[段考] 108下第1次段考-新竹-新竹高中-高一(題目)

108下第1次段考-新竹-新竹高中-高一(題目)

範圍：第二冊 龍騰1,2,8,9

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一、單選題(5分)

1. 若一數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$定義為：$\left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}=1 \\ {{a}_{n}}=7{{a}_{n-1}}+3,n\ge 2 \\ \end{array} \right.$，則${{a}_{n}}$的個位數不可能出現下列哪個數字？
   (1)  $0$
   (2)  $1$
   (3)  $2$
   (4)  $3$
   (5)  $4$
   
   

二、多選題：每題9分，錯1個選項得6分，錯2個選項得3分，錯3個選項以上得0分。共27分。

1. 將正偶數以括號分群如下：$(2)$，$(4$，$6)$，$(8$，${10}$，$12)$，$(14$，${16}$，${18}$，$20)$，$\cdots$，$({{a}_{n}}$，$\cdots$，${{b}_{n}})$，…其中第$n$群第$1$個數為${{a}_{n}}$，最後$1$個數為${{b}_{n}}$，且第$n$群數字總和為${{S}_{n}}$，下列敘述哪些正確？
   (1)  ${{a}_{10}}=92$
   (2)  ${{b}_{10}}=110$
   (3)  ${{a}_{15}}=210$
   (4)  ${{b}_{15}}=240$
   (5)  ${{S}_{n}}=2{{n}^{3}}-6{{n}^{2}}+12n-6$，對所有正整數$n$皆成立
   
   
2. 下列敘述哪些正確？
   (1)  某次考試共有${480}$人參加，而成績的第${24}$百分位數與第${25}$百分位數都是${8}$級分，則這${480}$人中恰有${5}$人為${8}$級分
   (2)  某高中考取大學的錄取率這${5}$年來分別成長$10\%$，$10\%$，$0\%$，$21\%$，$10\%$，則此高中這${5}$年來考取大學的平均成長率為$10%$
   (3)  將某班學生分為${A}$，${B}$兩組(成員不重複)，其中$A$組成績標準差${{\sigma }_{A}}$分，中位數為${{m}_{A}}$；$B$組成績標準差${{\sigma }_{B}}$分，中位數為${{m}_{B}}$。設全班的標準差$\sigma$分，中位數為$m$。已知${{\sigma }_{A}}\le {{\sigma }_{B}}$、${{m}_{A}}\le {{m}_{B}}$，則${{\sigma }_{A}}\le \sigma \le {{\sigma }_{B}}$必成立
   (4)  承(3)，${{m}_{A}}\le m\le {{m}_{B}}$必成立
   (5)  設${6}$個整數的最小值、最大值分別為${1}$和${6}$，則當此${6}$數為${1}$，${2}$，${3}$，${4}$，${5}$，${6}$時標準差有最大值
   
   
3. 某考試每個人成績為${{x}_{i}}$，設${{x}_{i}}$的算術平均數${{\mu }_{x}}$為${36}$分，標準差${{\sigma }_{x}}$為${9}$分。現在想要幫每個人都加分，分別採用以下${3}$個方案(每種方案加分後都沒人超過${100}$分)，則下列敘述哪些正確？
   方案一：每個人都以${{y}_{i}}=\displaystyle{\frac{3}{2}}{{x}_{i}}+6$方式加分
   方案二：每個人都以${{z}_{i}}=10\sqrt{{{x}_{i}}}$方式加分
   方案三：每個人都以${{w}_{i}}={{x}_{i}}+24$方式加分
   (1)  每一種方案加分後的算術平均皆為${60}$分
   (2)  方案二加分後的標準差為${30}$分
   (3)  假設方案一、方案三加分後的標準差分別為${{\sigma }_{y}}$，${{\sigma }_{w}}$，則${{\sigma }_{y}}>{{\sigma }_{w}}$
   (4)  設方案一加分後成績與原成績相關係數為${{r}_{xy}}$，方案三加分後成績與原成績相關係數為${{r}_{xw}}$，則${{r}_{xy}}={{r}_{xw}}$
   (5)  方案一$y$對$x$的迴歸直線，和方案三$w$對$x$的迴歸直線相同
   
