[段考] 108上第1次段考-台北-大直高中-高一(題目)

108上第1次段考-台北-大直高中-高一(題目)

範圍：龍騰 第一冊單元1~5

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一、多重選擇題(每題6分，錯一個選項得4分，錯兩個選項得2分，錯三個或三個以上選項得0分，未作答不給分，共18分)

1. 下列哪些數可化成有限小數?
   (A)  $\displaystyle{\frac{78}{30}}$
   (B)  $\displaystyle{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{108}}}$
   (C)  ${{10}^{-0.5}}$
   (D)  ${{10}^{\log 0.2}}$
   (E)  $\log ({{10}^{-0.3}})$
   
   
2. 有關有理數與無理數的運算性質，下列哪些敘述是正確的?
   (A)  若$a$，$b$都是無理數，則$\displaystyle{\frac{a}{b}}$是無理數
   (B)  若$a+b$與$a-b$都是有理數，則$a$，$b$皆為有理數
   (C)  若$ab$與$\displaystyle{\frac{a}{b}}$都是有理數，則$a$，$b$皆為有理數
   (D)  若$a$，$b$是有理數且$c$是無理數，則$a+bc$是無理數
   (E)  設$a\ne 0$，若${{a}^{3}}$、${{a}^{5}}$都是有理數，則$a$是有理數
   
   
3. 設$a={{2}^{0.4}}$，$b={{4}^{0.3}}$，則下列選項哪些是正確的?
   (A)  ${{a}^{4}}=2b$
   (B)  ${{a}^{3}}={{b}^{2}}$
   (C)  $a-b={{2}^{-0.2}}$
   (D)  $a\times b=2$
   (E)  $\displaystyle{\frac{a}{b}}={{2}^{0.2}}$
   
   

二、填充題(每題6分)

1. 已知$a$，$b$，$c$為非負整數，且$a>b>c$，若$0.\overline{a}+0.\overline{bc}=0.\overline{76}$，則滿足上述條件的序對($a$，$b$，$c$)有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$組。
   
   
2. 設${{(27-5\sqrt{8})}^{\frac{1}{2}}}$的整數部分為$a$，小數部分為$b$，則$b+\displaystyle{\frac{2}{b}}-a=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設$a$為整數，若$\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{a+5\sqrt{12}}$亦為整數，則$a=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 設$a$，$b$為實數，已知$\left| ax-3 \right|\le b$的解為$-5\le x\le 2$，則數對$(a$，$b)$為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知$x$為實數且$\left| x+4 \right|=3\left| x-2 \right|$，則$x$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。($x$有兩解)
   
   
6. 已知不等式$\left\{ \begin{array}{l}
   \left| x-1 \right|<a \\
   \left| 2x+5 \right|\ge b \\
   \end{array} \right.$的解為$-1\le x<5$，則數對$(a$，$b)$為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 已知$a>1$且$a+{{a}^{-1}}=6$，則${{a}^{\frac{1}{2}}}-{{a}^{-\frac{1}{2}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 已知${{9}^{x}}=\sqrt{2}+1$，則$\displaystyle{\frac{{{27}^{x}}-{{27}^{-x}}}{{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 芮氏規模為地震大小的標度，芮氏規模每增加$1$，釋放的能量約變為$32$倍，則芮氏規模$5.8$所釋放的能量是芮氏規模$4.2$的$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$倍。
   
   
10. 農夫想用籬笆沿著牆邊圍出兩塊相鄰且大小相同的長方形田地，其中靠牆的一邊不圍，如圖所示。已知圍籬的總長為$72$公尺，求其中一塊長方形田地面積的最大值$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方公尺。
    
    
    
11. 已知$\log 2\approx 0.3010$，$\log 3\approx 0.4771$，則${{6}^{40}}$是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$位數。
    
    
12. 正實數$a$的小數部分為$b$，且$a+{{b}^{2}}$為正整數，則$b=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、計算與證明題(共10分)

1. 已知$\log 2=a$，$\log 3=b$，
   (1)  試求${{2}^{\frac{1}{a}}}$。($6$分)
   (2)  試證：${{2}^{b}}={{3}^{a}}$。($4$分)