108上第1次段考-台北-陽明高中-高一(題目)
範圍：泰宇 第一冊1-1~1-3
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一、單選題(每題5分，共10分)
- 若$a=\sqrt{11+\sqrt{59}}$，則$a$的值會落在哪連續整數之間?
(A) $1$和$2$
(B) $2$和$3$
(C) $3$和$4$
(D) $4$和$5$
(E) $5$和$6$
- 已知$x-\displaystyle{\frac{1}{x}}=-2$，試問${{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=$?
(A) $6$
(B) $8$
(C) $4$
(D) $2$
(E) 無法計算
二、填充題(每格4分，共40分)
- 化簡下列各式：
(1) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(2) $\displaystyle{\frac{\sqrt{15}+3}{\sqrt{15}-3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(3) $\sqrt{11+2\sqrt{30}=}$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- (1) 若$\left| 3x+1 \right|=6$表示$x$在數線上與$a$相距為$b$，則數對$(a$，$b)$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(2) 已知$f(x)=\left| x+3 \right|+\left| x-4 \right|$，則$f(x)$在數線上的幾何含意是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$，$f(x)$之最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知水星與太陽的平均距離為$5.79\times {{10}^{7}}$公里，金星與太陽的平均距離約為$1.08\times {{10}^{8}}$公里，均取$3$位有效位數。請問：
(1) 金星到太陽比水星到太陽平均約遠$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$公里?
(2) 水星與太陽的平均距離，約為金星與太陽的$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$倍。
- $108$年國中教育會考報名經全國試務會統計，全國$18$考區及大陸考場總報名人數為$21$萬$5,219$人(資料來源：教育部全球資訊網)，試問：
(1) 總報名人數是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$量級的數。
(2) 請問，在所有屬於${{10}^{6}}$量級的「正整數」中，最小的數為$p$、最大的數為$q$，則$(p$，$q)$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
三、題組題(共54分)
- 試回答下列關於有理數的問題：(每格4分，共24分)
(1) 請問何謂有理數?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(2) 承上，任何有理數化為小數時，此小數必為有限小數或無限循環小數。若某個分數可以化為有限小數，則此分數的形式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(3) 利用(2)的結果，若已知$a\in N$，$1\le a\le 9$，且$\displaystyle{\frac{2a435}{88}}$可化為有限小數，則$a$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ 。
(4) 利用長除法試試看，$\displaystyle{\frac{1}{13}}$化為小數後的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$，小數點後第$99$位的數字為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
(5) 由(4)可知，當分子除以分母除不盡時，必定會得到無限循環小數，是否正確?請說明你的理由。
- 小明在複習數學講義時，看到講義上有一道題目這樣出：「請將循環小數$0.8\overline{32}$化為分數」，但是上課老師在講解這道題目的時候，小明不小心睡著了，結果在計算欄中只留著頭尾幾個算式，中間的過程都不見了(算式如下)，試幫小明完成這一題的計算過程!($5$分)
$0.8\overline{32}=0.832323232...$
設$x=0.8\overline{32}$
$990x=824$
所以$x=\displaystyle{\frac{824}{990}}$
- 根據算幾不等式的描述如下：
若$a\ge 0$、$b\ge 0$，其中$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$稱為$a$和$b$的算數平均數，$\sqrt{ab}$稱為$a$和$b$的幾何平均數。則此兩數存在一個不等關係，亦即$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$，且當$a=b$時，等號成立。
(1) 在證明上述不等式中，我們時常會利用「兩數相減大於$0$」來說明某一個數大於另一個數，試利用這個方式證明$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$。($5$分)
(2) 試利用算幾不等式的結論說明：面積為$64$的所有矩形中，哪一種矩形的周長最短?請說明你的理由。($5$分)
(3) 自媒體時代的開啟，加上智慧型手機的普及化，讓我們可以透過臉書$(FB)$或是$Instagram(IG)$不定時的紀錄日常。兩者對於圖片上傳與顯示各有不同，像是$FB$提供許多種圖片顯示方法、$IG$則對圖片的規格則會自動剪裁或放大圖片，為了讓照片能拼砌出一致性的畫面(沒有多餘的白邊)顯示，$IG$很多時候都盡量使用正方形比例。小藍想分享一張圖片到$IG$，這張照片長與寬不等長(長方形)，因此欲轉換成正方形，系統中轉換成正方形的邊長有兩種方式：
第一種是直接將長方形的周長轉成正方形(即正方形的邊長等於長加寬的一半長)；
第二種是將長方形的面積轉為正方形(即邊長是長乘以寬後再開根號)。
請分析比較以上兩種轉換方式，寫出哪一種轉換方式得到的正方形邊長比較大，並加以說明理由。($5$分)圖片來源：ETtoday新聞雲
- 請閱讀甲、乙兩則資料，並回答下列問題：
(甲) 網路上盛傳一封郵件：「台大醫院皮膚科醫師，只相信凡士林和南僑肥皂」內容指出有個同學有陣子皮膚過敏去台大看，醫生叫他用南僑水晶肥皂洗澡，洗一個星期後完全根治，後來這同學就一直用水晶肥皂洗澡。($2012/1/2$（台大醫生只靠肥皂凡士林?網友狂寄）)。
(乙) $1909$年，化學家索倫森對外發表酵素催化的研究、其中他發明的$pH$值概念寫了出來，並大力宣傳了$pH$值便利性(快速判斷酸鹼)及準確性(馬上可以回推氫離子濃度)，逐漸有許多科學家使用這個數值來進行紀錄，漸漸地$pH$便成為了氫離子濃度的研究中相當重要的指標。$pH$值為溶液中氫離子濃度的一種標度，即是溶液酸鹼程度的衡量標準，其定義為$pH$值$=-log[{{H}^{+}}]$，其中$[{{H}^{+}}]$為溶液中氫離子濃度。人類身體各區域皮膚酸鹼成度略有不同，臉部角質層的$pH$值大概在$4.5\sim6.5$之間，男性會比女性酸一點，油性皮膚的人會比乾性皮膚的人酸一點。越往皮膚深層就越鹼，到達有活細胞的真皮層時，$pH$值已經到達$7.2\sim7.4$左右，再更深到底下的組液或血液，酸鹼度大約在$pH7.35\sim7.45$之間。因此，我們的身體是個「外層弱酸，逐漸變鹼，內層弱鹼」的結構。(改寫自臉書$MedPartner$、網路資料)
請問：
(1) 若臉部角質層$5.45$，血液$pH$值為$7.45$，則臉部氫離子濃度為血液氫離子濃度的$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$倍。($5$分)
(2) 已知水晶肥皂的$pH$值為$11\sim12$，綜合上述資料，你認為(甲)中這則網路新聞的真實性為何?請提出你的看法。($5$分)
(3) 若水晶肥皂的$pH$值為$11.5$，其氫離子濃度為$a\times {{10}^{n}}$，$1\le a<10$，其中$a$取$3$為有效位數，且已知$\sqrt{10}\approx 3.16$，求數對$(a$，$n)=$?($5$分)
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