[段考] 108下第1次段考-彰化-彰化女中-高一(題目)

108下第1次段考-彰化-彰化女中-高一(題目)

範圍：第二冊 龍騰1,2,8,9

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一、單選題：(每題5分，2題共10分)

1. 設有$5$筆數據$({{x}_{1}}$，${{y}_{1}})$、$({{x}_{2}}$，${{y}_{2}})$、...、$({{x}_{5}}$，${{y}_{5}})$的散布圖如下，若依據最小平方法求得迴歸直線$L$：$y=ax+b$，請選出下列選項中正確的圖形與敘述搭配。
   甲：求$a$、$b$使得${{[(a{{x}_{1}}+b)-{{y}_{1}}]}^{2}}+{{[(a{{x}_{2}}+b)-{{y}_{2}}]}^{2}}+...+[(a{{x}_{5}}+b)-{{y}_{5}}]$為最小值。
   乙：求$a$、$b$使得${{({{x}_{1}}-{{y}_{1}})}^{2}}+{{({{x}_{2}}-{{y}_{2}})}^{2}}+...+{{({{x}_{5}}-{{y}_{5}})}^{2}}$為最小值。
   丙：求$a$、$b$使得$[{{(a{{x}_{1}}+b)}^{2}}-{{y}_{1}}^{2}]+[{{(a{{x}_{2}}+b)}^{2}}-{{y}_{2}}^{2}]+...+[{{(a{{x}_{5}}+b)}^{2}}-{{y}_{5}}^{2}]$為最小值。
   
   
   
   (A)  敘述甲與圖一
   (B)  敘述乙與圖一
   (C)  敘述丙與圖一
   (D)  敘述甲與圖二
   (E)  敘述乙與圖二
   (F)  敘述丙與圖二
   
   
2. 一次數學小考有個題目為：「設$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為一數列。已知${{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{1}{1\times 2}}+\displaystyle{\frac{1}{2\times 3}}+\frac{1}{3\times 4}+...+\displaystyle{\frac{1}{n\times (n+1)}}$，試列出數列前五項，並猜測其一般項，利用數學歸納法證明之。」小祥證明如下，卻被老師打叉，試判斷小祥的證明中，哪一個步驟開始發生錯誤?
   (A)  第一步－計算列舉：${{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}$、${{a}_{2}}=\displaystyle{\frac{2}{3}}$、${{a}_{3}}=\displaystyle{\frac{3}{4}}$、${{a}_{4}}=\displaystyle{\frac{4}{5}}$、${{a}_{5}}=\displaystyle{\frac{5}{6}}$
   (B)  第二步－猜測：${{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{n}{n+1}}$
   (C)  第三步－證明$1$：當$n=1$，${{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{1}{1+1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}$命題成立。
   (D)  第四步－證明$2$：設$n=k$時命題成立，即${{a}_{k}}=\displaystyle{\frac{k}{k+1}}$命題成立，則當$n=k+1$時，${{a}_{k+1}}=\displaystyle{\frac{k+1}{k+2}}=\displaystyle{\frac{(k+1)}{(k+1)+1}}$命題亦成立。
   (E)  第五步－證明$3$：由數學歸納法與證明$1$、$2$可得知：數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $的一般項為${{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{n}{n+1}}$
   
   

二、多選題：(每題8分，3題共24分，錯一個選項得5分，錯兩個選項得2分，錯三個選項以上得0分)

3. 將全校$1727$位學生的身高從小到大排序，已知第$1$、$2$、$3$分位數分別為${{Q}_{1}}=156.8$、${{Q}_{2}}=160.1$${{Q}_{3}}=163.7$(公分)且平均數為$160.3$，標準差為$5.1$，請選出正確的選項：
   (A)  眾數一定落在${{Q}_{1}}$至${{Q}_{3}}$公分的區間內
   (B)  身高介於${{Q}_{1}}$至${{Q}_{3}}$公分之間的同學們的標準差必定$\le 5.1$
   (C)  小明的身高為$165.2$公分，其身高之標準化數據大於$1$
   (D)  若全校洽有$400$位學生身高超過小祥，則其身高必定落在${{Q}_{2}}$至${{Q}_{3}}$的區間內
   (E)  若小楊身高為$160.2$公分，則小楊可能比$870$位學生還高
   
