[段考] 108上第1次段考-台北-內湖高中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-內湖高中-高一(詳解)

範圍：南一 第一冊1-1~1-4

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一、單選題

1. $\sqrt{49}<\sqrt{51}<\sqrt{64}$$\Rightarrow$$7<\sqrt{51}<8$$\Rightarrow$$18<11+\sqrt{51}<19$$\Rightarrow$$4<\sqrt{11+\sqrt{51}}<5$，選(B)
   
   
2. $-3$與$5$之中點為$1$$\Rightarrow$$-3\le x\le 5$之範圍即$\left| x-1 \right|\le 4$$\Rightarrow$$\left| -2x+2 \right|\le 8$$\Rightarrow$$a=-2$，$b=8$$\Rightarrow$$a+b=6$，選(A)
   
   
3. 使用內分點公式將(A)~(E)各點坐標標於數線上得
   
   故選(A)
   
   
4. $10000<39910<100000$$\Rightarrow$$log10000<log39910<log100000$$\Rightarrow$$4<log39910<5$，故選(D)
   
   
5. 由科學記號原理知$a\times {{10}^{-n}}$在小數後第$n$位始不為$0$$\Rightarrow$$10={{10}^{0.1}}\times {{0.}^{-19}}$$\Rightarrow$小數後第$19$位始不為$0$，選(C)
   
   

二、多選題

6. (A)  $0.\overline{34}=0.343434\cdots$；$0.\overline{343}=0.343343343\cdots$$\Rightarrow$$0.\overline{34}>0.\overline{343}$，不選
   (B)  有限小數、無限循環小數皆為有理數，正確
   (C)  $\displaystyle{\frac{26}{65}}=\displaystyle{\frac{2}{5}}$，分母僅有$2$與$5$之冪次$\Rightarrow$有限小數
   (D)  $0.25\bar{6}=0.25+0.00\bar{6}$$=\displaystyle{\frac{1}{4}}+\displaystyle{\frac{1}{100}}\times 0.\bar{6}$$=\displaystyle{\frac{1}{4}}+\displaystyle{\frac{1}{100}}\times \displaystyle{\frac{2}{3}}$$=\displaystyle{\frac{77}{300}}$，正確
   (E)  $\sqrt{\sqrt{2401}}=\sqrt{49}=7$為有理數
   故選(B)(C)(D)
   
   
7. (A)  ${{(\displaystyle{\frac{4}{9}})}^{-\frac{1}{4}}}$$={{({{2}^{2}}\times {{3}^{-2}})}^{-\frac{1}{4}}}={{2}^{-\frac{1}{2}}}\cdot {{3}^{\frac{1}{2}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{6}}{2}}$，正確
   (B)  錯誤
   (C)  負數為底數時指數不能為分數$\Rightarrow$此選項不選
   (D)  $\sqrt[3]{16}$$={{({{2}^{4}})}^{\frac{1}{3}}}$$={{2}^{\frac{4}{3}}}$$={{({{2}^{\frac{1}{3}}})}^{4}}$，正確
   (E)  $a>b$$\Rightarrow$$-a<-b$$\Rightarrow$${{3}^{-a}}<{{3}^{-b}}$，錯誤
   故選(A)(D)
   
   
8. 由指數定義知$p={{10}^{3.2}}$、$q={{10}^{3.4}}$、$r={{10}^{3.6}}$、$s={{10}^{3.8}}$，因底數$>1$$\Rightarrow$$s>r>q>p>0$$\Rightarrow$(A)(B)正確、(C)錯誤
   又$\displaystyle{\frac{s-r}{q-p}}$$=\displaystyle{\frac{{{10}^{3.2}}\times {{10}^{0.6}}-{{10}^{3.2}}\times {{10}^{0.4}}}{{{10}^{3.2}}\times {{10}^{0.2}}-{{10}^{3.2}}\times 1}}$$=\displaystyle{\frac{{{10}^{0.6}}-{{10}^{0.4}}}{{{10}^{0.2}}-1}}$$=\displaystyle{\frac{{{10}^{0.4}}({{10}^{0.2}}-1)}{{{10}^{0.2}}-1}}$$={{10}^{0.4}}$$>{{10}^{0}}=1$，
   (D)(E)正確
   故選(A)(B)(D)(E)
   
