[段考] 108上第1次段考-臺北-大直高中-高一(詳解)

108上第1次段考-臺北-大直高中-高一(詳解)

範圍：龍騰 第一冊單元1~單元5

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一、多重選擇題(每題6分，錯一個選項得4分，錯兩個選項得2分，錯三個或三個以上選項得0分，未作答不給分，共18分)

有限小數$\Rightarrow$化為最簡後為分母僅有$2$或$5$的冪次之有理數。
(A)  $\displaystyle{\frac{78}{30}}=\displaystyle{\frac{13}{5}}$，選
(B)  $\displaystyle{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{108}}}=\displaystyle{\frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}}=\displaystyle{\frac{5}{6}}$，選
(C)  ${{10}^{-0.5}}=\displaystyle{\frac{1}{{{10}^{0.5}}}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}}}$，不選
(D)  ${{10}^{log0.2}}=0.2$，選
(E)  $log({{10}^{-0.3}})=-0.3$，選
故選(A)(B)(D)(E)


1. (A)  有可能為$0$，不真
   (B)  $a=\displaystyle{\frac{(a+b)+(a-b)}{2}}$為有理數；$b=\displaystyle{\frac{(a+b)-(a-b)}{2}}$為有理數，選
   (C)  反例：$a=b=\sqrt{2}$，不真
   (D)  反例：$a=1$，$b=0$，$c=\sqrt{2}$，則$a+bc=1$，不真
   (E)  $\displaystyle{\frac{{{({{a}^{{3}}}{)}}^{{2}}}}{{{a}^{5}}}}=a$為有理數，選
   故選(B)(E)
   
   
2. $b={{4}^{0.3}}={{({{2}^{2}})}^{0.3}}={{2}^{0.6}}$
   (A)  ${{a}^{4}}={{({{2}^{0.4}})}^{4}}={{2}^{1.6}}$，$2b={{2}^{1}}\cdot {{2}^{0.6}}={{2}^{1.6}}$，正確
   (B)  ${{a}^{3}}={{(0.4)}^{3}}={{2}^{1.2}}$，${{b}^{2}}={{({{2}^{0.6}})}^{2}}={{2}^{1.2}}$，正確
   (C)  $a-b={{2}^{0.4}}-{{2}^{0.6}}\ne {{2}^{-0.2}}$，不真
   (D)  $a\times b={{2}^{0.4}}\times {{2}^{0.6}}={{2}^{0.4+0.6}}={{2}^{1}}$，正確
   (E)  $\displaystyle{\frac{a}{b}}=\displaystyle{\frac{{{2}^{0.4}}}{{{2}^{0.6}}}}={{2}^{0.4-0.6}}={{2}^{-0.2}}$，不真
   故選(A)(B)(D)
   
   

二、填充題(每題6分)

$0.\bar{a}=\displaystyle{\frac{a}{9}}$，$0.\overline{bc}=\displaystyle{\frac{10b+c}{99}}$，$0.\overline{76}=\displaystyle{\frac{76}{99}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{a}{9}}+\displaystyle{\frac{10b+c}{99}}=\displaystyle{\frac{76}{99}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{11a+10b+c}{99}}=\displaystyle{\frac{76}{99}}$$\Rightarrow$$11a+10b+c=76$，因$a$，$b$，$c$非負，且$a>b>c$$\Rightarrow$$a=3$，$4$，$5$，$6$
若$a=3$$\Rightarrow$$a<b<3$$\Rightarrow$$11a+10b+c$不可能為$76$
若$a=4$$\Rightarrow$$a<b<4$$\Rightarrow$$44+10b+c=76$$\Rightarrow$$10b=c=32$$\Rightarrow$$b=3$、$c=2$
若$a=5$$\Rightarrow$$a<b<5$$\Rightarrow$$55+10b+c=76$$\Rightarrow$$10b+c=21$$\Rightarrow$$b=2$，$c=1$
若$a=6$$\Rightarrow$$a<b<6$$\Rightarrow$$66+10b+c=76$$\Rightarrow$$a=1$，$c=0$
$\Rightarrow$${3}$組


1. $\sqrt{27-5\sqrt{8}}=\sqrt{27-\sqrt{200}}=\sqrt{27-2\sqrt{50}}$$=\sqrt{25}-\sqrt{2}$$=5-\sqrt{2}$$=5-1.414\cdots$$\approx 3.59$$\Rightarrow$$a=3$、$b=(5-\sqrt{2})-3=2-\sqrt{2}$$\Rightarrow$$b+\displaystyle{\frac{2}{b}}-a=2-\sqrt{2}+\displaystyle{\frac{2}{2-\sqrt{2}}}-(5-\sqrt{2})$$=2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2}-5+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$
   
   
2. $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$，$\sqrt{a+5\sqrt{12}}=\sqrt{a+2\sqrt{75}}$，$2-\sqrt{3}+\sqrt{a+2\sqrt{75}}$為整數$\Rightarrow$猜測$\sqrt{a+2\sqrt{75}}=\sqrt{3+25+2\sqrt{3\cdot 25}}$$=5+\sqrt{3}$$\Rightarrow$$a=28$
   
