[段考] 108上第1次段考-台北-松山高中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-松山高中-高一(詳解)

範圍：南一 第一冊1-1~1-4

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一、單選題(每題五分，共四十分)

1. $\sqrt{7+\sqrt{84}}$$=\sqrt{7+9.\cdots }$$=\sqrt{16.\cdots }$$=4.\cdots$，選(A)
   
   
2. 不循環無限小數即為無理數，$\sqrt{121}=11$，故選(D)
   
   
3. ${{5}^{-17}}\cdot {{16}^{-\frac{9}{2}}}$$={{5}^{-17}}\cdot {{({{2}^{4}})}^{-\frac{9}{2}}}$$={{5}^{-17}}\cdot {{2}^{-18}}$$=({{5}^{-17}}\cdot {{2}^{-17}})\cdot {{2}^{-1}}$$={{10}^{-17}}\cdot {{2}^{-1}}$$=0.5\times {{10}^{-17}}$$=5\times {{10}^{-18}}$，故選(C)
   
   
4. 同除以$2$$\Rightarrow$$2\le \left| x-3 \right|<7$$\Rightarrow$在數線上標示為
   
   故整數解為$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$
   共$10$個，選(B)
   
   
5. ${{8}^{100}}={{({{2}^{3}})}^{100}}={{2}^{300}}$，${{16}^{100}}={{({{2}^{4}})}^{100}}={{2}^{400}}$
   ${{8}^{100}}$為$91$位數$\Rightarrow$${{10}^{90}}\le {{2}^{300}}<{{10}^{91}}$$\Rightarrow$${{10}^{0.3}}\le 2<{{10}^{0.3033\cdots }}$
   ${{16}^{100}}$為$121$位數$\Rightarrow$${{10}^{120}}\le {{2}^{400}}<{{10}^{121}}$$\Rightarrow$${{10}^{0.3}}\le 2<{{10}^{0.3025}}$
   取兩範圍交集得${{10}^{0.3}}\le 2<{{10}^{0.3025}}$$\Rightarrow$${{10}^{42}}\le {{2}^{140}}<{{10}^{42.35}}$$\Rightarrow$${{2}^{140}}$為$43$位數
   
   
6. 由內分點公式將$a$，$b$，$c$三點作圖於數線上
   
   可知$c>a>b$，選(B)
   
   
7. 移項得${{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+3a+1=0$$\Rightarrow$${{(a+1)}^{3}}=0$$\Rightarrow$$a=-1$
   $\Rightarrow$所求即$\left| x-(-1) \right|<\left| 2x-1 \right|$
   將數線分成三部分
   
   (1)  若$x<-1$：$-x-1<-2x+1$$\Rightarrow$$x<3$，交集得$x<-1$
   (2)  若$-1\le x\le \displaystyle{\frac{1}{2}}$：$x+1<-2x+1$$\Rightarrow$$x<0$，交集得$-1\le x\le 0$
   (3)  若$x>\displaystyle{\frac{1}{2}}$：$x+1<2x-1$$\Rightarrow$$x>2$，交集得$x>2$
   (1)(2)(3)取聯集得$x>2$或$x<0$，選(D)
   
   
8. $\displaystyle{\frac{21}{59}}\approx 0.356$
   $\displaystyle{\frac{29}{84}}\approx 0.345$
   $\Rightarrow$${{0.345}^{2}}\approx 0.12$，選(D)
   
   

二、填充題(每題六分，共四十二分)

1. (1)  $8{{x}^{3}}+27={{(2x)}^{3+{{3}^{3}}}}$、$8{{x}^{3}}-27={{(2x)}^{3}}-{{3}^{3}}$，
   由立方和公式$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{(2{{x}^{3}})+{{3}^{3}}}{2x+3}}$$={{(2x)}^{2}}-2x\cdot 3+{{3}^{2}}$$=4{{x}^{2}}-6x+9$
   由立方差公式$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{(2{{x}^{3}})-{{3}^{3}}}{2x-3}}$$={{(2x)}^{2}}+2x\cdot 3+{{3}^{2}}$$=4{{x}^{2}}+6x+9$
   $\Rightarrow$原式$=(4{{x}^{2}}-6x+9)-(4{{x}^{2}}+6x+9)$$=-12x$
   (2)  令$a-1=t$$\Rightarrow$$1+3t+3{{t}^{2}}+{{t}^{3}}={{(t+1)}^{3}}$$={{[(a-1)+1]}^{3}}$$={{a}^{3}}$
   
   
2. 將數線分為$x>1$與$x<1$兩段，
   若$x>1$$\Rightarrow$$-1+x-2x\le 3$$\Rightarrow$$x\ge -4$，與$x>1$交集得$x>1$
   若$x\le 1$$\Rightarrow$$1-x-2x\le 3$$\Rightarrow$$x\ge -\displaystyle{\frac{2}{3}}$，與$x\le 1$交集得$-\displaystyle{\frac{2}{3}}\le x\le 1$
   將兩範圍聯集得$x\ge -\displaystyle{\frac{2}{3}}$，區間表示為$[-\displaystyle{\frac{2}{3}}$，$\infty )$
   
