係。
   $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10+n}-\sqrt{10}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{10+n}+\sqrt{10}}{n}}$；
   $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{10-n}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{10-n}}{n}}$。
   因$\displaystyle{\frac{\sqrt{10+n}+\sqrt{10}}{n}}>\displaystyle{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{10-n}}{n}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10+n}-\sqrt{10}}}>\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{10-n}}}$
   $\Rightarrow$$\sqrt{10+n}-\sqrt{10}<\sqrt{10}-\sqrt{10-n}$
   
   
2. 由題意知$x$到$(-5)$的距離大於$x$到$2$的距離之$2$倍$\Rightarrow$$\left| x-(-5) \right|>2\cdot \left| x-2 \right|$，又可知$-5<x<2$，整數點為$x=0$，$1$
   
   
3. ${{(\sqrt{4}-\sqrt{5})}^{99}}{{(\sqrt{4}+\sqrt{5})}^{100}}$$=[{{(\sqrt{4}-\sqrt{5})}^{99}}{{(\sqrt{4}+\sqrt{5})}^{99}}]\cdot (\sqrt{4}+\sqrt{5})$$={{[(\sqrt{4}-\sqrt{5})(\sqrt{4}+\sqrt{5})]}^{99}}\cdot (\sqrt{4}+\sqrt{5})$$={{(4-5)}^{99}}\cdot (\sqrt{4}+\sqrt{5})$$=-2-\sqrt{5}$，又$\sqrt{5}\approx 2.23$$\Rightarrow$$-2-\sqrt{5}\approx -4.23$，最接近$-4$
   
   
4. ${{0.00038}^{a}}=100$$\Rightarrow$$0.00038={{10}^{\frac{2}{a}}}$；${{3.8}^{b}}=1000$$\Rightarrow$$3.8={{10}^{\frac{3}{b}}}$
   $\Rightarrow$$3.8\div 0.00038={{10}^{\frac{3}{b}}}\div {{10}^{\frac{2}{a}}}={{10}^{\frac{3}{b}-\displaystyle{\frac{2}{a}}}}$
   $\Rightarrow {{10}^{4}}={{10}^{\frac{3}{b}-\displaystyle{\frac{2}{a}}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{3}{b}-\frac{2}{a}}=4$
   
   
5. $a={{({{3}^{3}})}^{\sqrt{2}}}={{3}^{3\sqrt{2}}}$；
   $b=\sqrt{3\sqrt[3]{81}}=\sqrt{3\cdot {{({{3}^{4}})}^{\frac{1}{3}}}}=\sqrt{3\cdot {{3}^{\frac{4}{3}}}}=\sqrt{{{3}^{\frac{7}{3}}}}={{3}^{\frac{7}{3}\cdot \displaystyle{\frac{1}{2}}}}={{3}^{\frac{7}{6}}}$；
   $c=\sqrt{243}=\sqrt{{{3}^{^{5}}}}={{3}^{\frac{5}{2}}}$。
   因$3>1$，$3\sqrt{2}>\displaystyle{\frac{5}{2}}>\displaystyle{\frac{7}{6}}$$\Rightarrow$$a>c>b$
   
   
6. $3.04$萬億$=3.04\times {{10}^{4}}\times {{10}^{8}}$$=3.04\times {{10}^{12}}$。$18\cdot 3.04\times {{10}^{12}}=5.476\times {{10}^{13}}\approx 5.4\times {{10}^{13}}$
   
   
7. $log21907=log2.1907+4$$\Rightarrow$$x=4$。$log0.000357=(log3.57)+(-4)$$\Rightarrow$$y=-4$。$x-y=8$
   
   
8. $\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1=2.\cdots$$\Rightarrow$$a=2$，$b=\sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{1}{a+b}}$$=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}+1}}$$=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}$$=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$$=-1$
   
   
9. $\displaystyle{\frac{2x+9y}{2}}\ge \sqrt{18xy}=12$$\Rightarrow$$2x+9y\ge 24$，最小值發生於$2x=9y=12$$\Rightarrow$$x=6$、$y=\displaystyle{\frac{4}{3}}$。
   
   
10. 有$2$種情況：
    
    $\Rightarrow$$7=\displaystyle{\frac{4\cdot (-5)+3\cdot x}{3+4}}$$\Rightarrow$$x=23$
    
