108下第1次段考-台北-建國中學-高一(題目)
範圍： 第二冊
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一、多選題(每題10分，共30分。每題至少有一個正確選項，全對者得10分，恰好錯一個者得6分，恰好錯兩個者得2分，其餘不給分。)
- 已知$n$為大於$1$的正整數，請選出正確的選項。
(A) ${{n}^{2}}-n+41$必為質數
(B) ${{n}^{3}}+5n$必為$6$的倍數
(C) ${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+\cdots +{{(3n-1)}^{3}}+{{(3n)}^{3}}={{(\displaystyle{\frac{(3n)(3n+3)}{1}})}^{2}}$
(D) ${{1}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{(2n-1)}^{2}}={{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-4n+2$
(E) $1+(\displaystyle{\frac{1}{n}})+{{(\displaystyle{\frac{1}{n}})}^{2}}+\cdots +{{(\displaystyle{\frac{1}{n}})}^{n}}=\displaystyle{\frac{{{n}^{n+1}}-1}{{{n}^{n+1}}-{{n}^{n}}}}$
- 數據標準化後稱為$z$分數，而生活中較常使用的是$T$分數，其轉換公式為$T=10Z+50$。今任意給定一組兩兩相異的數據$X$：${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…${{x}_{n}}$，其對應的$T$分數為$T$：${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$，…${{t}_{n}}$，請選出正確的選項。($X$的標準差記為${{\sigma }_{X}}$)
(A) 此組數據的$T$分數${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$，…，${{t}_{n}}$兩兩相異
(B) 此組數據的$T$分數${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$，…${{t}_{n}}$都介於$0\sim100$之間
(C) 此組數據$T$分數${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$，…，${{t}_{n}}$的算術平均數為$50$，標準差為$10$
(D) 此組數據$T$分數與$X$的相關係數為$1$
(E) 此組數據$T$分數對$X$的迴歸直線（最適直線），其斜率為$\displaystyle{\frac{{{\sigma }_{X}}}{10}}$
- 大學入學學科能力測驗（簡稱學測）的計分採級分制，以該科分數最高的前$1%$考生（取整數，小數無條件進位）的平均原始分數除以$15$（取至小數第二位，第三位四捨五入）作為各該科之級距$L$，原始得分$0$分者為$0$級分，原始得分$x$分者若滿足$(n-1)\cdot L<x\le n\cdot L$則為$n$級分$(n=1$，$2$，$3$，…，$14)$，其餘為$15$級分。已知某年學測國文科全國有$144250$人到考，原始分數滿分為$108$分，五項成績標準如下表，請選出正確的選項。
標準 計算方式（均不含缺考生之成績） 級分 頂標 成績位於第$88$百分位數之考生級分 $13$ 前標 成績位於第$75$百分位數之考生級分 均標 成績位於第$50$百分位數之考生級分 $11$ 後標 成績位於第$25$百分位數之考生級分 $10$ 底標 成績位於第$12$百分位數之考生級分 $8$
(A) 該年學測國文科全國前標必為$12$級分
(B) 該年學測國文科至少有$88%$以上的全國考生低於$13$級分
(C) 該年學測國文科全國考生級分的第$1$四分位數為$10$級分
(D) 若有考生該年學測國文科原始分數為$55$分，其國文科級分至少有全國均標
(E) 若有考生該年學測國文科原始分數排名為第$17235$名，其國文科至少有$13$級分
二、填充題(共58分
| 答對格數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 得分 | 0 | 10 | 20 | 28 | 36 | 42 | 48 | 52 | 56 | 58 | 58 |
- 已知數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $對於所有的正整數$n$均滿足${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}={{n}^{2}}-n+1$，求此數列的一般項${{a}_{n}}=$？
