108下第1次段考-台北-建國中學-高一(題目)
範圍: 第二冊



一、多選題(每題10分,共30分。每題至少有一個正確選項,全對者得10分,恰好錯一個者得6分,恰好錯兩個者得2分,其餘不給分。)
- 已知n為大於1的正整數,請選出正確的選項。
(A) n2−n+41必為質數
(B) n3+5n必為6的倍數
(C) 13+23+⋯+(3n−1)3+(3n)3=((3n)(3n+3)1)2
(D) 12+32+⋯+(2n−1)2=n3+2n2−4n+2
(E) 1+(1n)+(1n)2+⋯+(1n)n=nn+1−1nn+1−nn
- 數據標準化後稱為z分數,而生活中較常使用的是T分數,其轉換公式為T=10Z+50。今任意給定一組兩兩相異的數據X:x1,x2,…xn,其對應的T分數為T:t1,t2,…tn,請選出正確的選項。(X的標準差記為σX)
(A) 此組數據的T分數t1,t2,…,tn兩兩相異
(B) 此組數據的T分數t1,t2,…tn都介於0∼100之間
(C) 此組數據T分數t1,t2,…,tn的算術平均數為50,標準差為10
(D) 此組數據T分數與X的相關係數為1
(E) 此組數據T分數對X的迴歸直線(最適直線),其斜率為σX10
- 大學入學學科能力測驗(簡稱學測)的計分採級分制,以該科分數最高的前1考生(取整數,小數無條件進位)的平均原始分數除以15(取至小數第二位,第三位四捨五入)作為各該科之級距L,原始得分0分者為0級分,原始得分x分者若滿足(n−1)⋅L<x≤n⋅L則為n級分(n=1,2,3,…,14),其餘為15級分。已知某年學測國文科全國有144250人到考,原始分數滿分為108分,五項成績標準如下表,請選出正確的選項。
標準 計算方式(均不含缺考生之成績) 級分 頂標 成績位於第88百分位數之考生級分 13 前標 成績位於第75百分位數之考生級分 均標 成績位於第50百分位數之考生級分 11 後標 成績位於第25百分位數之考生級分 10 底標 成績位於第12百分位數之考生級分 8
(A) 該年學測國文科全國前標必為12級分
(B) 該年學測國文科至少有88以上的全國考生低於13級分
(C) 該年學測國文科全國考生級分的第1四分位數為10級分
(D) 若有考生該年學測國文科原始分數為55分,其國文科級分至少有全國均標
(E) 若有考生該年學測國文科原始分數排名為第17235名,其國文科至少有13級分
二、填充題(共58分
答對格數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
得分 | 0 | 10 | 20 | 28 | 36 | 42 | 48 | 52 | 56 | 58 | 58 |
- 已知數列⟨an⟩對於所有的正整數n均滿足a1+a2+⋯+an=n2−n+1,求此數列的一般項an=?
- 設[x]表示小於或等於x的最大整數。已知數列⟨an⟩滿足{a1=15an+1=2an−[3an] , n∈N,求此數列前100項的總和?
- 定期考的成績評量採百分制評定(即用0至100評分),已知昱翔班上英文科三次定期考分數的算術平均數及標準差如下表:
第一次定期考 第二次定期考 第三次定期考 算數平均數 77.4 81.6 67.2 標準差 8.8 10.4 8.1
昱翔於第一次定期考期間公假出國為校爭光而沒有參與定期考,老師打算計算昱翔第二次及第三次定期考於班上的標準分數,再取其算術平均數當作他第一次定期考的標準分數,以便計算學期成績。已知昱翔第二次及第三次定期考英文科的成績分別為66、51分,則昱翔第一次定期考英文科由標準分數換算回百分制的成績為幾分?
- 因應嚴重特殊傳染性肺炎的校園防疫措施,承恩每天一早就在家量好耳溫並向班上登記,衛生股長為求謹慎會使用班上的額溫槍再量一次。下表是他某一週體溫(∘C)的紀錄情形,請回答下列題組。
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 耳溫X 37.1 36.5 36.7 37.4 37.3 額溫Y 36.5 36.1 36.3 36.9 36.7
(1) 承恩當週耳溫X與額溫Y的相關係數為何?(請化簡至最簡根式)
(2) 若承恩星期六在家量得耳溫為37.5∘C,則由當週額溫Y對耳溫X的迴歸直線(最適直線)預測承恩星期六的額溫為多少∘C?
- 已知有17個數據成等差數列,其首項為−2√63、公差為√6,求這17個數據的標準差?
- 已知有一組標準化數據(a1,b1),(a2,b2),…,(a10,b10),其y對x的迴歸直線(最適直線)方程式為y=4567x,其散布圖與迴歸直線(最適直線)如圖1。將數值互換,可得到另一組數據(b1,a1),(b2,a2),…,(b10,a10),其散布圖如圖2,求其y對x的迴歸直線(最適直線)方程式?
- 在1與2020之間插入n個數,使其成為一個公比為正數的等比數列,若欲使其和超過4039,求正整數n的最小值?
- 有78個數據依規則排列如下:,11,12,22,13,23,33,14,24,34,44,…,112,212,…,1212,
求其算術平均數?(請化簡至最簡分數)
求其中位數?(請化簡至最簡分數)
三、計算證明題(共12分)
- 已知數列⟨an⟩滿足{a1=2an+1=(1+2n)⋅an , n∈N,
(1) 求a2、a3、a4的值?(3分)
(2) 請猜測此數列的一般項an,並用數學歸納法證明你的猜測是正確的。(9分)
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