    $\Rightarrow$$-5=\displaystyle{\frac{3\cdot x+1\cdot 7}{3+1}}$$\Rightarrow$$x=-9$
    
    
11. $-1\le x\le 5$，中點$2$、長度$5-(-1)=6$$\Rightarrow$$\left| x-2 \right|\le 3$$\Rightarrow$$\left| -\displaystyle{\frac{3}{2}}x+3 \right|\le \displaystyle{\frac{9}{2}}$$\Rightarrow$$a=-\displaystyle{\frac{3}{2}}$、$b=\displaystyle{\frac{9}{2}}$
    
    
12. $a$，$b$，$c$整數$\Rightarrow$$a-1$、$b+1$、$c+4$皆為整數$\Rightarrow$$c+4=0$$\Rightarrow$$c=-4$
    $\Rightarrow$$(a-1$，$b+1)=$$(1$，$1)$、$(1$，$-1)$、$(-1$，$1)$、$(-1$，$-1)$、$(2$，$0)$、$(0$，$2)$
    $\Rightarrow$$(a$，$b)=(2$，$0)$、$(2$，$-2)$、$(0$，$0)$、$(0$，$-2)$、$(3$，$-1)$、$(1$，$1)$
    $\Rightarrow$$a+b+c$最大為$2-4=-2$
    
    
13. 原有$x$隻蚊子$\Rightarrow$$20=10\cdot log\displaystyle{\frac{{{10}^{-12}}x}{{{10}^{-12}}}}$$\Rightarrow$$x=100$$\Rightarrow$$10$分貝有$y$隻蚊子$\Rightarrow$$10=10log\displaystyle{\frac{{{10}^{-12}}y}{{{10}^{-12}}}}$
    $\Rightarrow$$y=10$(隻)$\Rightarrow$$100-10=90$(隻)
    
    
14. ${{(x+\displaystyle{\frac{1}{x}})}^{2}}={{6}^{2}}$$\Rightarrow$${{x}^{2}}+2+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=36$$\Rightarrow$${{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=34=a$；
    ${{x}^{3}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}=(x+\displaystyle{\frac{1}{x}})({{x}^{2}}-1+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}})$$=6\cdot (34-1)=198=b$；
    ${{(x-\displaystyle{\frac{1}{x}})}^{2}}={{x}^{2}}-2+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=34-2=32$$\Rightarrow$$x-\displaystyle{\frac{1}{x}}=\pm \sqrt{32}=\pm 4\sqrt{2}$，因$0<x<1$$\Rightarrow$$x<\displaystyle{\frac{1}{x}}$$\Rightarrow$$x-\displaystyle{\frac{1}{x}}=-4\sqrt{2}$
    
    
15. $1369863\times 27=336986301$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{27}{73}}=0.\overline{36986301}$。$108\div 8=13$餘$2$$\Rightarrow$$6$
    
    
16. $2\approx {{10}^{0.301}}$$\Rightarrow$${{2}^{{{2}^{10}}}}={{({{2}^{0.301}})}^{{{2}^{10}}}}={{10}^{0.301\times 1024}}={{10}^{308.224}}$$\Rightarrow$$309$位數
    
    

三、計算證明題(共10分)

1. 當$x>-1$$\Rightarrow$$x+1+2x+4+x>7$$\Rightarrow$$x>\displaystyle{\frac{1}{2}}$；
   當$-1>x>-2$$\Rightarrow$$-x-1+2x+4+x>7$$\Rightarrow$$x>2$，不合；
   當$x<-2$$\Rightarrow$$-x-1-2x-4+x>7$$\Rightarrow$$x<-6$；
   $\Rightarrow$$x>\displaystyle{\frac{1}{2}}$或$x<-6$
   
   
2. 令$\overline{HB}=b$、$\overline{HC}=c$$\Rightarrow$$\overline{AH}=\sqrt{bc}$(根據子母相似性質)；
   因$\vartriangle ABC$為直角三角形$\Rightarrow$$\overline{AD}=\displaystyle{\frac{1}{2}}$斜邊$=\displaystyle{\frac{1}{2}}(b+c)$，由算幾不等式得$\displaystyle{\frac{1}{2}}(b+c)\ge \sqrt{bc}$$\Rightarrow$$\overline{AD}\ge \overline{AH}$