[段考] 108上第3次段考-台北-北一女中-高一(題目)

108上第3次段考-台北-北一女中-高一(題目)

範圍： 第一冊

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一、多選題(每題10分，共30分)

1. 若$f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$，且$f(-1)=0$，$f(2)=f(6)=1$，則下列哪些選項正確？
   (1)  當$x=4$時，$f(x)$有最小値
   (2)  $a+b+c>0$
   (3)  $f(9)=0$
   (4)  $f(x)$除以$(x-2)(x-6)$的餘式為1
   (5)  $f(x)$除以$(x+1)(x-2)$的餘式為1
   
   
2. 下列關於$f(x)={{(x-3)}^{3}}+3{{(x-3)}^{2}}-2$的敘述，哪些選項正確？
   (1)  $f(x)$的圖形是對稱中心為$(3\ \ \ \ -2)$的點對稱圖形
   (2)  將$g(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$的圖形向右平移3單位，向下平移2單位，會與$f(x)$的圖形疊合
   (3)  $f(x)$的圖形與$x$軸交於兩點
   (4)  方程式$f(x)=0$有三個相異實根
   (5)  多項式$f(x)$可被$x-2$整除
   
   
3. 若多項式$f(x)$除以${{x}^{2}}+2$的餘式為$x-3$，$f(x)$除以$(x-1)({{x}^{2}}+2)$的餘式為$R(x)$，則下列哪些選項正確？
   (1)  $R(x)$必為二次多項式
   (2)  $R(x)$可能為零次多項式
   (3)  $R(x)$可寫成$a({{x}^{2}}+2)+(x-3)$，其中$a$為實數
   (4)  $f(1)=R(1)$
   (5)  若$f(x)$除以$x-1$的餘式為1，則$R(x)=({{x}^{2}}+2)+(x+3)$
   
   

二、填充題(每格6分，共60分)

1. 經濟學上有一個簡單的獲利模型，它有兩個基本假設；
   (1)  獲利$(y)=$$\text{-}$
   (2)  營收與來客數$(x)$成正比
   已知投入的成本為$b$，當來客數為$a$時會損益平衡，即營收與成本相同，此時獲利為0。試問下列哪一個函數圖形比較適合表示上述的獲利模型？
   (1)  
   
   
   (2)  
   
   
   (3)  
   
   
   (4)  
   
   
   
   
2. 多項式$f(x)$除以$x-\displaystyle{\frac{1}{2}}$的餘式為7，$f(x)$除以$x+2$的餘式為$2$，則$f(x)$除以$(2x-1)(x+2)$的餘式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 解不等式$({{x}^{2}}-1)({{x}^{3}}-1)({{x}^{4}}-1)<0$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 遊樂園建造新得雲霄飛車，工程師在坐標平面上設計一個軌道函數$f(x)={{x}^{5}}-10{{x}^{4}}+35{{x}^{3}}-50{{x}^{2}}+24x+5$。如右圖，預計雲霄飛車的搭乘平台位於$(0$，$5)$，即離地高$5$公尺。設$x$為與平台底部的水平距離，$f(x)$為雲霄飛車的軌道高度，試問：當$x=4$時，軌道高度為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公尺。(寫成數值形式)
   
   
   
5. 已知$f(x)$和$g(x)$均為多項式，且$f(x)$和$x\cdot f(x)$分別除以$g(x)$的餘式都是$x-2$。已知$g(x)$的領導係數為$1$，則$g(x)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 身高體重指數$(BMI)$是一個用來分析肥胖因素影響健康的工具，其定義為$BMI=\displaystyle{\frac{身高}{{{(體重)}^{2}}}}$，其中體重單位為公斤，身高為公尺。右表為衛生福利部公布$BMI$與體重分類。已知小綠的體重為$50$公斤，且$BMI$正常，若據以推算他身高$(H)$的可能範圍，可得$\sqrt{\displaystyle{\frac{m}{12}}}<H\le \sqrt{\displaystyle{\frac{M}{37}}}$，求數對$(m$，$M)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

   過輕	$BMI<18.5$
   正常	$18.5\le BMI<24$
   超重	$24\le BMI<27$
   肥胖	$BMI\ge 27$

   
   
7. 若函數$y=k{{x}^{2}}+k$的圖形恆在直線$y=2x$的下方，求實數$k$的範圍$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 已知不等式$a{{x}^{2}}-bx+c>0$的解為$-2<x<3$，求$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx\le 0$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 已知二次函數$f(x)=a{{x}^{2}}-2ax+b$在區間$[-2$，$1]$中的最大值為$6$，最小值為$-3$。求數對$(a$，$b)$的所有可能値$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 已知三次函數$f(x)$的圖形滿足下列兩個條件：
    對於任意數的實數$t$，$f(1-t)+f(1+t)=6$，
    $f(x)$在$x=0$附近近似直線$y=5x+2$，
    求滿足上述條件的$f(x)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、混合題(共10分)

1. 注意：填充題只需填入答案；非選擇題需有計算過程，才能計分。
   經濟學上常以三次多項式函數$C(x)$表示成本函數；以二次函數$g(x)$表示預估可獲利函數。已知某經銷商進貨$x$台儀器的成本函數為$C(x)=\displaystyle{\frac{1}{2}}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-\displaystyle{\frac{1}{2}}x+5$(萬元)，若函數$f(x)=C(x)-[18x-4g(x)]$，滿足$f(1)=f(2)=f(3)=0$。求：
   (1)  填充題：函數$f(x)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   (2)  非選擇題：獲利函數$g(x)$(4分)
   (3)  非選擇題：該經銷商預估可獲利金額的最大值(萬元)(2分)