[段考] 108下第1次段考-宜蘭-羅東高中-高一(詳解)

108下第1次段考-宜蘭-羅東高中-高一(詳解)

範圍：南一 第二冊1-2~2-1

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一、單一選擇題

1. 若原等比數列為${{a}_{1}}$，${{a}_{1}}r$，${{a}_{1}}{{r}^{2}}$，……，$r=5$
   同乘$-5$$\Rightarrow $新數列：$-5{{a}_{1}}$，$-5{{a}_{1}}r$，$-5{{a}_{1}}{{r}^{2}}$，……$\Rightarrow $公比$=5$
   
   
2. $({{a}_{1}}+2d)+({{a}_{1}}+18d)=22$$\Rightarrow $$2{{a}_{1}}+20d=22$$\Rightarrow $${{a}_{1}}+10d=11$$\Rightarrow $除了(D)中${{a}_{10}}+{{a}_{11}}+{{a}_{12}}=3{{a}_{3}}+30d=3\cdot ({{a}_{1}}+10d)=33$以外，其餘皆不確定。
   
   
3. 因兩數值和誤寫前與誤寫後恰好不變，故平均不變。又誤寫的$n$個值的平方和比正確的多了$({{50}^{2}}+{{100}^{2}})-({{80}^{2}}+{{70}^{2}})=1200$，$\sqrt{\displaystyle{\displaystyle{\frac{1200}{48}}}}=5$，故真正的標準差比誤寫的小不到5，選(B)
   
   

二、多重選擇題

1. (A)  ${{S}_{1}}=6$、${{S}_{2}}=11$、${{S}_{3}}=18$$\Rightarrow $${{a}_{1}}=6$、${{a}_{2}}=5$、${{a}_{3}}=7$，非等差
   (B)  ${{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{n-1}}$$\Rightarrow $${{({{a}_{k}})}^{2}}={{({{a}_{1}}{{r}^{n-1}})}^{2}}={{a}_{1}}^{2}{{r}^{2n-2}}=({{a}_{1}}^{2}){{({{r}^{2}})}^{n-1}}$為首項${{a}_{1}}^{2}$，公比${{r}^{2}}$之等比數列
   (C)  正確，等差之伸縮平移亦為等差
   (D)  正確
   (E)  錯誤，不一定
   
   
2. (A)  錯誤，最低分$20+30=50$
   (B)  正確，伸縮會影響全距
   (C)  ①平均$=36+30=66$；②平均$=2\times 36=72$；③平均$=\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{2}}}\times 16+50=58$，正確
   (D)  錯誤，用③案時四分位距變為$\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{2}}}$倍
   (E)  正確，標準差會受伸縮影響
   
   
3. (A)  正確，$B$為$A$之$-2$倍$\Rightarrow $標準差為$\left| -2 \right|$倍
   (B)  經觀察，正確
   (C)  $C$、$D$、$E$三組互為平移關係，正確
   (D)  錯誤，標準差恆正
   (E)  錯誤，$C$、$D$、$E$最小
   
   
4. (A)  $20%\times (1+\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{2}}})=30%$，正確
   (B)  $\displaystyle{\frac{-4+70}{100}}=66!$，正確
   (C)  正確，每項都多一個$20\times {{(\displaystyle{\frac{1}{2}})}^{n-1}}$
   (D)  ${{b}_{n}}-{{b}_{n-1}}$$=\displaystyle{\frac{-{{n}^{2}}+70}{100}}-\displaystyle{\frac{-{{(n-1)}^{2}}+70}{100}}$$=-\displaystyle{\frac{2n-1}{100}}$$\Rightarrow $${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}-\displaystyle{\frac{2n-1}{100}}$，正確
   (E)  $A$上升，錯誤
   
   
5. (A)  不一定，例如：$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$中，$1$到$2$之間的數都可以作為第一十分位數
   (B)  正確，同四分位數之觀念。
   (C)  正確：同四分位數之觀念。
   (D)  不一定。例如：「$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$」與「$11$，$12$，$13$，$14$，$15$，$16$，$17$，$18$，$19$，$20$」中，$1.5$與$11.5$分別為兩數據之十分位數，但$1.5+11.5=13$並非兩數據合併之後的第一十分位數。
   (E)  錯誤，若資料相同，有可能相等。
   
   

三、填充題

1. ${{a}_{6}}={{a}_{1}}\cdot {{r}^{5}}$$\Rightarrow $$-96=3\cdot {{r}^{5}}$$\Rightarrow $${{r}^{5}}=-32$$\Rightarrow $$r=-2$，${{a}_{4}}=3\cdot {{(-2)}^{3}}=-24$
   
