[段考] 108上第1次段考-台北-永春高中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-永春高中-高一(詳解)

範圍：南一 第一冊1-1~1-4

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一、多重選擇題

1. (A)  反例：$a=0$、$b=\sqrt{2}$，故不選
   (B)  根據有理數的封閉性，$\displaystyle{\frac{{{({{a}^{3}})}^{2}}}{{{a}^{5}}}}$亦為有理數$\Rightarrow $$a$為有理數
   (C)  正確，即有理數的稠密性
   (D)  $\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\sqrt[3]{27}=3$為有理數
   (E)  反例：$a=\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{2}$，$c=1$，$d=0$。則$a+c=b+d=1+\sqrt{2}$，但$a\ne b$且$c\ne d$，不選
   
   
2. (A)  ${{({{a}^{\sqrt{2}}})}^{2}}={{a}^{2\sqrt{2}}}\ne {{a}^{2}}$
   (B)  ${{a}^{\frac{3}{2}}}\cdot {{a}^{\frac{2}{3}}}={{a}^{\frac{13}{6}}}\ne 1$$\Rightarrow $不選
   (C)  ${{a}^{\frac{5}{3}}}={{({{a}^{5}})}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{32}$
   (D)  ${{3}^{-1}}\cdot {{3}^{3}}={{3}^{-1+3}}={{3}^{2}}=9$，不選
   (E)  ${{0.2}^{0.5}}\times {{0.008}^{-0.5}}$$={{0.2}^{0.5}}\times {{[{{(0.2)}^{3}}]}^{-0.5}}$$={{0.2}^{0.5}}\times {{0.2}^{-1.5}}$$={{0.2}^{-1}}={{(\displaystyle{\frac{1}{5}})}^{-1}}=5$，正確
   故選(C)(E)
   
   
3. (A)  $31.234\times {{10}^{10}}=3.1234\times {{10}^{11}}$為$12$位數字
   (B)  正確
   (C)  四捨五入應為$1.75\times {{10}^{6}}$
   (D)  根據對數定義，$0.7={{10}^{log0.7}}$
   (E)  $log{{10}^{0}}=log1=0$，不選
   故選(B)(D)
   
   
4. (A)  正確
   (B)  應為$-2$
   (C)  $\left| x+1 \right|+\left| x+5 \right|$最小值為$-1$到$-5$之距離$=4$，若小於等於$3$無實數解
   (D)  $\left| 2x-4 \right|\ge 2$$\Rightarrow $$\left| x-2 \right|\ge 1$$\Rightarrow $$x\ge 3$或$x\le 1$，正確
   (E)  正確，$-5$到$3$距離即為$8$
   故選(A)(D)(E)
   
   

二、填充題

1. $0.2\bar{6}$$=0.2+0.0\bar{6}$$=0.2+\displaystyle{\frac{1}{10}}\times 0.\bar{6}$$=\displaystyle{\frac{1}{5}}+\displaystyle{\frac{1}{10}}\times \displaystyle{\frac{2}{3}}$$=\displaystyle{\frac{8}{30}}$$=\displaystyle{\frac{4}{15}}$
   
   
2. (1)  ${{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^{-3}}\times {{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^{-3}}={{(5-3)}^{-3}}={{2}^{-3}}=\displaystyle{\frac{1}{8}}$
   (2)  ${{3}^{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}}\times \displaystyle{\frac{{{({{9}^{\frac{1}{4}}})}^{5}}}{{{3}^{\frac{1}{2}}}}}={{3}^{5}}\times {{[{{({{3}^{2}})}^{\frac{1}{4}}}]}^{5}}\div {{3}^{\frac{1}{2}}}={{3}^{5}}\times {{3}^{2}}={{3}^{7}}$
   
   
3. 作圖於數線上，只可能為$B<A<C$，如圖。
   
   由距離公式$\Rightarrow $$5\times (-4-x)=2(10-x)$$\Rightarrow $$-20-5x=20-2x$$\Rightarrow $$x=\displaystyle{\frac{-40}{3}}$
   
   
4. $0.001<0.00314<0.01$$\Rightarrow $$log0.001<log0.00314<log0.01$$\Rightarrow $$-3<log0.00314<-2$$\Rightarrow $$n=-3$
   
   
5. ${{x}^{2}}-(15+2x)=-(6-x)\sqrt{3}+{{x}^{2}}\sqrt{3}$
   $\Rightarrow $${{x}^{2}}-2x-15=\sqrt{3}({{x}^{2}}+x-6)$
   $\Rightarrow $$(x-5)(x+3)=\sqrt{3}(x+3)(x-2)$
   $\Rightarrow $$x=-3$
   
