[段考] 108上第1次段考-台南-台南女中-高一(題目)

108上第1次段考-台南-台南女中-高一(題目)

範圍：108上南一1-1~1-4

　 　 詳解

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說明：	1. 本試卷有四個部分：單選題、多重選擇題、選填題、混合題組。 2. 請在答案卡及答案卷上書寫班級、座號及姓名，並在答案卡上的班級與座號欄位使用2B鉛筆劃記，未正確劃記扣總成績5分。 3. 試卷最後有可能用到的數值。

一、單選題(25分)

說明：每題選出最適當的一個選項，將答案劃記在拿案卡，每題答對得5分，答錯不倒扣。

1. 已知$\sqrt{2}$為無理數。若$a$、$b$均為有理數，且$(3+\sqrt{2})a+(1-\sqrt{2})b-9+\sqrt{2}=0$，則$a+b$的值為下列哪一個選項？
   (1)  $1$
   (2)  $2$
   (3)  $3$
   (4)  $4$
   (5)  $5$
   
   
2. 已知$SARS$病毒的直徑為$85$奈米，其中$1$奈米等於${{10}^{-7}}$公分，而頭髮的直徑為$5\times {{10}^{-3}}$公分，請問頭髮的直徑為$SARS$病毒直徑的多少倍？請選出最接近的選項。
   (1)  $600$
   (2)  $800$
   (3)  $1000$
   (4)  $1200$
   (5)  $1400$
   
   
3. $log(0.000000123)$的值介於哪兩個連續整數之間？
   (1)  $-6$與$-5$之間
   (2)  $-7$與$-6$之間
   (3)  $-8$與$-7$之間
   (4)  $-9$與$-8$之間
   (5)  $10$與$-9$之間
   
   
4. 已知${{9}^{a}}={{10}^{log5}}$，則$\displaystyle{\frac{{{27}^{a}}-{{27}^{-a}}}{{{3}^{a}}-{{3}^{-a}}}}$的值等於下列哪一個選項？
   (1)  $\displaystyle{\frac{21}{5}}$
   (2)  $\displaystyle{\frac{24}{5}}$
   (3)  $\displaystyle{\frac{31}{5}}$
   (4)  $\displaystyle{\frac{5-6\sqrt{5}}{5}}$
   (5)  $\displaystyle{\frac{5+6\sqrt{5}}{5}}$
   
   
5. 不等於$\left| 2x-1 \right|\le 3x$的解為下列哪一個選項？
   (1)  $x\ge -1$
   (2)  $-1\le x\le \displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (3)  $x\le -1$或$x\ge \displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (4)  $x\ge \displaystyle{\frac{1}{5}}$
   (5)  $x\ge 1$
   
   

二、多重選擇題(25分)

說明：每題各有5個選項，其中至少有一個是正確的，請將正確選項劃記在答案卡中。五個選項全部答對得5分，只錯一個選項可得3分，錯兩個選項者得1分，所有選項均未作答或答錯多於2個選項者，該題以零分計算。

6. 請選出正確的選項：
   (1)  將$2.131928$化成科學記號，並以$3$位有效數字表示的結果為$2.13\times {{10}^{6}}$
   (2)  $2.13\times {{10}^{19}}$是$20$位數
   (3)  $2.13\times {{10}^{-19}}$是從小數點後第$20$位開始出現不為$0$的數字
   (4)  ${{10}^{213.19}}$的整數部分是$213$位數
   (5)  若$loga=-213.19$，則$a$從小數點後第$213$位開始出現不為$0$的數字
   
   
7. 下列哪些選項中的數為有理數？
   (1)  $\displaystyle{\frac{5}{2}}$
   (2)  $3.\overline{14}$
   (3)  $4\sqrt{4}$
   (4)  ${{({{10}^{\frac{1}{2}}})}^{log2}}$
   (5)  $\sqrt{6-4\sqrt{2}+\sqrt{2}}$
   
   
8. 若$a>0$且$a-{{a}^{-1}}=-2$，請選出正確的選項：
   (1)  ${{a}^{2}}+{{a}^{-2}}=5$
   (2)  ${{a}^{3}}-{{a}^{-3}}=-10$
   (3)  $a+{{a}^{-1}}=\sqrt{8}$
   (4)  ${{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}}>\sqrt{2}$
   (5)  $a>1$
   
   
9. 請選出正確的選項：
   (1)  $\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}}{2}}<\sqrt{6}$
   (2)  $\sqrt{5}+\sqrt{6}<\sqrt{11}$
   (3)  $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}}<\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$
   (4)  ${{(0.3)}^{0.2}}<{{(0.3)}^{0.4}}$
   (5)  ${{(0.3)}^{0.2}}+{{(0.3)}^{0.4}}<2{{(0.3)}^{0.3}}$
   
   
10. 下列哪些選項中的方程式，其解必為正數？
    (1)  $\left| x-1 \right|+\left| x+2 \right|=2$
    (2)  $\left| x-1 \right|+\left| x+2 \right|=3$
    (3)  $\left| x-1 \right|-\left| x+2 \right|=0$
    (4)  $\left| x-1 \right|-\left| x+2 \right|=-2$
    (5)  $\left| x-1 \right|-\left| x+2 \right|=-3$
    
