[段考] 108上第1次段考-台北-中正高中-高一(詳解)

108上第1次段考-台北-中正高中-高一(詳解)

範圍：龍騰 第一冊單元1~4

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一、單選題(每題5分)

1. $A$為$P$與$B$的$3$：$2$內分點$\Rightarrow $$A=\displaystyle{\frac{3B+2P}{5}}$$\Rightarrow $$P=\displaystyle{\frac{5A-3B}{2}}$，選(A)
   
   
2. 同乘以$6$$\Rightarrow $$n<6\sqrt{13}<n+1$$\Rightarrow $$n<\sqrt{468}<n+1$，因${{21}^{2}}=441$、${{22}^{2}}=484$$\Rightarrow $$\sqrt{468}=21.\cdots \cdots $，$n=21$，選(D)
   
   

二、多選題(每題5分，錯1個得3分，錯個得1分，錯3個以上不給分)

1. (A)  根據有理數的稠密性，正確
   (B)  $\displaystyle{\frac{a}{b}}$不一定為整數，反例：$a=1$，$b=2$
   (C)  $5a+6b-2(2a+3b)=a$為有理數$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{(2a+3b)-2a}{3}}=b$亦為有理數$\Rightarrow $$a+b$為有理數
   (D)  不一定，反例：$a=\sqrt{3}$，$b=\displaystyle{\frac{-2}{\sqrt{3}}}$，不選
   (E)  將$\displaystyle{\frac{2a+b}{3}}$與$\displaystyle{\frac{a+3b}{4}}$分別在$a$，$b$線段上標出，如圖，不真
   
   
   故選(A)(C)
   
   
2. (A)  $\sqrt{\sqrt[5]{7}}={{({{7}^{\frac{1}{5}}})}^{\frac{1}{2}}}={{7}^{\frac{1}{10}}}$，正確
   (B)  完全正確
   (C)  $3.14-\pi <0$，錯誤
   (D)  完全正確
   (E)  錯誤，負數之指數不能為分數
   故選(C)(E)
   
   
3. 三、填充題(每題5分)
   
   
4. $\sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
   $\displaystyle{\frac{1}{2-\sqrt{3}}}-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$$=(2+\sqrt{3})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})$$=2+\sqrt{2}$
   
   
5. (1)  ${{({{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}})}^{2}}={{5}^{2}}$$\Rightarrow $${{a}^{1}}+{{a}^{-1}}+2=25$$\Rightarrow $${{a}^{1}}+{{a}^{-1}}=23$
   (2)  ${{a}^{1}}+{{a}^{-1}}-2$$=23-2$$\Rightarrow $${{a}^{1}}-2\cdot {{a}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{a}^{-\frac{1}{2}}}+{{a}^{-1}}=21$$\Rightarrow $${{a}^{\frac{1}{2}}}-{{a}^{-\frac{1}{2}}}=\pm \sqrt{21}$，因$a>1$$\Rightarrow $取正$\Rightarrow $${{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt{21}$。由$({{a}^{\frac{1}{2}}}-{{a}^{-\frac{1}{2}}})\cdot ({{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}})={{a}^{1}}-{{a}^{-1}}$$\Rightarrow $$\sqrt{21}\times 5=5\sqrt{21}$
   
   
6. ${{2}^{a}}\cdot {{2}^{2b}}\cdot {{2}^{3c}}={{2}^{10}}$$\Rightarrow $$a+2b+3c=10$
   $\Rightarrow $$\begin{matrix}
   c & 1 & 1 & 1 & 2 \\
   b & 1 & 2 & 3 & 1 \\
   a & 5 & 3 & 1 & 2 \\
   \end{matrix}$共4組。
   
   
7. (1)  $-9\le 3x\le 3$、$-7\le -y\le -4$$\Rightarrow $$-16\le 3x-y\le -1$
   (2)  $0\le {{x}^{2\grave{\ }}}\le 9$、$16\le {{y}^{2}}\le 49$$\Rightarrow $$16\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 58$
   
   
8. 因$9$，$-1$中點$=4$$\Rightarrow $$x>9$或$x<-1$之解範圍皆滿足$\left| x-4 \right|>5$$\Rightarrow $$\left| -\displaystyle{\frac{1}{4}}x+1 \right|>\displaystyle{\frac{5}{4}}$$\Rightarrow $$a=-\displaystyle{\frac{1}{4}}$，$b=\displaystyle{\frac{5}{4}}$$\Rightarrow $$(a$，$b)=(-\displaystyle{\frac{1}{4}}$，$\displaystyle{\frac{5}{4}})$
   
