[段考] 108上第1次段考-新北-新北高中-高一(詳解)

108上第1次段考-新北-新北高中-高一(詳解)

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壹、單一選擇題

1. $log\displaystyle{\frac{{{10}^{\frac{1}{2}}}}{{{10}^{2}}}}-log({{10}^{2}}\cdot {{10}^{\frac{1}{2}}})+log{{10}^{3}}$$=log{{10}^{-\frac{3}{2}}}-log{{10}^{\frac{5}{2}}}+log{{10}^{3}}$$-\displaystyle{\frac{3}{2}}-\displaystyle{\frac{5}{2}}+3=-1$，選(B)
   
   
2. (A)  反例：$a=2$、$\sqrt{a}=\sqrt{2}$為無理數；
   (B)  反例：$a=\sqrt[3]{2}$，${{a}^{2}}=\sqrt[3]{4}$為無理數；
   (C)  正確，根據有理數的封閉性。
   (D)  反例：$a=\sqrt{2}$、$b=-\sqrt{2}$，$a+b=0$為有理數
   (E)  反例：$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{2}$，$ab=2$為有理數
   
   
3. 根據分點公式，可依照各點的比例點出位置如圖：
   
   圖中之數字皆為比例，經比較過後因$\displaystyle{\frac{3}{4}}>\displaystyle{\frac{2}{3}}>\displaystyle{\frac{4}{7}}>\displaystyle{\frac{1}{2}}>\displaystyle{\frac{2}{5}}$，故(B)$>$(D)$>$(E)$>$(A)$>$(C)，選(B)
   
   
4. 由${{8.178}^{n}}=1000$得$8.178={{1000}^{\frac{1}{n}}}$、${{0.08178}^{m}}=1000$得$0.8178={{1000}^{\frac{1}{m}}}$，故$8.178\div 0.08717={{1000}^{\frac{1}{n}-\displaystyle{\frac{1}{m}}}}$，$100={{1000}^{\frac{1}{n}-\displaystyle{\frac{1}{m}}}}$。因$1000={{100}^{\frac{3}{2}}}$，故$\displaystyle{\frac{1}{n}}-\displaystyle{\frac{1}{m}}=\displaystyle{\frac{2}{3}}$，選(A)
   
   
5. $1.034=0.26\times (3+logp)+0.02$$\Rightarrow$$logp=0.9$$\Rightarrow$$p={{10}^{0.9}}\approx 8$，故選(D)
   
   

貳、多重選擇題

1. ${{x}^{6}}-{{2}^{6}}={{({{x}^{3}})}^{2}}-{{({{2}^{{3}}})}^{{2}}}=({{x}^{{3}}}+{{2}^{{3}}})({{x}^{3}}-{{2}^{3}})$$=(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)$，故(A)(B)(E)正確；其中因${{x}^{2}}-4=(x+2)(x-2)$，(C)正確。本題選(A)(B)(C)(E)
   
   
2. 本題以數線的概念來看，$\left| x+1 \right|$即$x$到$-1$的距離、$\left| x-3 \right|$即$x$到$3$的距離，故$\left| x+1 \right|+\left| x-3 \right|$的最小值為$\left| 3-(-1) \right|=4$；$\left| x+1 \right|-\left| x-3 \right|$的值必大於等於$4$或小於等於$-4$。本題選(C)(E)
   
   

參、填充題

1. $\displaystyle{\frac{{{(\sqrt{3})}^{3}}\times \sqrt{27}}{9}}\times {{[8\times {{(\sqrt{2})}^{-5}}]}^{2}}$$=\displaystyle{\frac{{{3}^{\frac{3}{2}}}\times {{3}^{\frac{3}{2}}}}{{{3}^{2}}}}\times {{({{2}^{3}}\cdot {{2}^{-\frac{5}{2}}})}^{2}}$$=3\times 2=6$
   
   
2. ${{({{a}^{\frac{4}{5}}})}^{\frac{5}{4}}}={{16}^{\frac{5}{4}}}={{({{2}^{4}})}^{\frac{5}{4}}}={{2}^{5}}=32$
   
   
3. (1)  若$x\ge 3$則$x-3\ge x$，無解；若$x<3$則$-x+3\ge x$，$x\le \displaystyle{\frac{3}{2}}$。故此題解為$x\le \displaystyle{\frac{3}{2}}$。
   (2)  兩邊平方，${{x}^{2}}-2x+1=4{{x}^{2}}-20x+25$得$3{{x}^{2}}-18x+24=0$$\Rightarrow$$x=2$或$4$
   
