[段考] 108上第1次段考-台北-永春高中-高一(題目)

108上第1次段考-台北-永春高中-高一(題目)

範圍：南一 第一冊1-1~1-4

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一、多重選擇題(每題5分，共20分)

1. 下列敘述何者正確?
   (A)  設$a$是有理數，$b$是無理數，則$\displaystyle{\frac{a}{b}}$必為無理數
   (B)  若${{a}^{3}}$，${{a}^{5}}$都是有理數，則$a$必是有理數
   (C)  任意兩個相異的整數之間會有無限多個有理數
   (D)  $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$是一個無理數
   (E)  設$a$，$b$為無理數，$c$，$d$為有理數，若$a+c=b+d$，則$a=b$且$c=d$
   
   
2. 若$a>0$，請判別下列選項何者正確?
   (A)  ${{({{a}^{\sqrt{2}}})}^{2}}={{a}^{2}}$
   (B)  ${{a}^{\frac{2}{3}}}$和${{a}^{\frac{3}{2}}}$互為倒數
   (C)  ${{a}^{\frac{5}{3}}}=\sqrt[3]{32}$
   (D)  ${{3}^{-1}}\times {{3}^{3}}=\displaystyle{\frac{1}{27}}$
   (E)  ${{(0.2)}^{0.5}}\times {{(0.008)}^{-0.5}}=5$
   
   
3. 下列敘述何者正確?
   (A)  $31.234\times {{10}^{10}}$為$11$位數字
   (B)  $2.567\times {{10}^{-12}}$從小數點後第$12$位開始不為$0$
   (C)  $1.748\times {{10}^{6}}$取三位有效位數，有效數字是$1.74\times {{10}^{6}}$
   (D)  $0.7={{10}^{log0.7}}$
   (E)  $log{{10}^{0}}=1$
   
   
4. 下列關於絕對值的敘述何者正確?
   (A)  若$x$為實數，則$\left| x \right|$為非負實數
   (B)  $\left| x+2 \right|=1$的幾何意義是數線上$x$到$2$的距離是$1$
   (C)  $\left| x+1 \right|+\left| x+5 \right|\le 3$有實數解
   (D)  $\left| 2x-4 \right|\ge 2$的解用區間符號表示為$(-\infty$，$1]\cup [3$，$\infty )$
   (E)  $\left| x+5 \right|+\left| x-3 \right|$有最小值為$8$
   
   

二、填充題(每格4分，共60分)

1. 計算並將下列式子化成最簡分數：$0.2\overline{6}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 求出下列各式的值：
   (1)  ${{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^{-3}}\times {{(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^{-3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  $({{3}^{\sqrt{5})}}^{\sqrt{5}}\times \displaystyle{\frac{{{(\sqrt[4]{9})}^{5}}}{{{3}^{\frac{1}{3}}}}}={{3}^{k}}$，試求$k=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設數線上三點$A(-4)$，$B(x)$，$C(10)$，且$B$在$\overline{AC}$外，滿足$5\overline{AB}=2\overline{BC}$，試求$x$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 設$n$為整數，$n<log0.00314<n+1$，則$n=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知$x$為有理數，若${{x}^{2}}+(6-x)\sqrt{3}=(15+2x)+{{x}^{2}}\sqrt{3}$，則$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 試比較下列各組數的大小
   (1)  $a={{3}^{0.5}}$、$b=\sqrt[4]{27}$、$c=\displaystyle{\frac{3}{\sqrt[3]{9}}}$。答：$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  $a={{3}^{\frac{1}{3}}}$、$b={{4}^{\frac{1}{4}}}$、$c={{6}^{\frac{1}{6}}}$。答：$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 設$\sqrt{12-2\sqrt{27}}=a+b$，其中$a$為整數部分，且$b$小數部分，則：
   (1)  化簡根式$\sqrt{12-2\sqrt{27}}$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  試求$a+\displaystyle{\frac{1}{b}}$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. $pH$值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義是：$pH$值$=-log[{{H}^{+}}]$，其中$[{{H}^{+}}]$為氫離子的濃度(莫耳/升)，已知某酸性溶液氫離子的濃度為${{10}^{-4}}$(莫耳/升)，試問此酸性溶液的$pH$值是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. $x$為實數，方程式$\left| x-1 \right|+\left| x-5 \right|=8$，則解$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 為了定量描述星星的亮度，天文學家把利用肉眼觀測的星球亮度用來定義「視星等」。若織女星的亮度為${{F}_{0}}$，則一顆亮度為$F$的星星，其星等定義為：$m=-2.5log\displaystyle{\frac{F}{{{F}_{0}}}}$，稱此星星為$m$等星。試問織女星是$7.5$等星亮度的$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$倍。
    
    
11. 設$a$，$b$為實數，若$\left| ax-6 \right|\ge b$的解為$x\ge 5$或$x\le -1$，則數對$(a$，$b)$為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 設$a>0$，$x$為實數，${{a}^{2x}}=\sqrt{5}-2$，則$\displaystyle{\frac{{{a}^{3x}}+{{a}^{-3x}}}{{{a}^{x}}+{{a}^{-x}}}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

三、計算題(2題，共20分)

1. 已知$x$，$y$為正實數，且$xy=8$，則：
   (1)  $2x+9y$的最小值為何?($4$分)
   (2)  承(1)，最小值發生時，$x=$?，$y=?$($6$分)
   
   
2. 數線上有一部能左右移動的微型機器人，兩個操控站位於$A(-2)$、$B(4)$，此機器人會受到兩個操控站的控制，當機器人與兩操控站的距離和大於$10$時，機器人會無法做出正確的操控。設機器人的位置$C(x)$，則：
   (1)  請用絕對值不等式表示機器人能夠被操控站「正常操控」的距離敘述(2分)
   (2)  承(1)，試用分段討論的方式求出$x$的解($8$分)