    

三、選填題

說明：
1. 選填題的題號是A，B，C，…，兩答案的格每題可能不同，考生必須依各題的格式填答。每題完全答對得5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
2. 答案請化為最簡分數或最簡根式，並將答案劃記在答案卡所標示的列號

1. 試求${{(9.99)}^{0}}+{{(\sqrt{3})}^{\frac{1}{4}}}{{)}^{-8}}+\displaystyle{\frac{{{3}^{1.8}}}{{{3}^{-0.2}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
2. 實驗室進行某種細究培養，細菌數$1$日後增加為$a$倍，其中$a$為定值。因若開始觀察時細菌數為$N$，則$x$日後細菌數為$N{{a}^{x}}$。已知$2$日後、$3\displaystyle{\frac{1}{2}}$日後的細菌數分別為$10$萬、$80$萬，則$4$日後的細菌數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$萬。
   
   
3. 所謂梅森質數是指形如${{2}^{P}}-1$的質數。已知${{2}^{521}}-1$是一個質數，試問${{2}^{521}}-1$是幾位數？$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
4. 在數線上，已知$A(x),B(y)$為數線上兩點，且$x<y$已知點$P(5)$在$\overline{AB}$上，點在$\overline{AB}$上，且滿足$\overline{AP}:\overline{BP}=\overline{AQ}:\overline{BQ}=5:3$，則$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$，$y=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 一位農夫想用$34$公尺的竹籬，沿著牆邊圍出一個長方形菜圃，其中靠牆的一邊不圍，並在牆的對邊正中央留著寬$2$公尺的出入口，如下圖所示，則此農夫所能圍出的菜圃最大面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方公尺。
   
   
   
6. 設${{(1+\sqrt{2})}^{2}}$的整數部分為$a$，小數部分為$b$。則$a+\displaystyle{\frac{1}{b}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
7. 已知聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} \left| x-1 \right|>2 \\ \left| -2x+a \right|\le b \end{array} \right.$的解為$3<x\le 14$，則$b$的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。且當$b$等於最大值時，$a=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   

四、混合題組

說明：本部分共有一大題，每一子題配分標於題末
1. 子題子甲與子題乙的答案請畫在答案卡上對應的列號
2. 子題丙請在答案卷上作答，作答時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答時請使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草或其他原因，致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生自行承擔。

高速公路從交流道$A$到交流道$B$這個長$8$公里的路程上(以下簡稱$A-B$路段)，定義

$v=$車輛平均行駛速度$=\displaystyle{\frac{該路段總長度}{該路段行駛總時間}}$(單位：$公里/小時)$

$d=車輛密度=\displaystyle{\frac{該路段的車輛總數}{該路段的總長度}}$(單位：$台/公里$)

假設每日上午$8$時到$9$時$A-B$路段的$v$與$d$均保持不變，數學家建立了一個$v$與$d$的數學模型。

$logd=\displaystyle{\frac{(k-v)}{65}}$

其中$k$為常數。已知$10$月$1$日上午$8$時該路段車輛平均行駛速度$v=88$，且此時車輛密度$d=10$。請根據這個模型以及試卷後所附的參考數據，回答下列問題。

甲、 單選題，本題請畫記在答案卡上的第$35$列
常數$k$的值為下列哪一個選項？
(1)  $23$
(2)  $65$
(3)  $76$
(4)  $88$
(5)  $153$

乙、 選填題，本題請依據選填題格式畫記在答案卡上相對應的列號
已知在$10$月$5$日上午$8$時$A-B$路段的車輛總數為$184$台，則此時該路段車輛的平均行駛速度為每小時$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公里。(本題答案請計算至整數，小數點後第一位四捨五入)

丙、 非選擇題，本題請書寫在答案卷上
$10$月$9$日上午$8$時小明從交流道$A$開車行駛到交流道$B$花費$6$分鐘，而在$10$月$10$日上午$8$時小明從交流道$A$開車行駛到交流道$B$花費$12$分鐘。請問$10$月$10$日上午$8$時$A-B$路段的車輛密度，是該路段在$10$月$9$日上午$8$時的車輛密度之多少倍？(本題答案請計算至整數，小數點後第一位四捨五入)

可能用到的數值

1. 參考數值：$\sqrt{2}\approx 1.41$，$\sqrt{3}\approx 1.73$，$\sqrt{5}\approx 2.24$
2. 指數近似值：(例如${{10}^{0.60}}\approx 0.398$)
   

   $x$	$0.60$	$0.61$	$0.62$	$0.63$	$0.64$	$0.65$	$0.66$	$0.67$	$0.68$	$0.69$
   $10^{x}$	$3.98$	$4.07$	$4.17$	$4.27$	$4.37$	$4.47$	$4.57$	$4.68$	$4.79$	$4.90$

3. 對數近似值：(例如$log2\approx 0.30$)
   

   $x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
   $log(x)$	$0.30$	$0.48$	$0.60$	$0.70$	$0.78$	$0.85$	$0.90$	$0.95$

   
   

   $x$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$
   $log(x)$	$1.30$	$1.31$	$1.32$	$1.36$	$1.38$	$1.40$	$1.41$	$1.43$	$1.45$	$1.46$