108上第1次段考-台北-松山高中-高一(詳解)
範圍:南一 第一冊1-1~1-4
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一、單選題(每題五分,共四十分)
- $\sqrt{7+\sqrt{84}}$$=\sqrt{7+9.\cdots }$$=\sqrt{16.\cdots }$$=4.\cdots $,選(A)
- 不循環無限小數即為無理數,$\sqrt{121}=11$,故選(D)
- ${{5}^{-17}}\cdot {{16}^{-\frac{9}{2}}}$$={{5}^{-17}}\cdot {{({{2}^{4}})}^{-\frac{9}{2}}}$$={{5}^{-17}}\cdot {{2}^{-18}}$$=({{5}^{-17}}\cdot {{2}^{-17}})\cdot {{2}^{-1}}$$={{10}^{-17}}\cdot {{2}^{-1}}$$=0.5\times {{10}^{-17}}$$=5\times {{10}^{-18}}$,故選(C)
- 同除以$2$$\Rightarrow $$2\le \left| x-3 \right|<7$$\Rightarrow $在數線上標示為故整數解為$-3$,$-2$,$-1$,$0$,$1$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$
共$10$個,選(B)
- ${{8}^{100}}={{({{2}^{3}})}^{100}}={{2}^{300}}$,${{16}^{100}}={{({{2}^{4}})}^{100}}={{2}^{400}}$
${{8}^{100}}$為$91$位數$\Rightarrow $${{10}^{90}}\le {{2}^{300}}<{{10}^{91}}$$\Rightarrow $${{10}^{0.3}}\le 2<{{10}^{0.3033\cdots }}$
${{16}^{100}}$為$121$位數$\Rightarrow $${{10}^{120}}\le {{2}^{400}}<{{10}^{121}}$$\Rightarrow $${{10}^{0.3}}\le 2<{{10}^{0.3025}}$
取兩範圍交集得${{10}^{0.3}}\le 2<{{10}^{0.3025}}$$\Rightarrow $${{10}^{42}}\le {{2}^{140}}<{{10}^{42.35}}$$\Rightarrow $${{2}^{140}}$為$43$位數
- 由內分點公式將$a$,$b$,$c$三點作圖於數線上可知$c>a>b$,選(B)
- 移項得${{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+3a+1=0$$\Rightarrow $${{(a+1)}^{3}}=0$$\Rightarrow $$a=-1$
$\Rightarrow $所求即$\left| x-(-1) \right|<\left| 2x-1 \right|$
將數線分成三部分(1) 若$x<-1$:$-x-1<-2x+1$$\Rightarrow $$x<3$,交集得$x<-1$
(2) 若$-1\le x\le \displaystyle{\frac{1}{2}}$:$x+1<-2x+1$$\Rightarrow $$x<0$,交集得$-1\le x\le 0$
(3) 若$x>\displaystyle{\frac{1}{2}}$:$x+1<2x-1$$\Rightarrow $$x>2$,交集得$x>2$
(1)(2)(3)取聯集得$x>2$或$x<0$,選(D)
- $\displaystyle{\frac{21}{59}}\approx 0.356$
$\displaystyle{\frac{29}{84}}\approx 0.345$
$\Rightarrow $${{0.345}^{2}}\approx 0.12$,選(D)
二、填充題(每題六分,共四十二分)
- (1) $8{{x}^{3}}+27={{(2x)}^{3+{{3}^{3}}}}$、$8{{x}^{3}}-27={{(2x)}^{3}}-{{3}^{3}}$,
由立方和公式$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{(2{{x}^{3}})+{{3}^{3}}}{2x+3}}$$={{(2x)}^{2}}-2x\cdot 3+{{3}^{2}}$$=4{{x}^{2}}-6x+9$
由立方差公式$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{(2{{x}^{3}})-{{3}^{3}}}{2x-3}}$$={{(2x)}^{2}}+2x\cdot 3+{{3}^{2}}$$=4{{x}^{2}}+6x+9$
$\Rightarrow $原式$=(4{{x}^{2}}-6x+9)-(4{{x}^{2}}+6x+9)$$=-12x$
(2) 令$a-1=t$$\Rightarrow $$1+3t+3{{t}^{2}}+{{t}^{3}}={{(t+1)}^{3}}$$={{[(a-1)+1]}^{3}}$$={{a}^{3}}$
- 將數線分為$x>1$與$x<1$兩段,
若$x>1$$\Rightarrow $$-1+x-2x\le 3$$\Rightarrow $$x\ge -4$,與$x>1$交集得$x>1$
若$x\le 1$$\Rightarrow $$1-x-2x\le 3$$\Rightarrow $$x\ge -\displaystyle{\frac{2}{3}}$,與$x\le 1$交集得$-\displaystyle{\frac{2}{3}}\le x\le 1$
將兩範圍聯集得$x\ge -\displaystyle{\frac{2}{3}}$,區間表示為$[-\displaystyle{\frac{2}{3}}$,$\infty )$
- $a={{10}^{5.5}}$$={{10}^{0.5}}\times {{10}^{5}}$$=3.16\times {{10}^{5}}$
