[段考] 108上第1次段考-台北-中崙高中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-中崙高中-高一(詳解)

範圍：南一 第一冊1-1~1-4

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一、多重選擇題：(每題有一到五個正確答案，全對得6分，答錯一個選項得4分，答錯兩個得2分，答錯三個以上或無作答者得0分，共30分)

1. (A)  $1.\bar{9}=1+0.\bar{9}=1+1=2$，正確
   (B)  $4.5\overline{96}$$=4.5+0.0\overline{96}$$=4.5+\displaystyle{\frac{1}{10}}\cdot 0.\overline{96}$$=4.5+\displaystyle{\frac{1}{10}}\cdot \displaystyle{\frac{96}{99}}$$=4.5+\displaystyle{\frac{1}{10}}\times \displaystyle{\frac{32}{33}}$$=\displaystyle{\frac{9}{2}}+\displaystyle{\frac{32}{330}}$$=\displaystyle{\frac{1517}{330}}$，不選
   (C)  反例：$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$，不選
   (D)  根據有理數的封閉性，正確
   (E)  $\sqrt{6+\sqrt{20}}$$=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$=\sqrt{5}+1$；$\sqrt{6-\sqrt{20}}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1$$\Rightarrow$$(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}-1)=2$為有理數，正確。
   故選(A)(D)(E)
   
   
2. 由分點公式得$a$，$b$，$c$，$d$的位置為
   
   
   
   $\Rightarrow$$c>a>b>d$，故選(D)
   
   
3. $\left| x-1 \right|$即「$x$到$1$之距離」，$\left| x-5 \right|$即「$x$到$5$之距離」，故$\left| x-1 \right|+\left| x-5 \right|$最小值即$1$到$5$之距離。故$\left| x-1 \right|+\left| x-5 \right|\ge 4$皆有解$\Rightarrow$(A)(B)正確，(C)錯誤。
   $\left| x-1 \right|-\left| x-5 \right|$最大值即$1$到$5$之距離$\Rightarrow$$\left| x-1 \right|-\left| x-5 \right|\le 4$皆有解$\Rightarrow$(E)正確。故選(A)(B)(E)
   
   
4. (A)  將${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=\sqrt{5}$兩邊平方$\Rightarrow$$({{2}^{x}}+{{2}^{-x}})={{\sqrt{5}}^{2}}$$\Rightarrow$${{4}^{x}}+2+{{4}^{-x}}=5$$\Rightarrow$${{4}^{x}}+{{4}^{-x}}=3$，不選。
   (B)  $\sqrt{3}<\sqrt{5}$，因$2>1$，${{2}^{\sqrt{3}}}<{{2}^{\sqrt{5}}}$，正確。
   (C)  $-\sqrt{8}=-2.828\cdots \cdots$，$-\pi =-3.14\cdots \cdots$$\Rightarrow$$-\sqrt{8}>-\pi$，又因$2>1$$\Rightarrow$${{2}^{-\sqrt{8}}}>{{2}^{-\pi }}$，正確。
   (D)  $-6<-5$，因$0.7<1$$\Rightarrow$${{0.7}^{-6}}>{{0.7}^{-5}}$，不選
   (E)  $\displaystyle{\frac{3}{4}}<\displaystyle{\frac{4}{3}}$，因$9>1$$\Rightarrow$${{9}^{\frac{3}{4}}}<{{9}^{\frac{4}{3}}}$，正確
   故選(B)(C)(E)
   
   
5. (A)  根據科學記號原理，$a$為$23+1=24$位數，不選
   (B)  正確
   (C)  根據科學記號原理，$b$從小數後第$9$位始不為$0$，不選
   (D)  $2$位
   (E)  $b$只影響到$a+b$的末尾部分，正確
   
   

二、填充題：(配分方式如下表，共70分)

1. $\sqrt{11-\sqrt{72}}$$=\sqrt{11-2\sqrt{18}}$$=\sqrt{9}-\sqrt{2}$$=3-\sqrt{2}$$=1.586\cdots$
   $\Rightarrow$$a=1$，$b=(3-\sqrt{2})-1=2-\sqrt{2}$
   $\Rightarrow$$1+\displaystyle{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}=1+\displaystyle{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=2+\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
   
   
2. (1)  $\displaystyle{\frac{2x+5y}{2}}\ge \sqrt{10xy}$$\Rightarrow$$6\ge \sqrt{10xy}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{36}{10}}\ge xy$，此時$2x=5y=\displaystyle{\frac{12}{2}}$$\Rightarrow$$x=3$，$y=\displaystyle{\frac{12}{5}}$
   
   
3. $\overline{AB}=14$$\Rightarrow$$\overline{BP}=\displaystyle{\frac{56}{3}}$$\Rightarrow$$x$可能為$10\pm \displaystyle{\frac{56}{3}}$$=\displaystyle{\frac{86}{3}}$或$-\displaystyle{\frac{26}{3}}$
   