   
9. $\sqrt{15+\sqrt{176}}$$=\sqrt{15+2\sqrt{44}}$$=\sqrt{11}+\sqrt{4}$$=2+\sqrt{11}$，又因$\sqrt{11}=3.\cdots$$\Rightarrow$$2+\sqrt{11}=5.\cdots$$\Rightarrow$$a=5$、$b=2+\sqrt{11}-5$$=\sqrt{11}-3$$\Rightarrow$(A)(C)錯誤，(B)正確
   (D)  $\displaystyle{\frac{1}{b}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{11}-3}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{11}+3}{2}}$，不選
   (E)  $\displaystyle{\frac{2a-b-3}{a+b-2}}=\displaystyle{\frac{2\cdot 5-(\sqrt{11}-3)-3}{2+\sqrt{11}-2}}$$=\displaystyle{\frac{10-\sqrt{11}}{\sqrt{11}}}=\displaystyle{\frac{10\sqrt{11}-11}{11}}$，正確，故選(B)(E)
   
   
10. $\left| x+3 \right|+\left| x-2 \right|$$=\left| x-(-3) \right|+\left| x-2 \right|$，即「$x$到$(-3)$距離」與「$x$到$2$距離」之和，其最小值即將$x$取在$-3$與$2$之間，距離和最小$=5$$\Rightarrow$當$k\ge 5$皆有解，故選(B)(C)(D)(E)
    
    
11. 三、填充題(每題5分，共40分)
    
    
12. 11. ${{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^{3}}{{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}^{3}}+{{(0.0001)}^{0}}-{{({{2}^{-1}})}^{-2}}$$={{[(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})]}^{3}}+1-{{2}^{2}}$$={{1}^{3}}+1-4=-2$
    
    
13. 將${{x}^{\frac{1}{2}}}+{{x}^{-\frac{1}{3}}}=3$三次$\Rightarrow$${{({{x}^{\frac{1}{3}}}+{{x}^{-\frac{1}{3}}})}^{3}}=27$$\Rightarrow$$x+3\cdot {{x}^{\frac{1}{3}}}+3\cdot {{x}^{-\frac{1}{3}}}+{{x}^{-1}}=27$$\Rightarrow$$x+3({{x}^{\frac{1}{3}}}+{{x}^{-\frac{1}{3}}})+{{x}^{-1}}=27$$\Rightarrow$$x+3\cdot 3+{{x}^{-1}}=27$$\Rightarrow$$x+{{x}^{-1}}=18$
    
    
14. $pH=3$時：$3=-log[{{H}^{+}}]$$\Rightarrow$$[{{H}^{+}}]={{10}^{-3}}$
    $pH=5$時：$5=-log[{{H}^{+}}]$$\Rightarrow$$[{{H}^{+}}]={{10}^{-5}}$
    $\Rightarrow$${{10}^{-3}}\div {{10}^{-5}}={{10}^{2}}=100$
    
    
15. 令每個矩形長寬皆為$x$、$y$，如圖，所求即為$5xy$
    
    $\Rightarrow$$4x+6y=24$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{4x+6y}{2}}\ge \sqrt{4xy}$$\Rightarrow$$12\ge \sqrt{4x}$$\Rightarrow$$144\ge 4xy$$\Rightarrow$$xy\le 36$$\Rightarrow$$5xy\le 180$
    
    
16. $\left| 2x+1 \right|<3$$\Rightarrow$$\left| x+\displaystyle{\frac{1}{2}} \right|<\displaystyle{\frac{3}{2}}$，即$x$到$-\displaystyle{\frac{1}{2}}$之距離$=\displaystyle{\frac{3}{2}}$$\Rightarrow$$-2<x<1$$\Rightarrow$$(-2$，$1)$
    
    
17. 將數線分成三份討論
    
    (1)  $x\ge 2$$\Rightarrow$原式即$x+2(x-2)>5$$\Rightarrow$$x>3$
    (2)  $0<x<2$$\Rightarrow$原式即$x+2(2-x)>5$$\Rightarrow$$x<-1$與$0<x<2$不合
    (3)  $x\le 0$$\Rightarrow$原式即$(-x)+2(2-x)>5$$\Rightarrow$$x<-\displaystyle{\frac{1}{3}}$
    將(1)(2)(3)聯集得$x<-\displaystyle{\frac{1}{3}}$或$x>3$
    
    
18. 同除以$2$得$\displaystyle{\frac{3}{2}}\le \left| x-\displaystyle{\frac{3}{2}} \right|\le \displaystyle{\frac{9}{2}}$$\Rightarrow$
    
    $\Rightarrow$解為$-3\le x\le 0$$\Rightarrow$$3\le x\le 6$
    
    
19. 令手環在$x$公里處遺失$\Rightarrow$$21<x<28$
    $\Rightarrow$$28$：$28-x$$=14$：$1$$\Rightarrow$$x=26$$\Rightarrow$$26$公里處。