   
4. 設$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為一等比數列。已知${{a}_{1}}=100$，請選出正確的選項。
   (A)  若${{a}_{100}}>0$，則${{a}_{999}}>0$
   (B)  若${{a}_{999}}>0$，則${{a}_{100}}>0$
   (C)  若${{a}_{1000}}>10$，則${{a}_{100}}>10$
   (D)  若${{a}_{1000}}<10$，則${{a}_{100}}<10$
   (E)  ${{a}_{1000}}\div {{a}_{10}}=10({{a}_{100}}\div {{a}_{1}})$
   
   
5. 在中國某座城市中，發生了流行性感冒，若某公共衛生專家建立了指標：「若連續$10$天內，每天新增的可能病例都不超過(小於或等於)$5$人，則表示疫情已經受到控制，可以正常生活了。」依照此專家的指標並考量連續$10$天的新增病例，當這$10$筆資料滿足下列選項中的條件時，必定符合此標準?
   (A)  平均數$\le 3$
   (B)  $2\le $標準差$\le 5$
   (C)  平均數為$3$，標準差$\le 2$
   (D)  平均數為$3$，全距$\le 3$
   (E)  眾數恰為$2$，全距$\le 4$
   
   

三、填充題：(量尺配分，11題共計66分)

答對題數	${1}$	${2}$	${3}$	${4}$	${5}$	${6}$	${7}$	${8}$	${9}$	${10}$	${11}$
得分	${8}$	${16}$	${24}$	${32}$	${38}$	${44}$	${50}$	${54}$	${58}$	${62}$	${66}$

6. 設$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為一等差數列。已知前十項的和為${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{10}}=240$，前五個奇數項的和為${{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}}+{{a}_{9}}=80$，求首項${{a}_{1}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 輔導室實施性向測驗與成就測驗，有$10$名同學的數據如附表，求此$10$明同學性向測驗或成就測驗的相關係數$r=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

   性向測驗(${X}$)	${8}$	${3}$	${1}$	${4}$	${6}$	${5}$	${8}$	${3}$	${3}$	${9}$
   成就測驗(${Y}$)	${11}$	${4}$	${4}$	${5}$	${11}$	${7}$	${9}$	${2}$	${6}$	${11}$

   
   
   
8. 某研究機構發表全球平板電腦的產值預測，未來四年的成長率依序為$60%$、$-19%$、$-90%$、$0%$。依此數據，請問未來四年的「平均成長率」為=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 測量一物件的長度$9$次，得其長(公尺)為$2.53$，$2.55$，$2.51$，$2.56$，$2.52$，$2.59$，$2.58$，$2.54$，將上面每一個數據都乘以$100$，在減去$250$的依組新數據為$3$，$5$，$1$，$7$，$6$，$2$，$9$，$8$，$4$。若原數據的標準差為${{\sigma }_{x}}$，新數據標準差為${{\sigma }_{y}}$，則$\displaystyle{\frac{{{\sigma }_{x}}}{{{\sigma }_{y}}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 有$21$個數據，其算術平均數為$32$，標準差為$3$，今發覺其中一數「$32$」必須剔除，則所剩$20$個數值之標準差為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 在$7\times 9$的稿紙上依下列兩種方式填入$1$至$63$的正整數：
    $A$方式：統一由左而右填滿一(橫)列，由上至下依序填滿每一個(橫)列
    $B$方式：統一由上而下填寫一(直)行，由左至右依序填滿一(直)行
    已知其中某些格子中的數字在兩種填寫順序下相同，試求這些數字的總和=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    

題組題12至14題：

謝爾賓斯基三角形($Sierpinski$ $triangle$)：圖一為邊長為$1$的正三角形，$*$連接正三角形的三邊中點，並去掉所圍的三角形$*$，得到圖二；再將圖二中的每個小正三角形，各自做$**$的操作，得到圖三；以此類推...




12. 令${{a}_{n}}$為地$n$個圖形中黑色小三角形的『總個數』，求${{a}_{7}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    
13. 令${{b}_{n}}$為第$n$個圖形中黑色小三角形的『邊長』，求${{b}_{7}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    
14. 令${{c}_{n}}$為第$n$個圖形中黑色小三角形的『面積和』，求${{c}_{7}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    

題組題12至14題：

15. 設$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為一數列。已知${{a}_{1}}=a$、${{a}_{2}}=1$、${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}(n\ge 3)$，
    試求數列前$6$項的和(用$a$表示)=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    
16. 若已知${{S}_{2020}}=109$，求$a$值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$