[段考] 108下第1次段考-宜蘭-羅東高中-高一(題目)

108下第1次段考-宜蘭-羅東高中-高一(題目)

範圍：第二冊 南一1-1~2-1

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一、單一選擇題(每題3分，共9分)

1. 有一等比數列，其公比為$5$，若各項同時乘$-5$，則所形成新的等比數列之公比為？
   (A)  $-5$
   (B)  $5$
   (C)  $0$
   (D)  $10$
   (E)  $-25$
   
   
2. 一等差數列，已知${{a}_{3}}+{{a}_{19}}=22$，則下列何者必定正確？
   (A)  ${{a}_{1}}=1$
   (B)  ${{a}_{3}}+{{a}_{15}}=20$
   (C)  ${{a}_{19}}=190$
   (D)  ${{a}_{10}}+{{a}_{11}}+{{a}_{12}}=33$
   (E)  ${{a}_{11}}+{{a}_{12}}+{{a}_{13}}=36$
   
   
3. 某班有$48$名學生，某次數學考試之成績，經計算得算數平均數為$70$，標準差為$\sigma $分，後來發現成績登錄有誤，某甲得$80$分卻誤計為$50$分，某乙得$70$分卻誤計為$100$分，更正後重算得標準差為${{\sigma }_{1}}$分，試問${{\sigma }_{1}}$與$\sigma $之間，有下列哪一大小關係？
   (A)  ${{\sigma }_{1}}<\sigma -5$
   (B)  $\sigma -5\le {{\sigma }_{1}}<\sigma $
   (C)  ${{\sigma }_{1}}=\sigma $
   (D)  $\sigma <{{\sigma }_{1}}\le \sigma +5$
   (E)  $\sigma +5<{{\sigma }_{1}}$
   
   

二、多重選擇題(每題6分，共30分。全對得6分，恰錯一個選項得4分，恰錯兩個選項得2分，錯三個選項得2分，錯三個選項以上得0分，無作答者0分。)

1. 下列敘述何項正確？
   (A)  若${{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}={{n}^{2}}+2n+3$，則〈${{a}_{n}}$〉為等差數列
   (B)  若〈${{a}_{k}}$〉為等比數列，則〈${{a}_{k}}^{2}$〉為等比數列
   (C)  若${{a}_{k}}=5k+3$，則〈$3{{a}_{k}}+2$〉為等差數列
   (D)  若〈${{a}_{k}}$〉、〈${{b}_{k}}$〉為等差數列，則〈${{a}_{k}}-2{{b}_{k}}$〉為等差數列
   (E)  若〈${{a}_{k}}$〉、〈${{b}_{k}}$〉為等比數列，則〈${{a}_{k}}+{{b}_{k}}$〉為等比數列
   
   
2. 某次測驗成績的算數平均數是$36$分，標準差是$4$分，最高分為$50$分，最低分為$20$分。因成績太差，老師打算以下列其中一種方式來調整成績：
   (1)  ${{y}_{1}}=x+30$
   (2)  ${{y}_{2}}=2x$
   (3)  ${{y}_{3}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}x+50$
   其中$x$為原始成績，${{y}_{1}}$，${{y}_{2}}$，${{y}_{3}}$為調整後的成績，則下列敘述何者正確？
   (A)  欲使所有同學都及格，要採用(1)案
   (B)  欲使所有同學的成績集中，要採用(3)
   (C)  欲使算數平均數最高，要採用(2)案
   (D)  欲使四分位差最小，要採用(1)案
   (E)  欲使標準差最大，要採用(2)案
   
   
3. 下列$6$組資料(每組有$10$筆)
   $A$：$1$，$1$，$1$，$1$，$1$，$-5$，$-5$，$-5$，$-5$，$-5$
   $B$：$-2$，$-2$，$-2$，$-2$，$10$，$10$，$10$，$10$，$10$
   $C$：$3$，$3$，$3$，$4$，$4$，$4$，$4$，$5$，$5$，$5$
   $D$：$4$，$4$，$4$，$5$，$5$，$5$，$5$，$6$，$6$，$6$
   $E$：$-4$，$-4$，$-4$，$-5$，$-5$，$-5$，$-5$，$-6$，$-6$，$-6$
   $F$：$1$，$1$，$1$，$1$，$1$，$-1$，$-1$，$-1$，$-1$，$-1$
   請問下列敘述哪些選項是正確的？
   (A)  $B$的標準差為$A$的標準差的$2$倍
   (B)  $B$的標準差最大
   (C)  $C$、$D$、$E$的標準差皆相等
   (D)  $E$的標準差小於零
   (E)  $F$的標準差最小
   