   
4. $5.4=-log{{[{{H}^{+}}]}_{A}}$$\Rightarrow$${{[{{H}^{+}}]}_{A}}={{10}^{-5.4}}$，同理，${{[{{H}^{+}}]}_{B}}={{10}^{-6.3}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{{[{{H}^{+}}]}_{A}}}{{{[{{H}^{+}}]}_{B}}}}=\displaystyle{\frac{{{10}^{-5.4}}}{{{10}^{-6.3}}}}={{10}^{0.9}}$，大約為$8$倍
   
   
5. $\sqrt{{{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}+2}=\sqrt{{{(x+\displaystyle{\frac{1}{x}})}^{2}}}=\left| x+\displaystyle{\frac{1}{x}} \right|$、$\sqrt{{{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}-2}=\sqrt{{{(x-\displaystyle{\frac{1}{x}})}^{2}}}=\left| x-\displaystyle{\frac{1}{x}} \right|$，故原式為$\left| x+\displaystyle{\frac{1}{x}} \right|-\left| x-\displaystyle{\frac{1}{x}} \right|=\displaystyle{\frac{3}{4}}$，又$0<x<1$得$\displaystyle{\frac{1}{x}}>x$$\Rightarrow$$(x+\displaystyle{\frac{1}{x}})-(\displaystyle{\frac{1}{x}}-x)=\displaystyle{\frac{3}{4}}$$\Rightarrow$$x=\displaystyle{\frac{3}{8}}$
   
   
6. 令$A$質量原為$3s$、$B$值量原為$7s$。$50$天後$A$質量為$3s\cdot {{(\displaystyle{\frac{1}{2}})}^{\frac{50}{25}}}=\displaystyle{\frac{3}{4}}s$、$B$質量為$7s\cdot {{(\displaystyle{\frac{1}{2}})}^{\frac{50}{10}}}=\displaystyle{\frac{7}{32}}s$，故$\displaystyle{\frac{3}{4}}s$：$\displaystyle{\frac{7}{32}}s=24$：$7$。
   
   
7. 令${{I}_{50}}$為$50$分貝時的聲音強度。故$50=10\cdot log\displaystyle{\frac{{{I}_{50}}}{{{I}_{0}}}}$$\Rightarrow$${{10}^{5}}=\displaystyle{\frac{{{I}_{50}}}{{{10}^{-12}}}}$$\Rightarrow$${{I}_{50}}={{10}^{-7}}$。若$12$支一起鳴放，可得強度為$12\cdot {{I}_{50}}=12\cdot {{10}^{-7}}=3\cdot {{2}^{2}}\cdot {{10}^{-7}}={{10}^{0.4771}}\cdot {{({{10}^{0.3010}})}^{2}}\cdot {{10}^{-7}}={{10}^{-5.9209}}$，故$12$支一起鳴放的分貝數$=10log\displaystyle{\frac{{{10}^{-5.9209}}}{{{10}^{-12}}}}=10log{{10}^{6.0891}}=60.891$$\approx 60.9$分貝
   
   

肆、計算題

1. (1)  $\displaystyle{\frac{a+3b}{2}}\ge \sqrt{a\cdot 3b}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{a+3b}{2}}\ge \sqrt{3\cdot 18}$$\Rightarrow$$a+3b\ge 6\sqrt{6}$
   (2)  最小值發生於$a=3b$時，即$a=3b=\displaystyle{\frac{6\sqrt{6}}{2}}=3\sqrt{6}$，故$a=3\sqrt{6}$、$b=\sqrt{6}$
   
   
2. 原式可分為$\left| x-3 \right|+3\left| x-6 \right|=15$，故分段討論：$x<3$或$3\le x<6$或$x\ge 6$。若$x<3$則$-(x-3)-3(x-6)=15$故$x=\displaystyle{\frac{3}{2}}$；若$3\le x<6$則$(x-3)-3(x-6)=15$故$x=0$但$0$不在$3\le x<6$之範圍內，不合；若$x\ge 6$則$(x-3)+3(x-6)=15$故$x=9$；由上述討論可知$x=\displaystyle{\frac{3}{2}}$或$9$
   
   
3. $-2.5=-\displaystyle{\frac{5}{2}}log\displaystyle{\frac{{{I}_{moon}}}{{{I}_{0}}}}$$\Rightarrow$$\displaystyle{\frac{{{I}_{moon}}}{{{I}_{0}}}}=10$$\Rightarrow$$10$倍。