[段考] 108下第1次段考-台南-台南二中-高一(題目)

108下第1次段考-台南-台南二中-高一(題目)

範圍：龍騰 第二冊單元1,2,3,8,9

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一、單選題

1. 佩華在考試時遇到了一個證明題：請證明對於所有的正整數$n$，$\displaystyle{\frac{1}{1\times 2}}+\displaystyle{\frac{1}{2\times 3}}+\displaystyle{\frac{1}{3\times 4}}+\cdots +\displaystyle{\frac{1}{n\times (n+1)}}=\displaystyle{\frac{n}{n+1}}$恆成立。於是佩華決定使用數學歸納法證明，他的證明過程如下：
   (步驟1)：
   當$n=1$時，$\displaystyle{\frac{1}{1\times 2}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}=\displaystyle{\frac{1}{1+1}}$成立
   (步驟2)：
   設$n=k$時成立，即$\displaystyle{\frac{1}{1\times 2}}+\displaystyle{\frac{1}{2\times 3}}+\displaystyle{\frac{1}{3\times 4}}+\cdots +\displaystyle{\frac{1}{k\times \left( k+1 \right)}}=\displaystyle{\frac{k}{k+1}}$
   (步驟3)：
   則$n=k+1$時，
   $\displaystyle{\frac{1}{1\times 2}}+\displaystyle{\frac{1}{2\times 3}}+\displaystyle{\frac{1}{3\times 4}}+\cdots +\displaystyle{\frac{1}{k(k+1)}}+\displaystyle{\frac{1}{(k+1)(k+2)}}$
   $=(\displaystyle{\frac{1}{1}}-\displaystyle{\frac{1}{2}})+(\displaystyle{\frac{1}{2}}-\displaystyle{\frac{1}{3}})+(\displaystyle{\frac{1}{3}}-\displaystyle{\frac{1}{4}})+\cdots +(\displaystyle{\frac{1}{k}}-\displaystyle{\frac{1}{k+1}})+(\displaystyle{\frac{1}{k+1}}-\displaystyle{\frac{1}{k+2}})$
   $=1-\displaystyle{\frac{1}{k+2}}=\displaystyle{\frac{k+1}{k+2}}=\displaystyle{\frac{k+1}{(k+1)+1}}$亦成立
   (步驟4)：
   由數學歸納法知，對於所有的正整數$n$，$\displaystyle{\frac{1}{1\times 2}}+\displaystyle{\frac{1}{2\times 3}}+\displaystyle{\frac{1}{3\times 4}}+\cdots +\displaystyle{\frac{1}{n\times (n+1)}}=\displaystyle{\frac{n}{n+1}}$恆成立
   請問，佩華在證明的過程中，哪個步驟是錯誤的？
   (A)  步驟$1$
   (B)  步驟$2$
   (C)  步驟$3$
   (D)  步驟$4$
   (E)  所有步驟均無錯誤
   
   
2. 下列五個散布圖中，$x$與$y$的相關係數由存至右依序為${{r}_{1}}$，${{r}_{2}}$，${{r}_{3}}$，${{r}_{4}}$，${{r}_{5}}$，請判斷相關係數的大小關係並選出正確的選項。
   
   (A)  ${{r}_{5}}>{{r}_{1}}>{{r}_{2}}>{{r}_{4}}>{{r}_{3}}$
   (B)  ${{r}_{5}}>{{r}_{1}}>{{r}_{2}}>{{r}_{3}}>{{r}_{4}}$
   (C)  ${{r}_{1}}>{{r}_{5}}>{{r}_{2}}>{{r}_{4}}>{{r}_{3}}$
   (D)  ${{r}_{1}}>{{r}_{5}}>{{r}_{2}}>{{r}_{3}}>{{r}_{4}}$
   (E)  ${{r}_{5}}>{{r}_{1}}>{{r}_{4}}>{{r}_{3}}>{{r}_{2}}$
   
   

二、多選題

1. 已知一數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$，且${{a}_{1}}\ne 0$，設${{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+$…$+{{a}_{n}}$，試問下列哪些選項是正確的？
   (A)  若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$為等差數列，且公差為$d$，則一般項${{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$
   (B)  若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$為等差數列，且公差為$d$，則${{S}_{n}}=\displaystyle{\frac{n[2{{a}_{1}}+(n-1)d]}{2}}$
   (C)  若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$為等比數列，且公比為$r$，則一般項${{a}_{n}}={{a}_{1}}+{{r}^{n-1}}$
   (D)  若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$為等比數列，且公比為$r$，則${{S}_{n}}=\displaystyle{\frac{{{a}_{1}}({{r}^{n}}-1)}{r-1}}$
   (E)  若${{S}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$，則${{a}_{10}}=22$
   
   
2. 已知學測成績的五標是依照百分位數而定，其中頂標為第$88$百分位數、前標為第$75$百分位數、均標為第$50$百分位數、後標為第$25$百分位數、底標為第$12$百分位數。右表是$109$年學測數學科的「級分人數百分比累計表」，請根據表中資訊選出正確的選項。

