[段考] 108上第1次段考-桃園-武陵高中-高一(詳解)

108上第1次段考-桃園-武陵高中-高一(詳解)

範圍：108上泰宇1-1~2-1

　 　

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一、多選題(每題7分，共28分)

1. (1)  根據有理數的封閉性，正確
   (2)  無限循環小數必為有理數，正確
   (3)  $\sqrt{2\displaystyle{\frac{7}{9}}}=\sqrt{\displaystyle{\frac{25}{9}}}=\displaystyle{\frac{5}{3}}$為有理數，正確
   (4)  $(2+\sqrt{3})-\displaystyle{\frac{1}{2+\sqrt{3}}}=2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$不為有理數，不選
   (5)  $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}}\times \displaystyle{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}}=2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2=\sqrt{2}$
   不為有理數，不選
   故選(1)(2)(3)
   
   
2. (1)  根據有理數的封閉性，$a=\displaystyle{\frac{{{a}^{5}}}{{{({{a}^{2}})}^{2}}}}$為有理數，正確
   (2)  反例，$a=\sqrt{2}$、$b=-\sqrt{2}$，不選
   (3)  ${{(\sqrt{2}+\sqrt{11})}^{2}}=13+2\sqrt{22}$、${{(\sqrt{6}+\sqrt{7})}^{2}}=13+2\sqrt{42}$，故$\sqrt{6}+\sqrt{7}>\sqrt{2}+\sqrt{11}$，正確。
   (4)  $12=a+3b\ge 2\sqrt{3ab}$，平方得$144\ge 12ab$，$ab\le 12$，最大值即為$12$，正確
   (5)  反例：$a=-\sqrt{3}$、$b=1$，正確
   故選(1)(3)(4)(5)
   
   
3. (1)  長度$=2\times 3=6$
   (2)  長度$=2\times 3=6$
   (3)  長度$2\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}$
   (4)  $0\le x-\sqrt{5}\le 3$$\Rightarrow$$\sqrt{5}\le x\le 3+\sqrt{5}$，長度為$3$
   (5)  $-\sqrt{14+2\sqrt{45}}\le x\le \sqrt{14+2\sqrt{45}}$得$-(3+\sqrt{5})\le x\le 3+\sqrt{5}$，得長度為$6+2\sqrt{5}$
   
   
4. 由圖可知${{m}_{4}}={{m}_{3}}>1>0>{{m}_{2}}>{{m}_{1}}>-1$且${{m}_{3}}\cdot {{m}_{1}}={{m}_{4}}\cdot {{m}_{1}}=-1$，故(1)(2)正確、(3)錯誤；${{m}_{2}}\cdot {{m}_{3}}>{{m}_{1}}\cdot {{m}_{3}}=-1$，故(4)正確；$c$即為${{L}_{4}}$的$y$截距，故$c<0$，正確。
   故選(1)(2)(4)(5)
   
   

二、填充題(每格6分，共66分)

1. ${{({{3}^{2}})}^{-\frac{1}{2}}}\times {{({{2}^{3}})}^{\frac{1}{3}}}\times {{({{({{({{({{3}^{4}})}^{-3}})}^{\frac{1}{2}}})}^{\frac{1}{3}}})}^{-1}}={{3}^{-1}}\times {{2}^{1}}\times {{3}^{2}}=6$
   
   
2. $L$過$(1$，$0)$，左移$2$、上移$1$後會過$(-1$，$1)$，故直線方程式為$x-2y+3=0$
   
   
3. 因$ABCD$為平行四邊形，得$AB$平行$CD$，可令$CD$為$2x-3y=k$，此時$x$截距為$\displaystyle{\frac{k}{2}}$、$y$截距為$-\displaystyle{\frac{k}{3}}$，得$\displaystyle{\frac{k}{2}}+(-\displaystyle{\frac{k}{3}})=-2$，解$k=-12$。
   
   
4. $D=\displaystyle{\frac{2C+B}{3}}=(4$，$\displaystyle{\frac{7}{3}})$，故$AD$方程式為$x-9y+17=0$
   
   
5. 根據算幾不等式，等號成立時為元素均等，故$2x=5y$、$9y=7z$，得$x$：$y$：$z=35$：$14$：$18$，故$\displaystyle{\frac{x}{z}}=\displaystyle{\frac{35}{18}}$。
   
   
6. $ab+9={{a}^{2}}+3b$，得${{a}^{2}}-9=b(a-3)$$\Rightarrow$$a+3=b$，${{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}=(a-c)({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}})$，故$a-c=1$，得$(a$，$b$，$c)=(a$，$a+3$，$a-1)$，故$a-1\ge 1000$、$a+3\le 2000$，得$1997\ge a\ge 1001$，$a$有$997$組解
   
   
7. 令正常與水的氫離子濃度為${{M}_{1}}$、$pH$值為$1.6$雨水的氫離子濃度為${{M}_{2}}$；得$-log{{M}_{1}}=5.6$、$-log{{M}_{2}}=1.6$$\Rightarrow$${{M}_{1}}={{10}^{-5.6}}$、${{M}_{2}}={{10}^{-1.6}}$$\Rightarrow$${{M}_{2}}\div {{M}_{1}}={{10}^{4}}=10000$
   
   
8. $L$方程式為$y=m(x-3)-2$，必過$(3$，$-2)$，將有相交的直線作圖如下，得
   
   
   
   $(0$，$2)$到$A$的斜率$=\displaystyle{\frac{3-(-2)}{2-0}}=\displaystyle{\frac{5}{2}}$；$(0$，$2)$到$B$的斜率$=\displaystyle{\frac{1-(-2)}{5-0}}=\displaystyle{\frac{3}{5}}$，故斜率$m$之範圍為$\displaystyle{\frac{3}{5}}\le m\le \displaystyle{\frac{5}{2}}$
   
   
9. $\sqrt{\displaystyle{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}}=\sqrt{\displaystyle{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$，整數部分為$1$，得$a=1$，$b=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}-1=\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，則$\displaystyle{\frac{2}{b}}-a=\displaystyle{\frac{2}{\displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}}-1=\displaystyle{\frac{4}{\sqrt{5}-1}}-1=\sqrt{5}$
   
   
10. 由${{x}^{2}}-4x+1=0$得$x+\displaystyle{\frac{1}{x}}=4$、${{x}^{2}}+2+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=16$，故${{x}^{3}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{3}}}}=(x+\displaystyle{\frac{1}{x}})({{x}^{2}}-1+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}})=4\cdot 13=52$。
    
    
11. 由$\left| x-\displaystyle{\frac{p}{3}} \right|< \displaystyle{\frac{5}{3}}$解得$\displaystyle{\frac{p}{3}}-\displaystyle{\frac{5}{3}}<x< \displaystyle{\frac{p}{3}}+\displaystyle{\frac{5}{3}}$，故$\displaystyle{\frac{p}{3}}+\displaystyle{\frac{5}{3}}\le 4$、$\displaystyle{\frac{p}{3}}-\displaystyle{\frac{5}{3}}\ge 0$，故$5\le p\le 7$
    
    

三、計算題(共6分，每小題3分)

1. (1)  $37\div 148=\displaystyle{\frac{1}{4}}={{(\displaystyle{\frac{1}{2}})}^{2}}$，故$8\times 2=16$(天)
   
   (2)  $3$月$25$日距$3$月$1$日$24$天，$24\div 8=3$，故$148\times {{2}^{3}}=1184$(貝克)