[段考] 108下第1次段考-台中-文華高中-高一(題目)

108下第1次段考-台中-文華高中-高一(題目)

範圍：龍騰 第二冊單元1,2,8,9

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一、單選題(每題5分，共10分)

1. 某數列前幾項${{a}_{1}}=1$，${{a}_{2}}=3$，${{a}_{3}}=8$，${{a}_{4}}=19$，${{a}_{5}}=42$。請問此數列滿足下列選項中哪一個遞迴式？
   (1)  ${{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}+1$，$n=1$，$2$，$3$，$4$，$5$
   (2)  ${{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+1$，$n=1$，$2$，$3$，$4$
   (3)  ${{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}+n$，$n=1$，$2$，$3$，$4$，$5$
   (4)  ${{a}_{n-1}}=2{{a}_{n}}+n$，$n=1$，$2$，$3$，$4$
   (5)  ${{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{n}^{2}}$，$n=1$，$2$，$3$，$4$
   
   
2. 某肥皂廠商欲推出一種新產品，再上市前以不同的單價$x$(單位：十元)調查市場的需求量$y$(單位：萬盒)。調查結果如下：

   $x$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
   $y$	$11$	$12$	$10$	$9$	$8$

   請問$x$和$y$的相關係數為
   (1)  $-0.9$
   (2)  $-0.8$
   (3)  $0$
   (4)  $0.8$
   (5)  $0.9$
   

二、多選題(每題至少有一個正確選項，每題5分，每題錯一個選項得3分，錯二個選項得1分，錯三個選項以上得0分，共10分)

3. 設數列$\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle$的前$n$項和${{S}_{n}}=3\times {{2}^{n}}-3$，試問下列選項何者正確？
   (1)  ${{b}_{1}}=3$
   (2)  ${{b}_{2}}=12$
   (3)  ${{b}_{n}}=3\times {{2}^{n-1}}$
   (4)  $\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle$是等比數列
   (5)  ${{b}_{n+1}}>{{b}_{n}}$對任意正整數$n$恆成立
   
   
4. 高一甲班$40$人某次考試數學(橫軸)與英文(縱軸)成績的散布圖如附圖，每個點代表一位學生的成績。若及格標準為$60$分，請問下列哪些選項是正確的？
   
   (1)  每位英文不及格的同學，其數學也不及格
   (2)  由此散布圖得知數學成績與英文成績應為正相關
   (3)  兩科成績總和超過$140$分的同學恰好有$13$位
   (4)  數學的標準差大於英文的標準差
   (5)  若數學與英文成績的相關係數為$r$，迴歸直線的斜率為$m$，則$m>r$
   
   

三、選填題(每題都只有一個最適合的答案，須化至最簡，否則不予給分，每格6分，共72分)

1. 設一等差數列的第$5$項與第$10$項分別是$117$與$77$，則此等差數列的第$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$項開始出現負値。
   
   
2. 以知某等比數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$的每項均為實數，公比為$r$，且滿足$3{{a}_{1}}+2{{a}_{3}}=3$，${{a}_{5}}+5{{a}_{3}}=6$，則${{r}^{2}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 設$n$為正整數，一等差數列的項數為$2n$，若其偶數項的和${{a}_{2}}+{{a}_{4}}+...+{{a}_{2n}}$比奇數項的和${{a}_{1}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{2n-1}}$多了$30$，且最後一項比第一項大$57$，則此等差數列的項數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
4. 設函數$f(x)={{2}^{x}}+{{x}^{2}}$，則$f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9)+f(10)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
5. 設$\vartriangle ABC$是面積$256$平方單位的「直立」正三角形，取三邊中點並兩兩連線，將$\vartriangle ABC$四等分，得到三個「直立」正三角形和一個「倒立」正三角形(如圖(2)知陰影區)。將「倒立」正三角形移走，再將剩下的三個「直立」正三角形，依照前述步驟分割，並移去「倒立」正三角形，則第$4$次移走「倒立」正三角形之後，此$4$次移走的總面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方單位。
   
   
   
6. 所謂的漲跌幅是以某物品當月月底售價相對於前一個月月底售價的百分比變化，例如一月底某物品價格為$100$元，二月底價格為$80$元，則我們以$-20%$來表示它的漲跌幅。最近國際原油油價暴漲暴跌，前$3$個月的漲跌幅為$-60%$、$+100%$、$-50%$，則第$4$個月的漲跌幅應為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$%，才能回復到最初的價格水準。
   
   
7. 某校$400$位同學在上完體育課，跑完$800$公尺熱身之後，同學們互相測量脈搏每分鐘的次數，並將數字整理到最接近$5$的倍數，例如某生脈搏為$114$，則歸到$115$這一組，體育老師做了下列的統計表，對於每分鐘脈搏的次數，試求第$65$百分位數：${{P}_{65}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(次)。

   脈搏次數	$105$	$110$	$115$	$120$	$125$	$130$
   人數	$44$	$76$	$130$	$70$	$65$	$15$

8. 某校舉辦校內數學競賽，有$10$位同學參加，初步計算成績，$10$位同學的算數平均數為$40$分，標準差$3$分。開會討論決定名次時，某甲因為西帶手機違反規則，成績由$20$分改成$0$分，而乙同學因為老師分數加錯，成績由$25$分改成$45$分。更正完後，試求這$10$位同學新的標準差為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$分。
   
   
9. 某機構研究六位成人的情緒商數測驗$X$與職場成就測驗$Y$的分數如下表。

   成人代號	甲	乙	丙	丁	戊	己
   $X$	$5$	$6$	$8$	$9$	$9$	$11$
   $Y$	$5$	$8$	$8$	$12$	$13$	$14$
   $X-\mu_{x}$
   $Y-\mu_{y}$

   (1)  求$Y$對$X$的迴歸方程式$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   (2)  利用迴歸直線預測：當情緒商數測驗為$10$分時，預測值場成就測驗的分數：$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$分。
   
   
10. 已知8位學生的數學成績$(x)$與英文成績$(y)$之平均數${{\mu }_{x}}=65$，${{\mu }_{y=70}}$，標準差${{\sigma }_{x}}=10$，${{\sigma }_{y}}=5$，相關係數$r=0.8$。求英文成績$(y)$對數學成績$(x)$的迴歸直線方程式：$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 設兩變量$x$與$y$的數據如下表。

    $x$	$3$	$4$	$5$	$6$
    $y$	$4$	$6$	$4$	$a$

    已知$y$對$x$的迴歸直線為$y=\displaystyle{\frac{2}{5}}x+\displaystyle{\frac{16}{5}}$，求$a$的値