   
4. 若$x>-\displaystyle{\frac{1}{2}}$$\Rightarrow$$2x+1\le x+6$$\Rightarrow$$x\le 5$，取交集$-\displaystyle{\frac{1}{2}}<x\le 5$
   若$x\le -\displaystyle{\frac{1}{2}}$$\Rightarrow$$-2x-1\le x+6$$\Rightarrow$$x\ge -\displaystyle{\frac{7}{3}}$，取交集$-\displaystyle{\frac{7}{3}}\le x\le -\displaystyle{\frac{1}{2}}$
   兩種情況取聯集$\Rightarrow$$-\displaystyle{\frac{7}{3}}\le x\le 5$，整數解為$-2$到$5$，共$5-(-2)+1=8$(個)
   
   
5. [$36$，$37.5$]即$36\le x\le 37.5$，$36$與$37.5$中點為$37.75$$\Rightarrow$$\left| x-37.75 \right|\le 0.75$$\Rightarrow$$a=37.75$，$b=0.75$$\Rightarrow$$(37.75$，$0.75)$
   
   
6. 先求出${{x}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{-\frac{1}{2}}}$，將${{x}^{\frac{1}{2}}}+{{x}^{-\frac{1}{2}}}=2\sqrt{2}$平方
   $\Rightarrow$$x+{{x}^{-1}}+2=8$
   $\Rightarrow$${{x}^{1}}+{{x}^{-1}}=6$
   $\Rightarrow$${{x}^{1}}-2+{{x}^{-1}}=4$
   $\Rightarrow$$({{x}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{-\frac{1}{2}}})={{2}^{2}}$
   $\Rightarrow$$({{x}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{-\frac{1}{2}}})=\pm 2$
   因$x>1$$\Rightarrow$${{x}^{\frac{1}{2}}}>{{x}^{-\frac{1}{2}}}$$\Rightarrow$${{x}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{-\frac{1}{2}}}=2$；
   ${{x}^{\frac{3}{2}}}-{{x}^{-\frac{3}{2}}}={{({{x}^{\frac{1}{2}}})}^{3}}-{{({{x}^{-\frac{1}{2}}})}^{3}}$$=({{x}^{\frac{1}{2}}}-{{x}^{-\frac{1}{2}}})({{({{x}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}+{{x}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{x}^{-\frac{1}{2}}}+{{({{x}^{-\frac{1}{2}}})}^{2}})$$=2\cdot (x+1+{{x}^{-1}})=2\cdot (6+1)=14$
   
   
7. ${{5}^{2-x}}={{5}^{2}}\div {{5}^{x}}$$=25\div 3$$=\displaystyle{\frac{25}{3}}$
   
   
8. $a={{3.1}^{9}}({{3.1}^{1}}-1)={{3.1}^{9}}\times 2.1$
   $b={{3.1}^{9}}({{3.1}^{3}}-{{3.1}^{2}})\approx {{3.1}^{9}}\times (27-3)$
   $c={{3.1}^{9}}\cdot \displaystyle{\frac{{{3.1}^{2}}-1}{2}}\approx {{3.1}^{9}}\times \displaystyle{\frac{9.61-1}{2}}$
   $\Rightarrow$$b>c>a$
   
   
9. 根據指數、對數的定義，$x=log6$
   
   
10. $1000000<5130000<10000000$$\Rightarrow$$log1000000<log5130000<log10000000$$\Rightarrow$$a=6$
    $0.00001<0.0000289<0.0001$$\Rightarrow$$log0.00001<log0.0000289<log0.0001$$\Rightarrow$$-5<log0.0000289<-4$$\Rightarrow$$b=-5$$\Rightarrow$$a+b=1$
    
    
11. 由指數對數定義知：$P={{10}^{108.24}}$$={{10}^{0.24}}\times {{10}^{108}}$$\Rightarrow$$109$位數$\Rightarrow$$n=109$
    
    
12. 由指數對數定義知：$Q={{10}^{-4.8}}$$={{10}^{-5}}\times {{10}^{0.2}}$$\Rightarrow$小數點後第$5$位始不為$0$$\Rightarrow$$m=5$
    
    
13. 令帽高$x$公分，戴帽後上半身為$160-110+x=50+x$(公分)、身高為$160+x$(公分)
    $\Rightarrow$$(160+x)\times 0.618=110$$\Rightarrow$$x=17.99\cdots \cdots$$\Rightarrow$$18$(公分)
    
    
14. $6$小時為$A$物質的$\displaystyle{\frac{6}{2.5}}$倍半衰期$=2.4$倍半衰期
    $6$小時為$B$物質的$\displaystyle{\frac{6}{15}}$倍半衰期$=0.4$倍半衰期
    若最後質量皆為$m$，$A$一開始質量為$m\times {{2}^{2.4}}$、$B$一開始質量為$m\times {{2}^{0.4}}$，故$A$為$B$的$\displaystyle{\frac{m\times {{2}^{2.4}}}{m\times {{2}^{0.4}}}}={{2}^{2}}$$=4$(倍)