[段考] 108上第1次段考-高雄-高雄女中-高一(題目)

108上第1次段考-高雄-高雄女中-高一(題目)

範圍：

　 　 詳解

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※請使用藍、黑色原子筆作答，違者依規定處分
※答案如果是「分數」請以最簡分數表示，分母要“有理化”！
$log2\approx 0.301$，$log3\approx 0.4771$，$log7\approx 0.8451$

一、是非題：每題1分，共8分

1. 若$a$，$b$為實數，則$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}\div \sqrt{b}=\sqrt{\displaystyle{\frac{a}{b}}}$($b\ne 0$)
   
   
2. 若$a$，$n$，$m$為實數，則$a>0$，則${{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$，${{({{a}^{n}})}^{m}}={{a}^{n\times m}}$
   
   
3. 每一個實數都可以用尺規作圖的方式，在數線上數線上找到其位置。
   
   
4. 若$a$，$b$為實數且$a<b$，則$a< \displaystyle{\frac{2a+4b}{7}}< \displaystyle{\frac{a+2b}{3}}<b$
   
   
5. 已知$0<a<1$，$n$，$m$為正整數且$n>m$，則$\sqrt[n]{a}>\sqrt[m]{a}$
   
   
6. 最簡分數$\displaystyle{\frac{n}{m}}$為有限小數，則$m$為多只能有$2$個質因數。
   
   
7. 若$a$為有理數，$b$為有理數，則$ab$為無理數。
   
   
8. 如果已知${{10}^{3.5}}\approx 3.16\times {{10}^{3}}$，那可得知${{10}^{-3.5}}\approx 3.16\times {{10}^{-3}}$
   
   

二、填充題：共82分

1. 求不等式$2\le \left| x \right|<5$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 數線上三點$A(2)$，$B(9)$，$P(x)$，已知$\overline{AP}$：$\overline{BP}=3$：$4$，則$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 已知$log9958\approx 3.9982$，則$log99.58\approx$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 化簡下列各題：
   (1)  $\sqrt{4-\sqrt{15}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  ${{10}^{3\times log2+4\times log1}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知體脂肪率$=\displaystyle{\frac{脂肪重量}{全身重量}}\times 100\%$，某人現在的體重為$70.0$公斤、體脂肪率為$20.0\%$，假設在減重的過程只有減少脂肪，則此人必須至少減掉$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公斤的脂肪，才能達成脂肪率$10.0\%$(答案請四捨五入至小數點第一位)
   
   
6. 設$x$，$y$為實數，滿足$\left| x+1 \right|\le 2$且$\left| y-5 \right|\le 3$，
   (1)  若$a\le \displaystyle{\frac{x}{y}}\le b$，則$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  若$c\le 3xy-3x+2y+1\le d$，則$(c$，$d)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 求不等式$\left| x+1 \right|-\left| x-2 \right|<2x+2$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 設$a>0$且${{a}^{2x}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，則$\displaystyle{\frac{{{a}^{3x}}+{{a}^{-3x}}}{{{a}^{x}}+{{a}^{-x}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 假設水溶液中氫離子的濃度為$pH=-log[{{H}^{+}}]$，濃度的單位為${}^{莫耳}/{}_{升}$，即每公升的氫離子莫耳數，而溶液的酸鹼值定為$pH=-log[{{H}^{+}}]$。今小安有一瓶$pH=4$的運動飲料$200ml$(毫升)，加入$pH=7$的純水$600ml$稀釋，而稀釋後的運動飲料為$800ml$，
   此時的$pH$値介於兩個連續整數$n$、$n+1$之間，則$n=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 如圖所示，$PQRS$為一給定的矩形，長$\overline{PQ}=16$，寬$\overline{QR}=5$，而$\vartriangle ABC$為等腰三角形，其中$\overline{AB}=\overline{AC}$，$P$、$Q$在$\overline{BC}$邊上，$R$、$S$分別在$\overline{CA}$、$\overline{AB}$邊上，則當$\vartriangle ABC$中$\overline{BC}=a$時，$\vartriangle ABC$的面積有最小值$b$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
    
    
    
11. 不等式$\left| x+\displaystyle{\frac{8}{3}} \right|\le k$的解中包含$4$個整數，若$k$的可能值的最大範圍為$a\le k<b$，則$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 已知$\sqrt{9-\sqrt{21}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$且$a$，$b$為實數，則$a-b=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
13. 右表為從民國$98$年到民國$103$年的逐年台灣酒駕致死人數與累計人數，某學生將累計人數做成圖表如圖一所示。依圖形的走勢，該生為了計算方便將民國$99$年記為$800$人，將民國$101$年記為$1600$人(如圖二)，試著找出累計人數($y$)與時間($x$)的關係，得到$y=alog[(x-97)]$。該生忘了$a$值為多少。依照此關係，妳(你)能幫忙推算出民國$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$年時累計人數會達到$2400$人。

    時間	酒駕死亡人數	累計人數
    98年	397	397
    99年	419	816
    100年	439	1255
    101年	376	1631
    102年	245	1876
    103年	169	2045

三、計算題﹕共10分

1. 近幾年很多網紅利用某知名串流影音平台來經營個人頻道，會上傳自製影片累積頻道的觀看次數，一般來說每$1000$次的觀看次數大約可以獲得$30$元的頻道收益。今年8月該影音平台開始對上傳的影片做比較嚴格的審查，對有疑慮的影片內容會用「黃標」來註記，被黃標的影片最快也要經過$2$天人工審查的時間，才能移除黃標的註記。同時，被黃標的影片除了不會被平台推薦給用戶觀看之外，在黃標期間的觀看次數不會獲得任何的收益。這就是當時讓很多網紅驚慌的「黃標事件」。
   有一網紅洗揚揚在知名串影音平台有$64000$人訂閱，洗揚揚發現自己影片的每天觀看次數($N$)與影片發佈的天數($d$)兩者關係為$N=64000(2\cdot {{a}^{-2d}}+{{a}^{-d}})$，且$a$，$d$均為正整數。而被黃標期間的影片每天觀看次數($N$)與影片發佈的天數($d$)的關係為$64000\cdot ({{a}^{-2d}}+\displaystyle{\frac{3}{4}}\cdot {{a}^{-d}})$，近來洗揚揚上傳了甲、乙兩隻影片，乙片上傳後馬上被黃標，甲片有被審查通過。
   (1)  洗揚揚查看甲片第$x$天($x>1$)的當天觀看次數為$10000$次，試問正整數$a$為何值？且$x$為第幾天？(8分)
   (2)  承(1)，如果乙片只有一開始的$2$天有被黃標，那乙片最初的$2$天累積了多少次的觀看次數？(2分)