[段考] 108下第1次段考-台南-台南女中-高一(題目)

108下第1次段考-台南-台南女中-高一(題目)

範圍：南一 第二冊1-1~2-2

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一、單選題(每題5分，共25分)

1. 將$30$位排球選手在$107$年公開賽的攻擊成功數由低至高排序如下：

   $23$	$25$	$31$	$35$	$37$	$38$	$38$	$39$	$40$	$43$
   $44$	$44$	$47$	$48$	$50$	$52$	$54$	$58$	$62$	$65$
   $69$	$71$	$75$	$76$	$80$	$80$	$84$	$88$	$92$	$95$

   試問這$30$位排球選手攻擊成功數的第$75$百分位數(${{P}_{75}}$)為？
   (A)  $72$
   (B)  $73$
   (C)  $75$
   (D)  $76$
   
   
2. 下列各組數據中，試問哪組數據的標準差大於$1$，$2$，$3$的標準差？
   (A)  $1$，$1$，$2$，$2$，$3$，$3$
   (B)  $11$，$12$，$13$
   (C)  $1$，$3$，$5$
   (D)  $0.1$，$0.2$，$0.3$
   
   
3. 有二維數據如附表，且知$Y$對$X$的最適直線方程式為$y=x+1$，試問$(m$，$n)$為何？

   $X$	$1$	$2$	$2$	$3$
   $Y$	$3$	$3$	$m$	$n$

   (A)  $(1$，$5)$
   (B)  $(2$，$4)$
   (C)  $(4$，$2)$
   (D)  $(2$，$6)$
   
   
4. 阿點有五個孫子，有天朋友問他：「你家五個孫子中，年紀最大的是幾歲啊？」阿點回他朋友：「我家五個孫子的年齡(皆為正整數)超特別的喔！他們五個的算術平均數、中位數、眾數都是$10$歲，且全距為$20$歲。」設阿點家年紀最大的孫子為$T$歲，試問$T$的所有可能值總和為？
   (A)  $51$
   (B)  $66$
   (C)  $63$
   (D)  $72$
   
   
5. 對於所附$3$個散布圖$A$，$B$，$C$，設其相關係數依次為${{r}_{a}}$，${{r}_{b}}$，${{r}_{c}}$。試選出正確的選項？
   
   (A)  ${{r}_{a}}>{{r}_{b}}>{{r}_{c}}$
   (B)  ${{r}_{a}}>{{r}_{c}}>{{r}_{b}}$
   (C)  ${{r}_{b}}>{{r}_{c}}>{{r}_{a}}$
   (D)  ${{r}_{b}}>{{r}_{a}}>{{r}_{c}}$
   
   

二、多選題(每題5分，共25分。每題至少有一個正確選項，全對者得5分，恰好錯一個者得3分，恰好錯兩個者得1分，其餘不給分。)

6. 設數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$的遞迴關係為：${{a}_{1}}=1$，${{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+1$($n$為正整數)，若將其中的遞迴關係化成${{a}_{n+1}}-\beta =\alpha ({{a}_{n}}-\beta )$，試選出正確的選項？
   (A)  $\alpha =2$
   (B)  $\beta =1$
   (C)  ${{a}_{5}}=26$
   (D)  ${{a}_{n}}={{2}^{n}}-1$
   (E)  若數列前$n$項和${{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{n}}$，則${{S}_{12}}-{{S}_{2}}={{2}^{3}}({{2}^{12}}-1)-10$
   
   
7. 喬喬這次段考數學考了$66$分，若全班數學成績平均$62$分，標準差為$8$分。就這次段考而言，試選出正確的選項。
   (A)  全班所有人的成績皆在$54$分以上且在$70$分以下
   (B)  喬喬的成績經標準化後的分數是$0.5$
   (C)  所有人的成績經標準化，所得分數總和是$0$
   (D)  所有人的成績經標準化，所得分數的變異數是$1$
   (E)  若喬喬與最高分的差距為$32$分，所有人的成績標準化後，喬喬與最高分的差距變為$24$分
   
   
8. 等差數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$，已知${{a}_{1}}=2$且公差為負實數$k$。試選出正確的選項。
   (A)  若${{a}_{10}}>0$，則${{a}_{100}}>0$
   (B)  若${{a}_{100}}>0$，則${{a}_{10}}>0$
   (C)  ${{a}_{100}}-{{a}_{10}}=10({{a}_{10}}-{{a}_{1}})$
   (D)  若${{b}_{n}}={{({{a}_{n}})}^{2}}$，則${{b}_{1}}>{{b}_{2}}>{{b}_{3}}>\cdots$
   (E)  若${{c}_{n}}$為${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，${{a}_{n}}$的算術平均數，則${{c}_{1}}$，${{c}_{2}}$，${{c}_{3}}$，…是公差為$\displaystyle{\frac{k}{2}}$的等差數列
   