   
2. $\left\{ \begin{array}{l}
   5={{a}_{1}}+10d \\
   17={{a}_{1}}+4d \\
   \end{array} \right.$$\Rightarrow $$d=-2$、${{a}_{1}}=25$；${{S}_{n}}$最大$\Rightarrow $${{a}_{n}}\ge 0$$25+(-2)(n-1)\ge 0$$\Rightarrow $$n\le \displaystyle{\frac{27}{2}}$$\Rightarrow $$\le 13.5$$\Rightarrow $$n=13$
   
   
3. $\left\{ \begin{array}{l}
   {{a}_{1}}=3 \\
   \displaystyle{\frac{{{a}_{1}}({{r}^{n}}-1)}{r-1}}=1533 \\
   {{a}_{1}}{{r}^{n-1}}=768 \\
   \end{array} \right.$$\Rightarrow $${{r}^{n-1}}=256$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{3(256r-1)}{r-1}}=1533$$\Rightarrow $$256r-1=511r-511$$\Rightarrow $$255r=510$$\Rightarrow $$r=2$、$n=9$
   
   
4. 分群：$(\displaystyle{\frac{1}{1}})$，$(\displaystyle{\frac{1}{2}}$，$\displaystyle{\frac{2}{2}})$，$(\displaystyle{\frac{1}{3}}$，$\displaystyle{\frac{2}{3}}$，$\displaystyle{\frac{3}{3}})$，$(\displaystyle{\frac{1}{4}}$，$\displaystyle{\frac{2}{4}}$，$\displaystyle{\frac{3}{4}}$，$\displaystyle{\frac{4}{4}})$，……，假設有$n$群完整，故$1+2+3+\cdots +n\le 126$$\Rightarrow $$n$最大$=15$，又$1+2+3+\cdots \cdots +15=120$$\Rightarrow $分母$=15+1=16$、分子$=126-120=6$$\Rightarrow $$\displaystyle{\frac{6}{16}}$
   
   
5. ${{a}_{1}}={{21}^{2}}$、${{a}_{2}}={{23}^{2}}$、${{a}_{3}}={{25}^{2}}$……，$\Rightarrow $${{a}_{n}}={{(2n+19)}^{2}}=4{{n}^{2}}+76n+361$且此數列末項為${{49}^{2}}$，故$n=15$，即${{a}_{15}}={{49}^{2}}$
   由${{a}_{n}}=4{{n}^{2}}+76n+361$$\Rightarrow $
   ${{a}_{1}}=4\cdot {{1}^{2}}+76\cdot 1+361$
   ${{a}_{2}}=4\cdot {{2}^{2}}+76\cdot 2+361$
   ${{a}_{3}}=4\cdot {{3}^{2}}+76\cdot 3+361$
   $\vdots $
   ${{a}_{15}}=4\cdot {{15}^{2}}+76\cdot 15+361$
   $\Rightarrow $${{S}_{15}}=4\cdot ({{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots \cdots +{{15}^{2}})+76(1+2+3+\cdots \cdots +15)+361\times 15$$=4\cdot \displaystyle{\frac{15\cdot 16\cdot 31}{6}}+76\cdot \displaystyle{\frac{15\cdot 16}{2}}+361\times 15$$=4960+9120+5415$$=19495$
   
   
6. $1-\displaystyle{\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\displaystyle{\frac{{{n}^{2}}-1}{{{n}^{2}}}}=\displaystyle{\frac{n-1}{n}}\cdot \displaystyle{\frac{n+1}{n}}$
   $\Rightarrow $${{a}_{100}}$$=(\displaystyle{\frac{2-1}{2}}\cdot \displaystyle{\frac{2+1}{2}})(\displaystyle{\frac{3-1}{3}}\cdot \displaystyle{\frac{3+1}{3}})\cdots \cdots (\displaystyle{\frac{100-1}{100}}\cdot \displaystyle{\frac{100+1}{100}})$$=\displaystyle{\frac{1}{2}}\cdot \displaystyle{\frac{3}{2}}\cdot \displaystyle{\frac{2}{3}}\cdot \displaystyle{\frac{4}{3}}\cdot \displaystyle{\frac{3}{4}}\cdot \displaystyle{\frac{5}{4}}\cdots \cdots \cdot \displaystyle{\frac{99}{100}}\cdot \displaystyle{\frac{101}{100}}$$=\displaystyle{\frac{101}{200}}$
   
