[段考] 108上第1次段考-台北-大同高中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-大同高中-高一(詳解)

範圍：南一 第一冊1-1~1-4

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一、填充題：80分(每題5分)

1. 展開$\Rightarrow$$3m-\sqrt{2}m+4\sqrt{2}n=6+2\sqrt{2}$$\Rightarrow$$3m-6=\sqrt{2}(m-4n+2)$，根據有理數封閉性$\Rightarrow$$m=2$、$n=1$
   
   
2. 原式$=\sqrt{28-2\sqrt{75}}$$=\sqrt{25}-\sqrt{3}$$=5-\sqrt{3}$$\approx 5-1.7$$=3.3$$\Rightarrow$$a=3$、$b=5-\sqrt{3}-3=2-\sqrt{3}$$\Rightarrow$$a+\displaystyle{\frac{1}{b}}=6+\displaystyle{\frac{1}{2-\sqrt{3}}}$$=3+2+\sqrt{3}=5+\sqrt{3}$
   
   
3. 由條件知$A$、$P$、$B$之點分布的情形如下：
   
   $\Rightarrow$$x-(-7)$：$x-3=3$：$2$$\Rightarrow$$3x-9=2x+28$$\Rightarrow$$x=37$
   
   $\Rightarrow$$x-(-7)$：$3-x=3$：$2$$\Rightarrow$$9-3x=2x+28$$\Rightarrow$$x=-\displaystyle{\frac{19}{5}}$
   
   
4. 將數線分三段討論
   
   (1)  $(-x+1)+(-x+5)=8$$\Rightarrow$$x=-1$
   (2)  $(x-1)+(5-x)=8$$\Rightarrow$$x$無解
   (3)  $(x-1)+(x-5)=8$$\Rightarrow$$x=7$
   $x=-1$或$7$
   
   
5. 將數線分三段討論
   
   (1)  $(-x-3)+(-x+2)>9$$\Rightarrow$$-2x>10$$\Rightarrow$$x<-5$
   (2)  $(x+3)+(-x+2)>9$$\Rightarrow$$5>9$，無解
   (3)  $(x+3)+(x-2)>9$$\Rightarrow$$2x>8$$\Rightarrow$$x>4$
   將(1)(2)(3)取聯集$\Rightarrow$$x<-5$或$x>4$
   
   
6. $-1$與$4$之中點為$\displaystyle{\frac{3}{2}}$$\Rightarrow$$-1\le x\le 4$之解範圍即「$x$到$\displaystyle{\frac{3}{2}}$之距離$\le \displaystyle{\frac{5}{2}}$」$\Rightarrow$$\left| x-\displaystyle{\frac{3}{2}} \right|\le \displaystyle{\frac{5}{2}}$$\Rightarrow$$\left| -2x+3 \right|\le 5$$\Rightarrow$$a=-2$，$b=5$
   
   
7. ${{36}^{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}}\times {{6}^{\sqrt{2}}}={{({{6}^{2}})}^{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}}\times {{6}^{\sqrt{2}}}={{6}^{1-\sqrt{2}}}\times {{6}^{\sqrt{2}}}={{6}^{1}}=6$
   
   
8. ${{a}^{\frac{3}{4}}}=27$$\Rightarrow$${{({{a}^{\frac{3}{4}}})}^{\frac{4}{3}}}={{27}^{\frac{4}{3}}}$$\Rightarrow$${{a}^{1}}={{({{3}^{3}})}^{\frac{4}{3}}}={{3}^{4}}=81$
   
   
9. $\displaystyle{\frac{2}{3}}<\displaystyle{\frac{3}{4}}$$\Rightarrow$${{0.7}^{\frac{2}{3}}}>{{0.7}^{\frac{3}{4}}}$$\Rightarrow$$a>b$
   
   
10. $\sqrt{3}\times \sqrt[3]{4}$$={{3}^{\frac{1}{2}}}\times {{({{2}^{2}})}^{\frac{1}{3}}}$$={{3}^{\frac{1}{2}}}\times {{2}^{\frac{2}{3}}}$
    
    
11. ${{(40)}^{\frac{1}{3}}}\times {{[{{(625)}^{\frac{1}{3}}}]}^{\frac{1}{2}}}$$={{({{2}^{3}}\times 5)}^{\frac{1}{3}}}{{[{{({{5}^{4}})}^{\frac{1}{3}}}]}^{\frac{1}{2}}}$$=2\times {{5}^{\frac{1}{3}}}\times {{5}^{\frac{2}{3}}}$$=2\times 5$$=10$
    
    
12. ${{10}^{-2\log 3}}$$={{({{10}^{log3}})}^{2}}={{3}^{2}}=9$
    
    
13. ${{({{10}^{log2}})}^{x}}={{10}^{log5}}$$\Rightarrow$$x=\displaystyle{\frac{log5}{log2}}$
    
    
14. $0.0001<0.000357<0.001$
    $\Rightarrow$${{10}^{-4}}<0.000357<{{10}^{-3}}$
    $\Rightarrow$$-4<log0.000357<-3$
    $\Rightarrow$$-3$與$-4$之間
    
    
15. $1.5\times {{10}^{4}}\times 365\times 100=547.5\times {{10}^{6}}=5.47\times {{10}^{8}}$$\Rightarrow$取$5.5\times {{10}^{8}}$
    
    
16. $d(I)=10log\displaystyle{\frac{I}{{{I}_{0}}}}$$=10log\displaystyle{\frac{{{10}^{2}}}{{{10}^{-12}}}}$$=10log{{10}^{14}}$$=10\times 14=140$
    
    

二、說明，舉例，證明題：20分

1. (1)  若一數可表為$\displaystyle{\frac{q}{p}}$之形式，且$p$，$q$皆為整數，$(p$，$q)=1$，則$\displaystyle{\frac{q}{p}}$為有理數。
   (2)  $\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$為$a$、$b$中點，故$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$必在$a$，$b$之間，且$a$，$b$為有理數，根據有理數的封閉性，$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$即為所求
   (3)  $a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$
   
   
2. 若$5+\sqrt{2}$為有理數，因$-5$亦為有理數，則$(5+\sqrt{2})+(-5)=\sqrt{2}$亦為有理數。但$\sqrt{2}$為無理數，根據反證法原理，$5+\sqrt{2}$為無理數。
   
   
3. 因$a$，$b$非負$\Rightarrow$$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意義$\Rightarrow$${{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}\ge 0$$\Rightarrow$$a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b\ge 0$，又$a$，$b$非負$\Rightarrow$$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$$\Rightarrow$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$，其中$a=b$時，${{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}\ge 0$等號成立，故$\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$在$a=b$時等號成立。