   
9. 晴晴老師班上$40$人期末考數學成績為${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…，${{x}_{40}}$，算術平均數${{\mu }_{x}}=25$分，標準差${{\sigma }_{x}}=9$分，因為成績太低，老師想幫每位同學調整分數，老師提出兩種方案：
   方案甲：每位同學都以${{y}_{i}}=2{{x}_{i}}+15$方式調分(調分後沒有超過$100$分的情形)
   方案乙：每位同學都以${{w}_{i}}=\displaystyle{\frac{{{x}_{i}}+150}{3}}$方式調分(調分後沒有超過$100$分的情形)
   試根據以上資料選出正確的選項。
   (A)  若採方案甲，加分後算術平均數${{\mu }_{y}}$為$65$分且標準差${{\sigma }_{y}}$為18$18$分
   (B)  若採方案乙，原始分數超過$75$分的學生，調整之後的新分數反而會降低
   (C)  原始成績與方案甲成績的相關係數$>$原始成績與方案乙成績的相關係數
   (D)  若將全班的原始分數都標準化為$z$分數(${{z}_{i}}=\displaystyle{\frac{{{x}_{i}}-25}{9}}$)，則${{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+\cdots +{{z}_{40}}^{2}=1$
   (E)  若有一位學生的原始分數為$25$分，但發現他作弊之後將他成績移除，則剩下的人，採方案甲
   調整後的算術平均數，會高於採方案乙調整後的算術平均數
   
   
10. 凱心調查公司$100$位員工的年齡($X$)與體重($Y$)，$X$單位為歲，$Y$單位為公斤，得到$100$對數據$({{x}_{1}}$，${{y}_{1}})$，$({{x}_{2}}$，${{y}_{2}})$，…，$({{x}_{100}}$，${{y}_{100}})$並將其繪製成散布圖。試選出正確的選項。
    (A)  相關係數$r$有可能是$1.2$
    (B)  若所有點都在直線$y=0.5x+40$上，則相關係數為$0.5$
    (C)  若$y$與$x$的最適合直線為$y=0.5x+40$，則一名$30$歲員工利用最適直線預估體重為$55$公斤
    (D)  若將體重的單位從公斤改為磅($1$公斤約等於$2.2$磅)，則相關係數不變
    (E)  若將年齡的單位改為出生時間的西元年，則相關係數不變
    
    

三、選填題(每題5分，共40分)

1. 若$2[1\times 1+2\times 7+3\times 17+\cdots +100\times (2\times {{100}^{2}}-1)]=100\times 101\times K$，則$K=$？
   
   
2. 阿中在家自主健康管理$14$天，為了打發時間，把家裡所有的一元硬幣放在桌上，並堆成正方形垛，如附圖，
   
   阿中用這種正方形垛堆法，發現家裡所有的硬幣由上而下，可以剛剛好堆出$5$層，他覺得這樣剛剛好的感覺實在是太療癒了，於是開心地嘗試另外一種三角形垛堆法，
   
   試問要剛剛好堆出三角形垛(每層皆按照附圖規則排下去)，最少要再補幾個$1$元硬幣才行？
   
   
3. 南極微中子探測計畫「天壇陣列」$($$AskaryanRadioArray$，$ARA$$)$，為台、美、歐、日的大型合作計畫，該計畫於南極冰層建立觀測站，目的是用來觀測宇宙中的微中子，觀測站間兩兩相距大約兩公里，下【圖$3$】為$2011$年$ARA$天壇陣列模型，若建立時由【圖$1$】$\to$【圖$2$】$\to$【圖$3$】$\to$…的方式建造，設【圖$n$】有${{a}_{n}}$個觀測站，若${{a}_{n}}=x{{n}^{2}}+yn+z$，則數對$(x$，$y$，$z)$=？
   
   
   
4. 某系入學考試分為口試與筆試兩測驗，由於最近嚴重特殊傳染性肺炎疫情嚴重，應減少群聚，調閱去年$4$名考生的筆試與口試成績如下表(註：$15$級分為滿級分)，該系討論後決定若筆試與口試成績的相關係數$r>0.6$，今年就取消口試，僅以筆試成績計算。請問根據這份資料判斷，今年是否取消口試？

   	甲	乙	丙	丁	平均
   筆試成績$x$(級分)	$10$	$10$	$14$	$14$	$12$
   口試成績$y$(級分)	$9$	$14$	$15$	$14$	$13$

   
   
5. 宇恩準備向銀行貸款$1$百萬元當做創業基金，原本約定年利率為$2%$，每年複利一次，兩年期滿後，一次還清貸款的本利和。不過宇恩符合青年創業優惠的資格，申請改以單利計息還款。試問在此優惠下，宇恩在兩年期滿還款時，可以比一般複利計息少繳多少元？
   
