[段考] 108上第3次段考-台中-台中一中-高一(詳解)

108上第3次段考-台中-台中一中-高一(詳解)

範圍：龍騰 第一冊單元9~12

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一、單一選擇題

1. 開口向下，頂點$(2$，$2)$$\Rightarrow$共$4$個，選(4)
   
   
2. $f(x)=a(x-2)(x-3)(x-4)$右$1$單位$\Rightarrow$$g(x)=a(x-3)(x-4)(x-5)$$\Rightarrow$$f(x)+g(x)=a(x-3)(x-4)(2x-7)$$\Rightarrow$$f(x)+g(x)>0$$\Rightarrow$$x>4$或$3<x<\displaystyle{\frac{7}{2}}$$\Rightarrow$選(4)
   
   

二、多重選擇題

3. $f(x)=({{x}^{2}}-1)q(x)+3x+5$
   (1)  $f(0)=-q(0)+5$，不一定
   (2)  $f(1)=3+5=8$，正確
   (3)  $\displaystyle{\frac{f(1)+f(-1)}{2}}=\displaystyle{\frac{8+2}{2}}=5$，錯誤
   (4)  可能為$3x+5$，正確
   (5)  $(4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+x+1)-(3x+5)=2({{x}^{2}}-1)(2{{x}^{2}}+x+2)$，正確
   
   
4. $x=1$代入$y=3x-2$得$(1$，$1)$$\Rightarrow$$d=k=1$且$c=3$。$(1$，$1)$為對稱中心$\Rightarrow$$b=0$$\Rightarrow$$f(x)=a{{(x-1)}^{3}}+3(x-1)+1$，展開$\Rightarrow$$a{{x}^{3}}-3a{{x}^{2}}+(3x+1)x+(-a-2)$，因$3a+1$可能為負$\Rightarrow$(5)錯誤，選(3)(4)
   
   
5. (1)  由二次係數判斷$2-3+k=1$$\Rightarrow$$k=2$，正確
   (2)  $f(x)=2{{(x-2)}^{2}}-3{{(x-1)}^{2}}+2{{x}^{2}}$$={{x}^{2}}-2x+5$$\Rightarrow$$b=-2$、$c=5$，錯誤
   (3)  ${{x}^{2}}-2x+5$$={{(x-1)}^{2}}+4$$\Rightarrow$對稱軸$x=1$，正確
   (4)  $-\sqrt{3}$離軸$x=1$遠$\Rightarrow$$f(-\sqrt{3})$較大，錯誤
   (5)  解${{x}^{2}}-2x+5=3x-2$$\Rightarrow$${{x}^{2}}-5x+\sqrt{2}+5=0$，判別式$=25-4\cdot 1\cdot (\sqrt{2}+5)=5-4\sqrt{2}<0$，正確
   故選(1)(2)(3)(5)
   
   
6. $f(x)=(x-1)(x-2)(ax+b)$，$\left\{ \begin{array}{l} f(0)=12 \\ f(-3)=60 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} 2b=12 \\ -3a+b=3 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=6 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$f(x)$$=(x-1)(x-2)(x+6)$$={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-16x+12$$\Rightarrow$(1)正確
   
   $f(x)$$={{(x+1)}^{3}}-19(x+1)+30$，(3)(4)錯誤
   $f(6)=5\times 4\times 12=240$，(2)錯誤
   以$(-1$，$30)$為對稱中心之圖形$(a$，$b)$在圖形上$\Rightarrow$正確。
   
   

三、填充題

1. $-\displaystyle{\frac{b}{3a}}=-\displaystyle{\frac{0}{6060}}=0$$\Rightarrow$$y=2020{{(x-0)}^{3}}+(x-0)+16$$\Rightarrow$$(0$，$16)$
   
   
2. $y=a{{(x-2)}^{2}}+27$，$\left\{ \begin{array}{l} -4a=b \\ 4a+27=\displaystyle{\frac{7}{a}} \\ \end{array} \right.$，$a=-7$或$\displaystyle{\frac{1}{4}}$但有最大值得知$a=-7$$\Rightarrow$$(a$，$b)=(-7$，$28)$
   
   
3. $3$代入為零$\Rightarrow$$9+3a+a-5=0$$\Rightarrow$$a=-1$$\Rightarrow$${{x}^{2}}-x-6<0$$\Rightarrow$$-2<x<3$$\Rightarrow$$b=-2$$\Rightarrow$$(a$，$b)=(-1$，$-2)$
   
   
4. $f(x)=(x-2)({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1)+17$，又
   
   $\Rightarrow$$f(x)$$=(x-2)[{{(x-2)}^{3}}+5{{(x-2)}^{2}}+7(x-2)+1]+17$$={{(x-2)}^{4}}+5{{(x-2)}^{3}}+7{{(x-2)}^{2}}+(x-2)+17$$\Rightarrow$$f(2.03)\approx 7\cdot {{0.03}^{2}}+0.03+17\approx 17.036$
   
   
5. 錯誤的多項式為$f(x)+2{{x}^{3}}$$\Rightarrow$$f(x)+2{{x}^{3}}=({{x}^{2}}-x+2)Q(x)+3x+5$$\Rightarrow$$f(x)=({{x}^{2}}-x+2)Q(x)+(-2{{x}^{3}}+3x+5)$
   
   $f(x)=({{x}^{2}}-x+2)Q(x)+(-2x-2)({{x}^{2}}-x+2)+5x+9$
   
   
6. ${{x}^{2}}-14x+k$對稱軸為$x=7$，$9$個解必為$3\sim11$$\Rightarrow$$3$代入為負或$0$、$2$代入為正$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} 9-42+k\le 0 \\ 4-28+k>0 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} k\le 33 \\ k>24 \\ \end{array} \right.$$\Rightarrow$$24<k\le 33$，取$33$
   
   
7. $3{{x}^{2}}-22x+27=20$$\Rightarrow$$3{{x}^{2}}-22x+7=0$$\Rightarrow$$x=\displaystyle{\frac{1}{3}}$或$7$，取$7$$\Rightarrow$$x=7$時有最大利潤$\Rightarrow$$140-(343-539+189+124)=23$
   
   

四、混合題型

1. 依題意，$m=100$
   
   
2. $f(x)=(x+1)(x+3)Q(x)+ax+b$，$f(-1)={{2}^{10}}=1024=-a+b$，$f(-3)=0=-3a+b$$\Rightarrow$$a=512$，$b=1536$$\Rightarrow$$(a$，$b)=(512$，$1536)$
   
   
3. $f(100)=101\cdot 103\cdot Q(x)+100\cdot 512+1536$，$f(100)=101\cdot 103\cdot Q(100)+52736$，$52736$除以$101\cdot 103$餘數為$721$即為所求