   
3. $a={{10}^{5.5}}$$={{10}^{0.5}}\times {{10}^{5}}$$=3.16\times {{10}^{5}}$
   $b={{10}^{6.5}}={{10}^{0.5}}\times {{10}^{6}}$$=3.16\times {{10}^{6}}=31.6\times {{10}^{5}}$
   $\Rightarrow$$a+b$$=(3.16+31.6)\times {{10}^{5}}$$=34.76\times {{10}^{5}}$$=3.476\times {{10}^{6}}$
   
   
4. ${{(x-y)}^{2}}+xy={{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}$
   其中$0\le {{x}^{2}}\le 9$，最大值發生於$x=-3$
   其中$0\le {{y}^{2}}\le 4$，最大值發生於$y=2$
   $-2\le -xy\le 6$，最大值發生於$x=-3$、$y=2$
   最大值發生處相同$\Rightarrow$原式最大值為$9+4+6=19$
   
   
5. 原式$=\sqrt{\displaystyle{\frac{5-2\sqrt{6}}{3}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\displaystyle{\frac{3-\sqrt{6}}{3}}$
   
   
6. 若為有理數$\Rightarrow$分母只能有$2$或$5$，又$175={{5}^{2}}\times 7$$\Rightarrow$分子$82a150$必有因數$7$
   $\Rightarrow$$820150+1000a$必有因數$7$，又$820150$除以$7$餘$2$、$1000$除以$7$餘$6$
   $\Rightarrow$$820150+1000a$$=(820148+994a)+2+6a$，故$2+6a$為$7$的倍數$\Rightarrow$$a=2$或$9$
   
   
7. $1.25=\displaystyle{\frac{5}{4}}=\displaystyle{\frac{5}{{{2}^{2}}}}$$\Rightarrow$${{1.25}^{n}}={{({{10}^{0.699}}\div {{10}^{2\times 0.301}})}^{n}}$$={{({{10}^{0.097}}\text{)}}^{n}}$$={{10}^{0.097n}}$，$10$位數$\Rightarrow$$0.097n<10$$\Rightarrow$$n<103.09$$\Rightarrow$$n$最大$103$
   
   

三、計算題(每題六分，需有詳細過程，共十八分)

1. (1)  $\displaystyle{\frac{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}{2}}\ge \sqrt{36{{x}^{2}}{{y}^{2}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{24}{2}}\ge 6xy$$\Rightarrow$$2\ge xy$最大值$2$
   (2)  ${{(2x+3y)}^{2}}=4{{x}^{2}}+12xy+9{{y}^{2}}$$=24+12xy$
   $\Rightarrow$由(1)小題知：當$xy=2$時，即有最大值$=24+12\times 2=48$，其中$4{{x}^{2}}=9{{y}^{2}}$，即$2x=3y$。又$xy=2$，將$x=\displaystyle{\frac{3}{2}}y$代入得$x=\sqrt{3}$、$y=\displaystyle{\frac{2}{3}}\sqrt{3}$。
   
   
2. 令$a={{(37+6\sqrt{28})}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{37+2\sqrt{9\cdot 29}}$$=\sqrt{28}+3$
   令$b={{(37-6\sqrt{28})}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{37-2\sqrt{9\cdot 29}}$$=\sqrt{28}-3$
   所求$=\sqrt{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}$$=\sqrt{(a-b)[{{(a-b)}^{2}}+3ab]}$$=\sqrt{{{6}^{3}}+3\cdot 6\cdot 19}$$=\sqrt{216+342}$$=\sqrt{558}$$=3\sqrt{62}$
   
   
3. $a={{8}^{{{6}^{12}}}}={{({{2}^{3}})}^{{{6}^{12}}}}$$\approx {{[({{10}^{0.301}})3]}^{{{6}^{12}}}}$$={{({{10}^{.903}})}^{{{6}^{12}}}}$
   $b={{6}^{{{12}^{8}}}}={{(2\cdot 3)}^{{{12}^{8}}}}$$\approx {{({{10}^{0.301}}\cdot {{10}^{0.4771}})}^{{{12}^{8}}}}$$={{({{10}^{0.7781}})}^{{{12}^{8}}}}$
   $\Rightarrow$${{a}^{\frac{1}{{{6}^{8}}}}}\approx {{[{{({{10}^{0.903}})}^{{{6}^{12}}}}]}^{\frac{1}{{{6}^{8}}}}}={{({{10}^{0.903}})}^{{{6}^{4}}}}={{({{10}^{0.903}})}^{1296}}\approx {{10}^{1170}}$、${{b}^{\frac{1}{{{6}^{8}}}}}\approx {{[{{({{10}^{0.7781}})}^{{{12}^{8}}}}]}^{\frac{1}{{{6}^{9}}}}}={{({{10}^{0.7781}})}^{{{2}^{8}}}}={{({{10}^{0.7781}})}^{256}}\approx {{10}^{200}}$
   $\Rightarrow a>b$