   
9. (1)  $\displaystyle{\frac{9a+b}{2}}\ge \sqrt{9ab}$$\Rightarrow $$15\ge \sqrt{9ab}$$\Rightarrow $$225\ge 9ab$$\Rightarrow $$ab\le 25$
   (2)  $9a=b$時發生極值$\Rightarrow $$9a=b=15$$\Rightarrow $$a=\displaystyle{\frac{5}{3}}$，$b=15$$\Rightarrow $$(a$，$b)=(\displaystyle{\frac{5}{3}}$，$15)$
   
   
10. 若$x>\displaystyle{\frac{1}{2}}$$\Rightarrow $$2x-1+x=5$$\Rightarrow $$x=2$
    若$0\le x\le \displaystyle{\frac{1}{2}}$$\Rightarrow $$-2x+1+x=5$$\Rightarrow $$x=-4$，不合
    若$x<0$$\Rightarrow $$-2x+1-x=5$$\Rightarrow $$x=\displaystyle{\frac{4}{3}}$$\Rightarrow $$x=2$或$-\displaystyle{\frac{4}{3}}$
    
    
11. $\left| x-4 \right|+\left| x+2 \right|$之最小值為「$4$與$-2$之距離」$=6$$\Rightarrow $$k<6$則無解
    
    
12. 若$x>2$$\Rightarrow $$x-2>1-2x$$\Rightarrow $$3x>3$$\Rightarrow $$x>1$$\Rightarrow $$x>2$與$x>1$取交集為$x>2$
    若$x<2$$\Rightarrow $$-x+2>1-2x$$\Rightarrow $$x>-1$$\Rightarrow $$x\le 2$與$x>-1$取交集得$-1<x\le 2$
    將$x>2$與$-1<x\le 2$取聯集得$x>-1$
    
    
13. $\sqrt{9+2\sqrt{20}}=\sqrt{4}+\sqrt{5}=2+\sqrt{5}=4.\cdots $
    $\Rightarrow $$a=4$，$b=(2+\sqrt{5})-4=\sqrt{5}-2$
    $\Rightarrow $$a+\displaystyle{\frac{1}{b}}=4+\sqrt{5}+2=6+\sqrt{5}$
    
    
14. $(a+{{a}^{-1}})(a-{{a}^{-1}})({{a}^{2}}+{{a}^{-2}}-1)({{a}^{2}}+{{a}^{-2}}+1)$$=({{a}^{3}}-{{a}^{-3}})({{a}^{3}}+{{a}^{-3}})$，${{a}^{-3}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}-1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$
    $\Rightarrow $$({{a}^{3}}-{{a}^{-3}})({{a}^{3}}+{{a}^{-3}})$$=[(\sqrt{3}-1)-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}][(\sqrt{3}-1)+\displaystyle{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}]$$=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-3}{2}}\times \displaystyle{\frac{3\sqrt{3}-1}{2}}$$=\displaystyle{\frac{12-10\sqrt{3}}{4}}$$=\displaystyle{\frac{6-5\sqrt{3}}{2}}$
    
    
15. ${{({{2}^{2}})}^{a}}=3$$\Rightarrow $${{2}^{a}}=\sqrt{3}$$\Rightarrow $${{8}^{-a}}-{{2}^{a-2}}$$=\displaystyle{\frac{1}{{{8}^{a}}}}-\displaystyle{\frac{{{2}^{a}}}{4}}=\displaystyle{\frac{1}{{{({{2}^{a}})}^{3}}}}-\displaystyle{\frac{{{2}^{a}}}{4}}$$=\displaystyle{\frac{1}{3\sqrt{3}}}-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4}}$$=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{9}}-\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4}}$$=-\displaystyle{\frac{5\sqrt{3}}{36}}$
    
    
16. $\displaystyle{\frac{7}{2}}\le \left| x-\displaystyle{\frac{5}{2}} \right|\le \displaystyle{\frac{11}{2}}$$\Rightarrow $作圖於數線上得
    
    所求區域為$-3<x\le -1$或$6\le x<8$