[題目] 108下第1次段考-高雄-前鎮高中-高一(題目)

108下第1次段考-高雄-前鎮高中-高一(題目)

範圍：龍騰 第二冊單元1~5

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一、多重選擇題(每題5分，共20分，錯一個選項得3分，錯兩個選項得1分，其餘不給分)

1. 高熊銀行為吸引客戶推出大利息均富活動，活動有兩個方案可借投資人選擇人。
   大利方案：每月$1$日均存入$10000$元，以月利率$0.5%$，按月複利計息。
   均富方案：每月$1$日均存入$10000$元，以月利率$0.5%$，按月單利計息。
   董老師決定自$109$年$1$月起參加此活動的兩個方案，而且都先參一年，年底($109$年$12$月$31$日)董老師提領時，大利方案可得本利和$A$元，均富方案可得本利和$B$元。下列哪些敘述正確？
   (A)  $A=10000\times {{\left( 1.005 \right)}^{12}}$
   (B)  $A=2000\times 1005\times [{{(1.005)}^{12}}-1]$
   (C)  $B=10000\times (1+0.005\times 12)$
   (D)  $B=120000+78\times 10000\times 0.005$
   (E)  $A>B$
   
   
2. 有一個$15$項的等比數列${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，${{a}_{15}}$，已知${{a}_{1}}\times {{a}_{2}}\times {{a}_{3}}\times$…$\times {{a}_{15}}=1$且${{a}_{15}}={{2}^{7}}$。下列哪些敘述正確？
   (A)  ${{a}_{8}}=\pm 1$
   (B)  ${{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{1}{128}}$
   (C)  設$r$為公比，則$r>1$
   (D)  ${{a}_{11}}=8$
   (E)  設$S$為此等比數列各項的總和，則$S>256$
   
   
3. 下列哪些選項是正確的？
   (A)  ${{\left( -5 \right)}^{2}}<{{3}^{2}}$或$-5<3$
   (B)  $\sqrt{6}$為無理數且所有質數皆為奇數
   (C)  若$a$，$b$為實數，「${{(a-2)}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}=0$」的否定敘述為「$a\ne 2$且$b\ne -3$」
   (D)  六個英文字母$ABABAB$排成一列，共有$\displaystyle{\frac{6!}{2!2!2!}}$種排列方法
   (E)  將$4$名新生分到$3$個班級，共有${{4}^{3}}$種方法
   
   
4. $108$新課綱數學領域第二冊內容依主題可分成$A$(數列與級數)、$B$(排列組合)、$C$(機率)、$D$(數據分析)及$E$(三角比)五個部分，編寫順序由各出版社自行決定，但為了讓學生學習脈絡更為順暢，$B$(排列組合)一定要排在$C$(機率)前面。下列選項何者正確？
   (A)  不會有$E\to D\to C\to B\to A$的編寫順序
   (B)  共有$60$種相異的編寫順序
   (C)  因為可以從主題$A$，$B$，$D$，$E$開始編寫，故從$A$開始編寫可以有$15$種相異的編寫順序
   (D)  若選擇主題$B$開始編寫，可以有$24$種相異的編寫順序
   (E)  由主題$E$開始編寫或將主題$E$擺在最後一個編寫，兩者的編寫順序方法數一樣多
   
   

二、填充題(共65分)

1. 求${{3}^{3}}+{{6}^{3}}+{{9}^{3}}+\cdots +{{27}^{3}}=$？
   
   
2. 已知$5$，$a$，$b$，$c$，$d$，$-5$成等差，$a$，$b$，$p$，$q$，$r$，$s$成等比，求實數$s=$？
   
   
3. 前鎮高中演藝廳共有$25$排座位，每一排都比前一排多兩個座位，已知第$5$排有$18$個座位，則：
   (1)  演藝廳最後一排有幾個座位？
   (2)  演藝廳總共有幾個座位？
   
   
4. 設$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$是一個等比數列，若${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=-288$、${{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}=144$，則：
   (1)  公比$r=$？
   (2)  設${{S}_{n}}$為此等比數列前$n$項的總和，求${{S}_{9}}=$？
   
   
5. 大翔上樓梯時可能走$1$階或$2$階。今大翔走一個$10$階樓梯，發現在第$4$階有一灘汙泥，為避免踩到汙泥向上爬時需跨過去(不踩第$4$階)。請問：大翔走這個$10$階樓梯的方法有幾種？
   