   
4. 市場上有兩種電玩遊戲$A$、$B$，假設$A$電玩遊戲，$n$期後市占率為$20%\times \left[ 1+\displaystyle{\frac{1}{2}}+{{\left( \displaystyle{\frac{1}{2}} \right)}^{2}}+...+\left. {{\left( \displaystyle{\frac{1}{2}} \right)}^{n-1}} \right] \right.$；而$B$電玩遊戲，$n$期後市占率為$\displaystyle{\frac{-{{n}^{2}}+70}{100}}$，試問下列敘述哪些選項是正確的？
   (A)  $A$電玩遊戲在第二期的市占率為$30%$
   (B)  $B$電玩遊戲在第二期的市占率為$66%$
   (C)  若$A$電玩遊戲在第$n$期市占率為${{a}_{n}}$，則遞迴關係為${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+20%\times {{\left( \displaystyle{\frac{1}{2}} \right)}^{n-1}}$$(n\ge 2)$
   (D)  若$B$電玩遊戲在第$n$期市占率為${{b}_{n}}$，則遞迴關係為${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}-\displaystyle{\frac{2n-1}{100}}$$(n\ge 2)$
   (E)  $A$電玩遊戲與$B$電玩遊戲的市占率隨著時間都會呈現下降趨勢
   
   
5. 定義一組資料的第一十分位數${{w}_{1}}$為「至少有(含)$\displaystyle{\frac{1}{10}}$的資料不大於${{w}_{1}}$，且至少有(含)$\displaystyle{\frac{9}{10}}$的資料不小於${{w}_{1}}$」，試問下列敘述何者為真?
   (A)  任一組資料都恰有一個第一十分位數
   (B)  若將原資料每個數據分別乘以$5$，則原資料的第一十分位數乘以$5$也會是新資料的第一十分位數
   (C)  若將原資料每個數據分別加$5$，則原資料的第一十分位數加$5$也是此新資料的第一十分位數
   (D)  若有$A$，$B$兩組資料其第一十分位數分別為${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，則${{w}_{A}}+{{w}_{B}}$也是此兩組資料合併成一組後的第一十分位數
   (E)  任一組資料的第一十分位數必小於該組資料之算術平均數
   
   

三、填充題(每格4分，共52分)

1. 若一等比數列${{a}_{1}}=3$，${{a}_{6}}=-96$，求${{a}_{4}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
2. 設等差數列中，${{a}_{5}}=17$，${{a}_{11}}=5$，若當${{S}_{n}}$之值最大時，求此時$n$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
3. 已知一等比數列之首項為$3$，末項為$768$，總和為$1533$，則此數列之項數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
4. 在數列$\displaystyle{\frac{1}{1}}$，$\displaystyle{\frac{1}{2}}$，$\displaystyle{\frac{2}{2}}$，$\displaystyle{\frac{1}{3}}$，$\displaystyle{\frac{2}{3}}$，$\displaystyle{\frac{3}{3}}$，$\displaystyle{\frac{1}{4}}$，$\displaystyle{\frac{2}{4}}$，$\displaystyle{\frac{3}{4}}$，$\displaystyle{\frac{4}{4}}$，${....}$中，第$126$項是 (不可約分)
   
   
5. 求級數${{21}^{2}}+{{23}^{2}}+{{25}^{2}}+...+{{49}^{2}}$之和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
6. 設${{a}_{n}}=(1-\displaystyle{\frac{1}{4}})\cdot (1-\displaystyle{\frac{1}{9}})\cdot (1-\displaystyle{\frac{1}{16}})\cdot ...\cdot (1-\displaystyle{\frac{1}{{{n}^{2}}}})$，試求${{a}_{100}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
7. 設數列$\left\{ \begin{array}{l}
   {{a}_{1}}=0 \\
   {{a}_{n}}=\displaystyle{\frac{1+{{a}_{n-1}}}{3-{{a}_{n-1}}}} \\
   \end{array} \right.(n\ge 2)$，試求${{a}_{100}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
8. 一組資料$X$之算數平均數${{\mu }_{x}}$，標準差${{\sigma }_{x}}$，令$Y=\displaystyle{\frac{30(X-{{\mu }_{x}})}{{{\sigma }_{x}}}}+70$，求資料$Y$之：
   (1)  算數平均數${{\mu }_{y}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   (2)  標準差${{\sigma }_{y}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
9. 有$n$個整數，加入一個數$36$後，其平均數多$2$；但若去掉其中一個數$20$後，其平均數少$1$，則$n$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
10. 從全校抽出男生$30$人與女生$20$人，男生數學科的算數平均數為$70$分，標準差$\delta $為$10$，女生數學科的算數平均數為$75$分，標準差$\delta $為$15$，若此$50$人的標準差為$\sqrt{k}$，求$k=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    
11. 設某次數學段考中，高一某班，甲、乙、丙三人的成績分別為$85$、$92$、$75$，在標準化之下，甲、乙的成績分別為$0.58$、$1.98$，試求這般數學段考成績的：
    (1)  標準差為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$ (2)  丙的標準化成績為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
    
    

四、計算證明題(9分)

1. 設$n\in N$，利用數學歸納法原理證明：$n({{n}^{2}}+5)$恆為$6$的倍數。