- 設$[x]$表示小於或等於$x$的最大整數。已知數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $滿足$\left\{ \begin{array}{l}
{{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{1}{5}} \\
{{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}-[3{{a}_{n}}]\text{ },\text{ }n\in \mathbb{N} \\
\end{array} \right.$，求此數列前$100$項的總和？
- 定期考的成績評量採百分制評定（即用$0$至$100$評分），已知昱翔班上英文科三次定期考分數的算術平均數及標準差如下表：
第一次定期考 第二次定期考 第三次定期考 算數平均數 $77.4$ $81.6$ $67.2$ 標準差 $8.8$ $10.4$ $8.1$
昱翔於第一次定期考期間公假出國為校爭光而沒有參與定期考，老師打算計算昱翔第二次及第三次定期考於班上的標準分數，再取其算術平均數當作他第一次定期考的標準分數，以便計算學期成績。已知昱翔第二次及第三次定期考英文科的成績分別為$66$、$51$分，則昱翔第一次定期考英文科由標準分數換算回百分制的成績為幾分？
- 因應嚴重特殊傳染性肺炎的校園防疫措施，承恩每天一早就在家量好耳溫並向班上登記，衛生股長為求謹慎會使用班上的額溫槍再量一次。下表是他某一週體溫$({}^\circ C)$的紀錄情形，請回答下列題組。
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 耳溫$X$ $37.1$ $36.5$ $36.7$ $37.4$ $37.3$ 額溫$Y$ $36.5$ $36.1$ $36.3$ $36.9$ $36.7$
(1) 承恩當週耳溫$X$與額溫$Y$的相關係數為何？（請化簡至最簡根式）
(2) 若承恩星期六在家量得耳溫為$37.5{}^\circ C$，則由當週額溫$Y$對耳溫$X$的迴歸直線（最適直線）預測承恩星期六的額溫為多少${}^\circ C$？
- 已知有$17$個數據成等差數列，其首項為$-\displaystyle{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$、公差為$\sqrt{6}$，求這$17$個數據的標準差？
- 已知有一組標準化數據$({{a}_{1}}$，${{b}_{1}})$，$({{a}_{2}}$，${{b}_{2}})$，…，$({{a}_{10}}$，${{b}_{10}})$，其$y$對$x$的迴歸直線（最適直線）方程式為$y=\displaystyle{\frac{45}{67}}x$，其散布圖與迴歸直線（最適直線）如圖$1$。將數值互換，可得到另一組數據$({{b}_{1}}$，${{a}_{1}})$，$({{b}_{2}}$，${{a}_{2}})$，…，$({{b}_{10}}$，${{a}_{10}})$，其散布圖如圖$2$，求其$y$對$x$的迴歸直線（最適直線）方程式？
- 在$1$與$2020$之間插入$n$個數，使其成為一個公比為正數的等比數列，若欲使其和超過$4039$，求正整數$n$的最小值？
- 有$78$個數據依規則排列如下：，$\displaystyle{\frac{1}{1}}$，$\displaystyle{\frac{1}{2}}$，$\displaystyle{\frac{2}{2}}$，$\displaystyle{\frac{1}{3}}$，$\displaystyle{\frac{2}{3}}$，$\displaystyle{\frac{3}{3}}$，$\displaystyle{\frac{1}{4}}$，$\displaystyle{\frac{2}{4}}$，$\displaystyle{\frac{3}{4}}$，$\displaystyle{\frac{4}{4}}$，…，$\displaystyle{\frac{1}{12}}$，$\displaystyle{\frac{2}{12}}$，…，$\displaystyle{\frac{12}{12}}$，
求其算術平均數？（請化簡至最簡分數）
求其中位數？（請化簡至最簡分數）
三、計算證明題(共12分)
- 已知數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $滿足$\left\{ \begin{array}{l}
{{a}_{1}}=2 \\
{{a}_{n+1}}=(1+\displaystyle{\frac{2}{n}})\cdot {{a}_{n}}\text{ },\text{ }n\in \mathbb{N} \\
\end{array} \right.$，
(1) 求${{a}_{2}}$、${{a}_{3}}$、${{a}_{4}}$的值？(3分)
(2) 請猜測此數列的一般項${{a}_{n}}$，並用數學歸納法證明你的猜測是正確的。(9分)
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