   
6. 小翔到日本旅遊時買了$8$個御守，共有$3$種型式：$A$款式是事業順利發大財御守有$4$個，$B$款式是交通安全御守有$2$個，$C$款式是身體健康御守有$2$個，小翔欲將$8$個御守分送給$8$個朋友，每人$1$個，則有幾種不同的分法？
   
   
7. 電腦螢幕顯示器上的所有顏色都由紅色$(R)$、綠色$(G)$、藍色$(B)$三種色光按照不同的比例混合而成的，每一種色光的強度分別以$0\sim255$的整數值表示，每一種顏色都分別有一組$RGB$值，比如說：$RGB$值$(0$，$0$，$0)$表示黑色，$(255$，$255$，$0)$表示黃色。若調整$RGB$值可以呈現$a\cdot {{2}^{n}}$種不同的顏色($a$及$n$皆為正整數)，求$(a$，$n)$=？
   
   
8. 董哥有$5$本相異數學書要分送給$3$位學生，請問：模範生甲至少得$1$本有幾種方法數？
   
   
9. 中信兄弟棒球隊於季前春訓努力整軍備戰，總教練從$60$名球員中挑選出$10$名春訓表現優異選手列為先發候選名單，這$10$名球員中有$4$名左打者、$5$名右打者及$1$名左右開弓打者(視對方投手決定左打或右打)。已知對方先發投手為右投，左右開弓打者若上場則採用左打，且總教練安排先發打序棒次採左打與右打相間隔排列。請問：先發打序名單有幾種相異的方法數？
   
   
10. 籃球比賽的最後一擊逆轉勝總是最令人印象深刻。某場比賽剩下$14$秒鐘，前鎮高中男籃隊僅以$1$分落後，教練為求逆轉勝叫暫停布局最後一擊，要求球員最多只傳$4$次球就投籃，戰術如下：
    (1)  對後衛$A$說：「你帶球切入後，可以傳給埋伏底角的後衛$B$，也可以傳給中鋒$C$或前鋒$D$。」
    (2)  對後衛$B$說：「接到球後可自己投籃，也可以傳給中鋒$C$或前鋒$E$。」
    (3)  對中鋒$C$說：「接到$A$的傳球可自己投籃或傳給前鋒$D$，$E$；若接到$B$的傳球就自己投籃。」
    (4)  對前鋒$D$說：「接到球後可自己投籃，也可以傳給前鋒$E$或後衛$B$。」
    (5)  對前鋒$E$說：「接到球後就投籃。」
    根據教練的戰術交代，最後一擊的進攻有幾種進攻情形？
    
    
11. 為探究高雄地區高中生熬夜時會選擇咖啡或茶作為提神飲料的分佈情形，董哥針對高雄地區公私立高中生發出$265$份問卷，回收$159$份問卷，其中勾選從不熬夜的有$10$份，熬夜時喝咖啡的有$73$份，熬夜時喝茶的有$56$份，熬夜時不喝茶也不喝咖啡有$35$份，則回收問卷當中，填答熬夜時會喝咖啡也會喝茶的有幾份？
    
    

三、計算說明題(共16分)

1. 使用數學歸納法證明：對於所有的正整數$n$，${{8}^{n}}+6$恆為$14$的倍數。($8$分)
   
   
2. 為推廣數學藝術，董老師日前透過$geogebra$數學軟體繪製下圖(以圖${{T}_{n}}$表示)，圖${{T}_{1}}$的$\overline{AB}=5$，圖${{T}_{2}}$是以$B$為旋轉中心，將$\overline{AB}$作順時針、逆時針旋轉$130{}^\circ$後再縮小為原長度的$\displaystyle{\frac{3}{5}}$倍，故圖${{T}_{2}}$的$\overline{B{{C}_{1}}}=\overline{B{{C}_{2}}}=3$，圖${{T}_{3}}$的$\overline{{{C}_{1}}{{D}_{1}}}=\overline{{{C}_{1}}{{D}_{2}}}=\overline{{{C}_{2}}{{D}_{3}}}=\overline{{{C}_{2}}{{D}_{4}}}$，再依此方式繼續作圖下去可得圖${{T}_{10}}$。
   
   
   其形態似樹枝，稱為碎形樹。設${{a}_{n}}$是圖${{T}_{n}}$的所有線段長總和，
   (1)  求$\overline{{{C}_{1}}{{D}_{1}}}=$？($3$分)
   (2)  求${{a}_{5}}=$？($5$分)