   級分	人數	百分比	累積人數	累積百分比
   $15$	$14489$	$11.22$	$129087$	$100.00$
   $14$	$11334$	$8.78$	$114598$	$88.78$
   $13$	$8828$	$6.84$	$103264$	$80.00$
   $12$	$8891$	$6.89$	$94436$	$73.16$
   $11$	$9098$	$7.05$	$85545$	$66.27$
   $10$	$8050$	$6.24$	$76447$	$59.22$
   $9$	$9400$	$7.28$	$68397$	$52.99$
   $8$	$9173$	$7.11$	$58997$	$45.70$
   $7$	$7804$	$6.05$	$49824$	$38.60$
   $6$	$9107$	$7.05$	$42020$	$32.55$
   $5$	$9116$	$7.06$	$32913$	$25.50$
   $4$	$8330$	$6.45$	$23797$	$18.43$
   $3$	$8928$	$6.92$	$15467$	$11.98$11
   $2$	$5336$	$4.13$	$6539$	$5.07$
   $1$	$1147$	$0.89$	$1203$	$0.93$
   $0$	$56$	$0.04$	$56$	$0.04$

   
   (A)  頂標為$13$級分
   (B)  前標為$12$級分
   (C)  均標為$8$級分
   (D)  後標為$5$級
   (E)  底標為$4$級分
   
   
3. 設${{a}_{1}}=1$且${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…為等差數列。請選出正確的選項。
   (A)  若${{a}_{50}}<0$，則${{a}_{100}}<0$
   (B)  若${{a}_{50}}>0$，則${{a}_{100}}>0$
   (C)  若${{a}_{100}}<0$，則${{a}_{50}}<0$
   (D)  若${{a}_{100}}>0$，則${{a}_{50}}>0$
   (E)  ${{a}_{100}}-{{a}_{50}}={{a}_{50}}-{{a}_{1}}$
   
   

三、填充題

1. 設數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$為等比數列，且${{a}_{9}}=\displaystyle{\frac{1}{{{a}_{3}}}}$、${{a}_{7}}=3$，求${{a}_{10}}=$？
   
   
2. 已知$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$為等比數列，且前$5$項的和${{S}_{5}}=10$，前$10$項的和${{S}_{10}}=50$，求前$15$項的和${{S}_{15}}=$？
   
   
3. 右表為某班段考的成績統計表。已知家倫在這次段考中，國文成績為$70$分；英文成績為$75$分；數學成績為$60$分。試問家倫在這次段考中，哪一個科目的表現最好？

   科目	平均數	標準差
   國文	$60$	$5$
   英文	$65$	$10$
   數學	$40$	$15$

   
   
   
4. 如圖，已知$\angle A=45{}^\circ$，$\overline{AB}=1$，且${{T}_{1}}$，${{T}_{2}}$，${{T}_{3}}$…都是正方形，求前$6$個正方形面積的總和？
   
   
   
5. 取一正方形${{T}_{1}}$，以其各邊中點為頂點連成的四邊形${{T}_{2}}$，也是正方形。重複這樣的步驟，得到一序列的正方形${{T}_{1}}$，${{T}_{2}}$，${{T}_{3}}$…，如圖所示。已知${{T}_{1}}$的面積為$324$，並設${{a}_{n}}$為正方形${{T}_{n}}$的周長。
   
   (1)  請寫出數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$的遞迴歸係式。
   (2)  求${{a}_{7}}=$？
   
   
6. 下圖為$12\times 10$的方格，每一個小方格皆為正方形。試問圖中大大小小的正方形共有多少個？
   
   
   
7. 已知某地區人口近四年的成長率分別為$12%$、$-2%$、$12%$、$28%$，求該地區此四年人口的平均成長率？
   
   
8. 設兩變數$x$與$y$的$n$筆數據之相關係數$r=0.9$。已知變量$u=-3x+5$、$v=-2y-4$，求兩變量$u$與$v$的相關係數？
   
   
9. 已知數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$的前$n$項和${{S}_{n}}=2{{n}^{2}}+3n-1$，求一般項${{a}_{n}}$的公式？
   
   
10. 某班有$30$位學生，其中男生有$20$位，女生有$10$位。已知男生身高的平均數為$170$公分，標準差為$10$公分；女生身高的平均數為$161$公分，標準差為$5$公分。試問：
    全班身高的平均數？
    全班身高的標準差？
    
    

四、計算題

1. 目前大學入學學科能力測驗（簡稱「學測」）於每年一月舉行。成績放榜後，入學方式有兩種，分別是繁星推薦及個人申請，公告錄取時間介於三月至五月之間，是許多高三生面臨抉擇未來大學志願的關鍵點。其中，申請入學分成兩階段，第一階段按照級分篩選，第二階段則是以面試及備審資料為主。因此，多數學生在學測成績底定後，唯有積極準備備審資料與練習面試，才能在第二階段眾多兢爭者中拔得頭籌、脫穎而出。根據以往經驗，學測成績較好的同學普遍在面試時的成績也較高。為了驗證學測成績與面試成績的關聯性，老師蒐集參加過第二階段的同學進行分析，而挑選出其中$5$位學生的學測成績與面試成績如下：

   	嘉玳	孟涵	書玥	柏霖	漢陽
   學測成績$(X)$	$45$	$45$	$44$	$47$	$49$
   面試成績$(Y)$	$3$	$1$	$4$	$3$	$9$

   
   (1)  求學測成績$(X)$與面試成績$(Y)$的相關係數？
   (2)  求面試成績$(Y)$對學測成績$(X)$的迴歸直線方程式？
   (3)  若竫芮的學測成績為$54$分，請利用迴歸直線預測竫芮的面試成績應為幾分？