$b={{10}^{6.5}}={{10}^{0.5}}\times {{10}^{6}}$$=3.16\times {{10}^{6}}=31.6\times {{10}^{5}}$
$\Rightarrow $$a+b$$=(3.16+31.6)\times {{10}^{5}}$$=34.76\times {{10}^{5}}$$=3.476\times {{10}^{6}}$
- ${{(x-y)}^{2}}+xy={{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}$
其中$0\le {{x}^{2}}\le 9$,最大值發生於$x=-3$
其中$0\le {{y}^{2}}\le 4$,最大值發生於$y=2$
$-2\le -xy\le 6$,最大值發生於$x=-3$、$y=2$
最大值發生處相同$\Rightarrow $原式最大值為$9+4+6=19$
- 原式$=\sqrt{\displaystyle{\frac{5-2\sqrt{6}}{3}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\displaystyle{\frac{3-\sqrt{6}}{3}}$
- 若為有理數$\Rightarrow $分母只能有$2$或$5$,又$175={{5}^{2}}\times 7$$\Rightarrow $分子$82a150$必有因數$7$
$\Rightarrow $$820150+1000a$必有因數$7$,又$820150$除以$7$餘$2$、$1000$除以$7$餘$6$
$\Rightarrow $$820150+1000a$$=(820148+994a)+2+6a$,故$2+6a$為$7$的倍數$\Rightarrow $$a=2$或$9$
- $1.25=\displaystyle{\frac{5}{4}}=\displaystyle{\frac{5}{{{2}^{2}}}}$$\Rightarrow $${{1.25}^{n}}={{({{10}^{0.699}}\div {{10}^{2\times 0.301}})}^{n}}$$={{({{10}^{0.097}}\text{)}}^{n}}$$={{10}^{0.097n}}$,$10$位數$\Rightarrow $$0.097n<10$$\Rightarrow $$n<103.09$$\Rightarrow $$n$最大$103$
三、計算題(每題六分,需有詳細過程,共十八分)
- (1) $\displaystyle{\frac{4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}}{2}}\ge \sqrt{36{{x}^{2}}{{y}^{2}}}$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{24}{2}}\ge 6xy$$\Rightarrow $$2\ge xy$最大值$2$
(2) ${{(2x+3y)}^{2}}=4{{x}^{2}}+12xy+9{{y}^{2}}$$=24+12xy$
$\Rightarrow $由(1)小題知:當$xy=2$時,即有最大值$=24+12\times 2=48$,其中$4{{x}^{2}}=9{{y}^{2}}$,即$2x=3y$。又$xy=2$,將$x=\displaystyle{\frac{3}{2}}y$代入得$x=\sqrt{3}$、$y=\displaystyle{\frac{2}{3}}\sqrt{3}$。
- 令$a={{(37+6\sqrt{28})}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{37+2\sqrt{9\cdot 29}}$$=\sqrt{28}+3$
令$b={{(37-6\sqrt{28})}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{37-2\sqrt{9\cdot 29}}$$=\sqrt{28}-3$
所求$=\sqrt{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}$$=\sqrt{(a-b)[{{(a-b)}^{2}}+3ab]}$$=\sqrt{{{6}^{3}}+3\cdot 6\cdot 19}$$=\sqrt{216+342}$$=\sqrt{558}$$=3\sqrt{62}$
- $a={{8}^{{{6}^{12}}}}={{({{2}^{3}})}^{{{6}^{12}}}}$$\approx {{[({{10}^{0.301}})3]}^{{{6}^{12}}}}$$={{({{10}^{.903}})}^{{{6}^{12}}}}$
$b={{6}^{{{12}^{8}}}}={{(2\cdot 3)}^{{{12}^{8}}}}$$\approx {{({{10}^{0.301}}\cdot {{10}^{0.4771}})}^{{{12}^{8}}}}$$={{({{10}^{0.7781}})}^{{{12}^{8}}}}$
$\Rightarrow $${{a}^{\frac{1}{{{6}^{8}}}}}\approx {{[{{({{10}^{0.903}})}^{{{6}^{12}}}}]}^{\frac{1}{{{6}^{8}}}}}={{({{10}^{0.903}})}^{{{6}^{4}}}}={{({{10}^{0.903}})}^{1296}}\approx {{10}^{1170}}$、${{b}^{\frac{1}{{{6}^{8}}}}}\approx {{[{{({{10}^{0.7781}})}^{{{12}^{8}}}}]}^{\frac{1}{{{6}^{9}}}}}={{({{10}^{0.7781}})}^{{{2}^{8}}}}={{({{10}^{0.7781}})}^{256}}\approx {{10}^{200}}$
$\Rightarrow a>b$
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