   

三、填充題：每題6分，共48分

1. 用黑、白兩種顏色的正方形地磚，依右圖中的規律拼成若干個圖形。則拼第${20}$個圖形時，需用到幾塊白色地磚？
   
   
   
   
   
2. 數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$前$n$項的和${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}={{2}^{n+1}}\cdot \left( n-2 \right)$，對所有正整數$n$皆成立。求$\displaystyle{\frac{{{a}_{2}}}{1}}+\displaystyle{\frac{{{a}_{3}}}{2}}+\cdots +\displaystyle{\frac{{{a}_{k+1}}}{k}}+\cdots +\displaystyle{\frac{{{a}_{9}}}{8}}=$？
   
   
3. 設有${4}$筆數據${({{x}_{i}}}$，${{{y}_{i}})}$依次為${(1}$，${2)}$、${(a}$，${3)}$、${(b}$，${1)}$、${(5}$，${c)}$，${i=1}$，${\cdots }$，${4}$。若數據$a$和$b$的算術平均數等於${3}$，且${y}$對$x$的迴歸直線為$y=2x-2$，求實數$c=$？
   
   
4. 求級數$\displaystyle{\frac{3}{{{1}^{2}}}}+\displaystyle{\frac{5}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}+\displaystyle{\frac{7}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}+\cdots +\displaystyle{\frac{2n+1}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+\cdots +{{n}^{2}}}}+\cdots +\displaystyle{\frac{41}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{20}^{2}}}}=$？
   
   
5. 有一組數據如下：${1}$，${2}$，${2}$，${3}$，${3}$，${3}$，${4}$，${\cdots }$，${4}$，${\cdots }$，${n}$，${\cdots }$，${n}$(其中有${4}$個${4}$，…，$k$個$k$，…，$n$個$n$)。已知這組數據的算術平均數是$11$，求其標準差為何？
   
   
6. 某班有學生$41$人，某次考試有一學生缺考，統計$40$人成績的平均分數是$50$分、標準差為${10}$分。缺考的學生必須補考，但規定補考的成績最多為${60}$分，最少為${0}$分。假設補考分數是$x$分的時候，${41}$位學生成績的標準差是$\sigma \left( x \right)$分。則當$x=a$時，$\sigma \left( x \right)$有最小值$b$，求數對$(a$，$b)=$？
   
   
7. 右圖$5\times 5$方陣已填入${4}$個已知數，在剩下的${21}$個空格中，每格放入一個正整數，使得每一橫列和每一直行都成為等差數列，求出星號(${*}$)空格填入的數字？

   			${*}$
   	${74}$
   				${186}$
   		${103}$
   ${0}$

   
   
   
8. 在下圖(一)、(二)、(三)中，所有大大小小的三角形總個數分別為${{a}_{1}}=5$、${{a}_{2}}=17$、${{a}_{3}}=53$。依此規律，求圖(五)的所有大小的三角形總個數${{a}_{5}}=$？
   圖(一)
   圖(二)圖(三)
   
   
   

四、計算證明題：第1題8分，第2題12分，共20分

1. 試用數學歸納法證明：對所有正整數$n$，${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+\cdots +{{n}^{3}}={{\left[ \displaystyle{\frac{n\left( n+1 \right)}{2}} \right]}^{2}}$恆成立。(8分)
   
   
2. 測量五位同學的身高($x$)與體重($y$)，結果如下表，試求：
   身高與體重的相關係數。(5分)
   體重對身高的迴歸直線方程式。(5分)
   利用迴歸直線，預測當身高是${173}$公分時，體重約為多少公斤？(2分)
   

   身高(公分)	${160}$	${164}$	${168}$	${172}$	${176}$
   體重(公斤)	${48}$	${46}$	${50}$	${54}$	${52}$