[段考] 108上第3次段考-台中-台中一中-高一(題目)

108上第3次段考-台中-台中一中-高一(題目)

範圍：龍騰 第一冊單元9~12

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一、單一選擇題(每題5分，共10分)

1. 二次函數$y=-2{{x}^{2}}+8x-6$的圖形上有多少個點到$x$軸的距離為$1$?
   (1)  $1$個
   (2)  $2$個
   (3)  $3$個
   (4)  $4$個
   (5)  $5$個
   
   
2. 設三次多項式$f(x)$的首像係數為正數，且$f(2)=f(3)=f(4)=0$。若將$y=f(x)$的圖形向右平移$1$單位得$y=g(x)$，則下列選項中的值，哪一個是不等式$f(x)+g(x)>0$的解?
   (1)  $\sqrt{3}-2$
   (2)  $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
   (3)  $\sqrt{3}$
   (4)  $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
   (5)  $\sqrt{3}+2$
   
   

二、多重選擇題(每題8分，共32分)

3. 已知多項式$f(x)$除以${{x}^{2}}-1$的餘式為$3x+5$，請選出所有正確的選項。
   (1)  $f(0)=5$
   (2)  $f(1)=8$
   (3)  $f(x)$的所有偶次項(含常數項)係數和為$3$
   (4)  $f(x)$可能為一次式
   (5)  $f(x)$可能為$4{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+x+1$
   
   
4. 設三次函數$f(x)=a{{(x-1)}^{3}}+b{{(x-1)}^{2}}+c(x-1)+d$的對稱中心$(1$，$k)$，且$y=f(x)$的圖形在$x=1$附近的局部特徵近似值於直線$y=3x-2$，則下列選項中的值，哪些必為正數?
   (1)  $a$
   (2)  $b$
   (3)  $c$
   (4)  $d$
   (5)  $f(x)$的展開式中，一次項的係數。
   
   
5. 設$k$，$b$，$c$皆為實數，已知二次函數$f(x)=2{{(x-2)}^{2}}-3{{(x-1)}^{2}}+k{{x}^{2}}={{x}^{2}}+bx+c$，請選出所有正確的選項。
   (1)  $k=2$
   (2)  數對$(b$，$c)=(2$，$5)$
   (3)  $y=f(x)$圖型的對稱軸方程式為$x=1$
   (4)  當$x$屬於區間$[-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}]$時，$f(x)$的最大值為$f(\sqrt{3})$
   (5)  對任意實數$x$，$y$$=f(x)$的圖形恆在一次函數$y=3x-\sqrt{2}$圖形的上方
   
   
6. 設三次函數$f(x)$滿足$f(1)=f(2)=0$，$f(0)=12$且$f(-3)=60$，請選出所有正確的選項。
   (1)  $y=f(x)$圖形的廣域特徵近似於曲線$y={{x}^{3}}$
   (2)  $f(6)=0$
   (3)  $(\displaystyle{\frac{1}{2}}$，$\displaystyle{\frac{39}{8}})$為$y=f(x)$圖型的對稱中心
   (4)  $y=f(x)$的圖形在$x=1$附近的局部特徵近似於直線$y=19(x+1)+30$
   (5)  若點$(a$，$b)$在$y=f(x)$的圖形上，則點$(-2-a$，$60-b)$也在$y=f(x)$的圖形上
   
   

三、填充題(每格6分，共42分)

1. 三次函數$y=2020{{x}^{3}}+x+16$的對稱中心為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 已知二次函數$y=a{{x}^{2}}+bx+\displaystyle{\frac{7}{a}}$在$x=2$時有最大值$27$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 已知不等式${{x}^{2}}+ax+(a-5)<0$的解為$b<x<3$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 設多項式$f(x)$除以$x-2$的商式為${{x}^{3}}-{{x}^{2}}-x-1$，餘式為$17$，則$f(2.03)$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(四捨五入至小數點後第三位)
   
   
5. 董老師近年因老花嚴重，算數學時經常看錯題目。某日董老師將首項係數為$1$的三次多項式$f(x)$除以${{x}^{2}}-x+2$，進行長除法時不甚將${{x}^{3}}$誤記為$3{{x}^{3}}$(其餘與計算過程都沒錯)，求得的餘式為$3x+5$。試問：$f(x)$除以${{x}^{2}}-x+2$的正確餘式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 設$k$為實數，滿足不等式${{x}^{2}}-14x+k\le 0$的整數解$x$恰有$9$個，則$k$值的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 串串$3D$列印公司是一個完全競爭的廠商。設該公司生產$x$台$3D$列印機的總成本含數為$f(x)={{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+27x+124$(單位：萬元)，且邊際成本含數為$g(x)=3{{x}^{2}}-22x+27$(單位：萬元)。已知串串公司訂定每一台$3D$列印機的售價為$20$萬元，依據經濟學的理論，若一間公司是一個完全競爭的廠商，當邊際成本含數值等於一台售價時所求得的解${{x}_{0}}$，即該公司生產${{x}_{0}}$台時，可獲得最大利潤，則串串公司最大利潤為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$萬元。
   (利潤$=$總售價$-$總成本)
   
   

四、混合題型(共16分)

電腦內部資料都是使用$0$與$1$來儲存的，這種只有$0$與$1$兩種狀態的系統，相當於二進位(數字系統)。人類最常用的十進位，也是目前最常用的系統。
有一天，茂德想求${{20816506}^{10}}$除以$101\times 103$的餘數為$R$，恰巧手邊沒有計算器$APP$應用軟體可使用，於是向數學老師請益，老師提示他可以利用多項式的除法，即令$f(x)={{(20{{x}^{3}}+81{{x}^{2}}+65x+6)}^{10}}$，$g(x)=(x+1)(x+3)$，找到多項式$Q(x)$滿足除法關係式$f(x)={{(20{{x}^{3}}+81{{x}^{2}}+65x+6)}^{10}}$，$g(x)=(x+1)(x+3)$，找到多項式$Q(x)$滿足除法關係式$f(x)=g(x)Q(x)+ax+b$中的未知數$a$、$b$的值，就有機會求出餘數R。
請依題意敘述，試回答下列問題：

1. 若$m$為正整數且$f(m)={{(20816506)}^{10}}$，則$m$值為
   (1)  10
   (2)  20
   (3)  100
   (4)  101
   (5)  103
   
   
2. 滿足$f(x)=g(x)Q(x)+ax+b$的數對$(a\ \ \ \ b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 餘數R的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(選填題)