   
6. (1)  $a={{3}^{0.5}}$，$b=\sqrt[4]{27}={{(27)}^{\frac{1}{4}}}={{({{3}^{3}})}^{\frac{1}{4}}}={{3}^{\frac{3}{4}}}$，$c=\displaystyle{\frac{3}{\sqrt[3]{9}}}=\displaystyle{\frac{{{3}^{1}}}{{{({{3}^{2}})}^{\frac{1}{3}}}}}={{3}^{1}}\div {{3}^{\frac{2}{3}}}={{3}^{\frac{1}{3}}}$，因$\displaystyle{\frac{3}{4}}>0.5>\displaystyle{\frac{1}{3}}$$\Rightarrow $$b>a>c$
   (2)  ${{a}^{6}}={{(\displaystyle{\frac{1}{3}})}^{6}}={{3}^{2}}=9$；${{b}^{6}}={{({{4}^{\frac{1}{4}}})}^{6}}={{({{({{2}^{2}})}^{\frac{1}{4}}})}^{6}}={{2}^{3}}=8$；${{c}^{6}}={{({{6}^{\frac{1}{6}}})}^{6}}=6$，又$a$、$b$、$c$均正$\Rightarrow $$a>b>c$
   
   
7. (1)  $\sqrt{12-2\sqrt{27}}=\sqrt{9}-\sqrt{3}=3-\sqrt{3}$
   (2)  $3-\sqrt{3}\approx 3-1.732=1.268$$\Rightarrow $$a=1$，$b=(3-\sqrt{3})-1=2-\sqrt{3}$$\Rightarrow $$a+\displaystyle{\frac{1}{b}}=1+\displaystyle{\frac{1}{2-\sqrt{3}}}=1+2+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$
   
   
8. $pH=-log{{10}^{-4}}=-(-4)=4$
   
   
9. 若$x>8$$\Rightarrow $$x-1+x-5=8$$\Rightarrow $$2x=14$$\Rightarrow $$x=7$
   若$x<1$$\Rightarrow $$-x+1-x+5=8$$\Rightarrow $$x=-1$$\Rightarrow $$x=-1$或$7$
   
   
10. $7.5=-2.5log\displaystyle{\frac{F}{{{F}_{0}}}}$$\Rightarrow $$log\displaystyle{\frac{F}{{{F}_{0}}}}=-3=log{{10}^{-3}}$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{F}{{{F}_{0}}}}={{10}^{-3}}$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{{{F}_{0}}}{F}}=1000$
    
    
11. $5$與$-1$中點為$2$，$5$與$-1$距離$=6$$\Rightarrow $$x\ge 5$或$x\le -1$可表為$\left| x-2 \right|\ge 3$$\Rightarrow $$\left| 3x-6 \right|\ge 9$$\Rightarrow $$a=3$，$b=9$$\Rightarrow $$(a$，$b)=(3$，$9)$
    
    
12. $\displaystyle{\frac{{{a}^{3x}}+{{a}^{-3x}}}{{{a}^{x}}+{{a}^{-x}}}}$$={{a}^{2x}}-1+{{a}^{-2x}}$$=\sqrt{5}-2-1+\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}-2}}$$=\sqrt{5}-2-1+\sqrt{5}+2$$=2\sqrt{5}-1$
    
    

三、計算題

1. (1)  $\displaystyle{\frac{2x+9y}{2}}\ge \sqrt{18xy}$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{2x+9y}{2}}\ge \sqrt{18\times 8}$$\Rightarrow $$2x+9y\ge 2\times \sqrt{144}=2\times 12=24$
   (2)  $2x=9y=\displaystyle{\frac{24}{2}}=12$$\Rightarrow $$x=6$、$y=\displaystyle{\frac{4}{3}}$
   
   
2. (1)  $\left| x-(-2) \right|+\left| x-4 \right|\le 10$
   (2)  若$x>4$$\Rightarrow $$x+2+x-4\le 10$$\Rightarrow $$x\le 6$，交集$\Rightarrow $$4<x\le 6$
   若$-2\le x\le 4$$\Rightarrow $$(x+2)+(-x+4)\le 10$$\Rightarrow $$6\le 10$，恆正確，交集$\Rightarrow $$-2\le x\le 4$
   若$x<-2$$\Rightarrow $$(-x-2)+(-x+4)\le 10$$\Rightarrow $$x\ge -4$，交集$-4\le x<-2$，取聯集$\Rightarrow $$-4\le x\le 6$