   
6. 設數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$的遞迴關係式為：$\left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}=1 \\ \displaystyle{\frac{{{a}_{n}}}{n}}=\displaystyle{\frac{{{a}_{n-1}}}{n-1}}+\displaystyle{\frac{1}{{{2}^{n-1}}}}\text{ },\text{ }n\ge 2 \\ \end{array} \right.$，若${{a}_{10}}=10\times K$，則$K=$？
   
   
7. 身體質量指數$(BodyMassIndex$，簡稱$BMI)$是由$19$世紀中期的比利時統計學家及數學家凱特勒最先提出。定義為：$BMI$$=\displaystyle{\frac{w}{{{h}^{2}}}}$，其中$w=$體重(公斤)，$h=$身高(公尺)，$BMI=$身體質量指數(${}^{}/{}_{{{}^{2}}}$)，某健身房有$10$位BMI為$20$${}^{}/{}_{{{}^{2}}}$的會員，已知這$10$位會員的平均身高${{\mu }_{h}}$為$1.6$公尺，標準差${{\sigma }_{h}}$為$0.2$公尺，則這十位會員體重的算術平均數為多少公尺？
   
   
8. 阿中在一個邊長為$n$($n$為奇數)的正方形方格中，以下述兩種螺旋排列正整數方式書寫，
   方式甲：從左上角開始寫1，接著以順時鐘向內螺旋的方式依序排列正整數，如下所示
   
   方式乙：從正中間開始寫1，接著以逆時鐘向外螺旋的方式依序排列正整數，如下所示
   
   阿中比較喜歡方式甲：順時鐘向內螺旋的方式，請問若用方式甲，當$n=9$時，從左上至右下的對角線上所有的數字和為何？
   
   

四、混合題組(共10分)

1. 嚴重特殊傳染性肺炎爆發，全球陷入口罩荒，還好台灣有一群無名英雄團結合作、無償付出，組成國家口罩隊，讓口罩產線增加，配合「購買口罩實名制」政策，讓全民防疫能更徹底執行。節錄衛福部「口罩實名制」分流限制購買相關規定：身分證字號末碼雙號者($0$，$2$，$4$，$6$，$8$)於每週二、四、六購買；單號者($1$，$3$，$5$，$7$，$9$)可於每週一、三、五購買；週日則開放全民皆可購買。
   目前的身分證字號一共有十碼，包括起首一個大寫的英文字母與接續的九個阿拉伯數字。其中首碼英文代碼是以初次報戶口之地區來區分，而首位數字則是拿來區分性別的性別碼，男性為$1$、女性為$2$，最後一碼為檢查碼。驗證是否為真正的身分證字號公式如下：
   
   假設有一身分證號碼為$M140051653$，
   $M$轉換為數值是$21$，將每一碼拆開後分別編號：從左到右為${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，${{a}_{11}}$，
   計算${{a}_{1}}\times 1+{{a}_{2}}\times 9+{{a}_{3}}\times 8+{{a}_{4}}\times 7+{{a}_{5}}\times 6+{{a}_{6}}\times 5+{{a}_{7}}\times 4+{{a}_{8}}\times 3+{{a}_{9}}\times 2+{{a}_{10}}\times 1+{{a}_{11}}\times 1$，
   此例結果為：$2\times 1+1\times 9+1\times 8+4\times 7+0\times 6+0\times 5+5\times 4+1\times 3+6\times 2+5\times 1+3\times 1=90$，
   將此結果除以$10$，如果整除，則為有效的身份證號碼。
   選填題(5分)
   阿中受託代買，已知此人為苗栗的男性，性別碼後依序為$7654321$，阿中發現這個委託人少打了最後一碼檢查碼，聯絡不到他，也還沒拿到他的證件，但阿中急著安排行程，還好聰明的阿中知道有效的身分證字號驗證規則，若此人給的資訊無誤，也是有效的身分證字號，則檢查碼應為何？
   非選題(5分)
   阿中回家後用$EXCEL$驗證了好幾組身份證字號，嘗試的過程中發現一件有趣的事，
   $1\times 2=\displaystyle{\frac{1\times 2\times 3}{3}}$，$1\times 2+2\times 3=\displaystyle{\frac{2\times 3\times 4}{3}}$，$1\times 2+2\times 3+3\times 4=\displaystyle{\frac{3\times 4\times 5}{3}}$，$1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5=\displaystyle{\frac{4\times 5\times 6}{3}}$，
   猜測$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +n\times (n+1)=\displaystyle{\frac{n\times (n+1)\times (n+2)}{3}}$，請用數學歸納法證明，對所有正整數$n$均成立。