108下第1次段考-宜蘭-羅東高中-高一(詳解)
範圍:南一 第二冊1-2~2-1



一、單一選擇題
- 若原等比數列為a1,a1r,a1r2,……,r=5
同乘−5⇒新數列:−5a1,−5a1r,−5a1r2,……⇒公比=5
- (a1+2d)+(a1+18d)=22⇒2a1+20d=22⇒a1+10d=11⇒除了(D)中a10+a11+a12=3a3+30d=3⋅(a1+10d)=33以外,其餘皆不確定。
- 因兩數值和誤寫前與誤寫後恰好不變,故平均不變。又誤寫的n個值的平方和比正確的多了(502+1002)−(802+702)=1200,√120048=5,故真正的標準差比誤寫的小不到5,選(B)
二、多重選擇題
- (A) S1=6、S2=11、S3=18⇒a1=6、a2=5、a3=7,非等差
(B) ak=a1rn−1⇒(ak)2=(a1rn−1)2=a12r2n−2=(a12)(r2)n−1為首項a12,公比r2之等比數列
(C) 正確,等差之伸縮平移亦為等差
(D) 正確
(E) 錯誤,不一定
- (A) 錯誤,最低分20+30=50
(B) 正確,伸縮會影響全距
(C) ①平均=36+30=66;②平均=2×36=72;③平均=12×16+50=58,正確
(D) 錯誤,用③案時四分位距變為12倍
(E) 正確,標準差會受伸縮影響
- (A) 正確,B為A之−2倍⇒標準差為|−2|倍
(B) 經觀察,正確
(C) C、D、E三組互為平移關係,正確
(D) 錯誤,標準差恆正
(E) 錯誤,C、D、E最小
- (A) 20,正確
(B) −4+70100=66!,正確
(C) 正確,每項都多一個20×(12)n−1
(D) bn−bn−1=−n2+70100−−(n−1)2+70100=−2n−1100⇒bn=bn−1−2n−1100,正確
(E) A上升,錯誤
- (A) 不一定,例如:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中,1到2之間的數都可以作為第一十分位數
(B) 正確,同四分位數之觀念。
(C) 正確:同四分位數之觀念。
(D) 不一定。例如:「1,2,3,4,5,6,7,8,9,10」與「11,12,13,14,15,16,17,18,19,20」中,1.5與11.5分別為兩數據之十分位數,但1.5+11.5=13並非兩數據合併之後的第一十分位數。
(E) 錯誤,若資料相同,有可能相等。
三、填充題
- a6=a1⋅r5⇒−96=3⋅r5⇒r5=−32⇒r=−2,a4=3⋅(−2)3=−24
- {5=a1+10d17=a1+4d⇒d=−2、a1=25;Sn最大⇒an≥025+(−2)(n−1)≥0⇒n≤272⇒≤13.5⇒n=13
- {a1=3a1(rn−1)r−1=1533a1rn−1=768⇒rn−1=256⇒3(256r−1)r−1=1533⇒256r−1=511r−511⇒255r=510⇒r=2、n=9
- 分群:(11),(12,22),(13,23,33),(14,24,34,44),……,假設有n群完整,故1+2+3+⋯+n≤126⇒n最大=15,又1+2+3+⋯⋯+15=120⇒分母=15+1=16、分子=126−120=6⇒616
- a1=212、a2=232、a3=252……,⇒an=(2n+19)2=4n2+76n+361且此數列末項為492,故n=15,即a15=492
由an=4n2+76n+361⇒
a1=4⋅12+76⋅1+361
a2=4⋅22+76⋅2+361
a3=4⋅32+76⋅3+361
⋮
a15=4⋅152+76⋅15+361
⇒S15=4⋅(12+22+32+⋯⋯+152)+76(1+2+3+⋯⋯+15)+361×15=4⋅15⋅16⋅316+76⋅15⋅162+361×15=4960+9120+5415=19495
- 1−1n2=n2−1n2=n−1n⋅n+1n
⇒a100=(2−12⋅2+12)(3−13⋅3+13)⋯⋯(100−1100⋅100+1100)=12⋅32⋅23⋅43⋅34⋅54⋯⋯⋅99100⋅101100=101200
- a2=1+03−1=13;a3=1+131−13=4383=48=12;a4=1+123−12=3252=35;a5=1+353−35=85125=46=23
⇒可推測an=n−1n+1⇒a100=99101
- (1) μy=30(μx−μx)σx+70=70
(2) σx=σx⋅30σx=30
- 令n數原平均μ⇒和=μn。
若加入36⇒和=μn+36⇒新平均=μn+36n+1=μ+2⇒μn+36=μn+2n+μ+2⇒2n+μ=34;
若去掉20⇒和=μn−20⇒新平均=μn−20n−1=μ−1⇒μn−20=μn−μ−n+1⇒μ+n=21;
解聯立得n=13、μ=8
- 全班平均=30⋅70+20⋅7550=72
(男生平方和)−702⋅30=102⋅30
(女生平方和)−752⋅20=152⋅20
⇒全班平方和=702⋅30+102⋅30+752⋅20+152⋅20=269000
⇒k=267000−722⋅5050=156
- {85−μσ=0.5892−μσ=1.98⇒{0.58σ+μ=851.98σ+μ=92⇒σ=5、μ=82.1;丙標準化分數=75−82.15=−1.42
四、計算證明題
- 當n=1時,1⋅(1+5)=6為6的倍數。
令n=k時,k(k2+5)為6的倍數,即k(k2+5)=6A⇒k3+5k=6A
當n=k+1時,(k+1)[(k+1)2+5]=k3+3k2+8k+6=(k3+5k)+3k2+3k+6=(6A+6)+3k2+3k=6(A+1)+3k(k+1)。其中因k與k+1為相異整數,故k(k+1)必為2的倍數,故3k(k+1)必為62的倍數⇒6(A+1)+3k(k+1)亦為6的倍數。
由數學歸納法原理知,k(k2+5)必為6的倍數。
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