   
7. ${{a}_{2}}=\displaystyle{\frac{1+0}{3-1}}=\displaystyle{\frac{1}{3}}$；${{a}_{3}}=\displaystyle{\frac{1+\displaystyle{\frac{1}{3}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{3}}}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{4}{3}}}{\displaystyle{\frac{8}{3}}}}=\displaystyle{\frac{4}{8}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}$；${{a}_{4}}=\displaystyle{\frac{1+\displaystyle{\frac{1}{2}}}{3-\displaystyle{\frac{1}{2}}}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{3}{2}}}{\displaystyle{\frac{5}{2}}}}=\displaystyle{\frac{3}{5}}$；${{a}_{5}}=\displaystyle{\frac{1+\displaystyle{\frac{3}{5}}}{3-\displaystyle{\frac{3}{5}}}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{8}{5}}}{\displaystyle{\frac{12}{5}}}}=\displaystyle{\frac{4}{6}}=\displaystyle{\frac{2}{3}}$
   $\Rightarrow $可推測${{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{n-1}{n+1}}$$\Rightarrow $${{a}_{100}}=\displaystyle{\frac{99}{101}}$
   
   
8. (1)  ${{\mu }_{y}}=\displaystyle{\frac{30({{\mu }_{x}}-{{\mu }_{x}})}{{{\sigma }_{x}}}}+70=70$
   (2)  ${{\sigma }_{x}}=\displaystyle{\frac{{{\sigma }_{x}}\cdot 30}{{{\sigma }_{x}}}}=30$
   
   
9. 令$n$數原平均$\mu $$\Rightarrow $和$=\mu n$。
   若加入$36$$\Rightarrow $和$=\mu n+36$$\Rightarrow $新平均$=\displaystyle{\frac{\mu n+36}{n+1}}=\mu +2$$\Rightarrow $$\mu n+36=\mu n+2n+\mu +2$$\Rightarrow $$2n+\mu =34$；
   若去掉$20$$\Rightarrow $和$=\mu n-20$$\Rightarrow $新平均$=\displaystyle{\frac{\mu n-20}{n-1}}=\mu -1$$\Rightarrow $$\mu n-20=\mu n-\mu -n+1$$\Rightarrow $$\mu +n=21$；
   解聯立得$n=13$、$\mu =8$
   
   
10. 全班平均$=\displaystyle{\frac{30\cdot 70+20\cdot 75}{50}}=72$
    $($男生平方和$)-{{70}^{2}}\cdot 30={{10}^{2}}\cdot 30$
    $($女生平方和$)-{{75}^{2}}\cdot 20={{15}^{2}}\cdot 20$
    $\Rightarrow $全班平方和$={{70}^{2}}\cdot 30+{{10}^{2}}\cdot 30+{{75}^{2}}\cdot 20+{{15}^{2}}\cdot 20=269000$
    $\Rightarrow $$k=\displaystyle{\frac{267000-{{72}^{2}}\cdot 50}{50}}=156$
    
    
11. $\left\{ \begin{array}{l}
    \displaystyle{\frac{85-\mu }{\sigma }}=0.58 \\
    \displaystyle{\frac{92-\mu }{\sigma }}=1.98 \\
    \end{array} \right.$$\Rightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}
    0.58\sigma +\mu =85 \\
    1.98\sigma +\mu =92 \\
    \end{array} \right.$$\Rightarrow $$\sigma =5$、$\mu =82.1$；丙標準化分數$=\displaystyle{\frac{75-82.1}{5}}=-1.42$
    
    

四、計算證明題

1. 當$n=1$時，$1\cdot (1+5)=6$為$6$的倍數。
   令$n=k$時，$k({{k}^{2}}+5)$為$6$的倍數，即$k({{k}^{2}}+5)=6A$$\Rightarrow $${{k}^{3}}+5k=6A$
   當$n=k+1$時，$(k+1)[{{(k+1)}^{2}}+5]={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+8k+6$$=({{k}^{3}}+5k)+3{{k}^{2}}+3k+6$$=(6A+6)+3{{k}^{2}}+3k=6(A+1)+3k(k+1)$。其中因$k$與$k+1$為相異整數，故$k(k+1)$必為$2$的倍數，故$3k(k+1)$必為$6$2的倍數$\Rightarrow $$6(A+1)+3k(k+1)$亦為$6$的倍數。
   由數學歸納法原理知，$k({{k}^{2}}+5)$必為$6$的倍數。