   
3. $-5\le x\le 2$的範圍$\Rightarrow$$x$到$-\displaystyle{\frac{3}{2}}$的距離皆$\le \displaystyle{\frac{7}{2}}$$\Rightarrow$$\left| x-(-\displaystyle{\frac{3}{2}}) \right|\le \displaystyle{\frac{7}{2}}$$\Rightarrow$$\left| x+\displaystyle{\frac{3}{2}} \right|\le \displaystyle{\frac{7}{2}}$$\Rightarrow$$\left| -2x-3 \right|\le 7$$\Rightarrow$$a=-2$，$b=7$
   
   
4. 即「($x$到$(-4)$之距離)$=3\cdot$($x$到$2$之距離)」，作圖如下，有$2$種情況。
   
   $\Rightarrow$$(2-x)\times 3=x-(-4)$$\Rightarrow$$x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$
   
   $\Rightarrow$$(x-2)\times 3=x-(-4)$$\Rightarrow$$x=5$
   故$x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$或$5$
   
   
5. 由符號判斷$\Rightarrow$$5$為$\left| x-1 \right|=a$之解$\Rightarrow$$a=4$；$-1$為$\left| 2x+5 \right|\ge b$之解$\Rightarrow$$b=3$$\Rightarrow$$(a$，$b)=(4$，$3)$
   
   
6. 令$t={{a}^{\displaystyle{\frac{1}{2}}}}-{{a}^{-\frac{1}{2}}}$$\Rightarrow$${{t}^{2}}=a-2\cdot {{a}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{a}^{-\frac{1}{2}}}+{{a}^{-1}}$
   $\Rightarrow$${{t}^{2}}=(a+{{a}^{-1}})-2\cdot 1=6-2=4$
   $\Rightarrow$$t=\pm 2$
   但$a>1$$\Rightarrow$${{a}^{\frac{1}{2}}}>{{a}^{-\frac{1}{2}}}$$\Rightarrow$${{a}^{\frac{1}{2}}}-{{a}^{-\frac{1}{2}}}>0$$\Rightarrow$$t=2$
   
   
7. $\displaystyle{\frac{{{27}^{x}}-{{27}^{-x}}}{{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}}=\displaystyle{\frac{{{3}^{3x}}-{{3}^{-3x}}}{{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}}$$=\displaystyle{\frac{({{3}^{3x}}-{{3}^{-3x}})\cdot {{3}^{x}}}{({{3}^{x}}+{{3}^{-x}})\cdot {{3}^{x}}}}$$=\displaystyle{\frac{{{3}^{4x}}-{{3}^{-2x}}}{{{3}^{{2}x}}+{1}}}$$=\displaystyle{\frac{{{{9}}^{{2}x}}-{{{9}}^{-x}}}{{{{9}}^{x}}+{1}}}$$=\displaystyle{\frac{{{{(}{{{9}}^{x}}{)}}^{{2}}}-{(}\frac{{1}}{{{{9}}^{x}}}{)}}{{{{9}}^{x}}+{1}}}$$=\displaystyle{\frac{{{{(}\sqrt{2}{+1)}}^{{2}}}-{(}\frac{{1}}{\sqrt{2}{+1}}{)}}{\sqrt{2}{+1}+{1}}}$$=\displaystyle{\frac{3+2\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}{+}2}}$$=\displaystyle{\frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$$=3-\sqrt{2}$
   
   
8. 增加$n$$\Rightarrow$變為${3}{{{2}}^{n}}$倍$\Rightarrow$增加$1.6$$\Rightarrow$變為${{32}^{1.6}}$倍$={{({{2}^{5}})}^{1.6}}$倍$={{2}^{8}}$倍$=256$倍
   
   
9. 作平面圖如下，並假設$x$、$y$
   
   $\Rightarrow$$2x+4y=72$，所求$=2xy$
   $\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{2x+4y}{2}\ge \sqrt{8xy}}$
   $\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{72}}{{2}}\ge \sqrt{8xy}}$
   $\Rightarrow$${{36}^{2}}\ge 8xy$
   $\Rightarrow$$2xy\le \displaystyle{\frac{{{36}^{2}}}{4}}=324$
   
   
10. ${{6}^{40}}={{(2\cdot 3)}^{40}}$$={{({{10}^{0.3010}}\cdot {1}{{{0}}^{{0}{.4771}}}{)}}^{{40}}}$$={{({{10}^{0.7781}})}^{40}}$$={{10}^{31.124}}$$\Rightarrow$$32$位數
    
    
11. 若$a=n+b$，其中$n$為整數部分，$0\le b<1$，$a+{{b}^{2}}=n+b+{{b}^{2}}$為正整數，又$n$亦為正整數$\Rightarrow$$b+{{b}^{2}}$為整數。因$0\le b<1$$\Rightarrow$$0\le {{b}^{2}}<1$$\Rightarrow$$0\le b+{{b}^{2}}<2$
    $\Rightarrow$$b+{{b}^{2}}=0$或$b+{{b}^{2}}=1$
    $\Rightarrow$$b=0$或$\displaystyle{\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}}$，負不合
    $\Rightarrow$$b=0$或$\displaystyle{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
    
    

三、計算與證明題(共10分)

(1)  ${{10}^{a}}=2$$\Rightarrow$${{2}^{\frac{1}{a}}}={{10}^{1}}$
(2)  ${{10}^{a}}=2$，${{10}^{b}}=3$$\Rightarrow$${{2}^{b}}={{({{10}^{a}})}^{b}}={{10}^{ab}}$，${{3}^{a}}={{({{10}^{b}})}^{a}}={{10}^{ab}}$$\Rightarrow$${{2}^{b}}={{3}^{a}}={{10}^{ab}}$