108下第1次段考-台中-明道高中-高一(題目)
範圍：第二冊 翰林2-1~3-1
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第一部分：基礎題
一、填充題：共15格，每格4分
- 在等差數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $中，已知${{a}_{2}}=7$，${{a}_{8}}=31$，若${{a}_{n}}=139$，則$n=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知等比級數$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $的公比為正數，且${{a}_{3}}=27$，${{a}_{7}}=\displaystyle{\frac{1}{3}}$，則${{a}_{9}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 在$98$與$202$之間插入$100$個數使其成一等差數列，則插入的$100$個數字的總和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知等比數列的首項為$3$，公比為$-2$，且其前$n$項之和為$2049$，則$n$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 若等差數列的首項為$100$，公差為$-6$，前$n$項和為${{S}_{n}}$，則${{S}_{n}}$的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知一等比級數的前$10$項之和為前$5$項之和的$33$倍，則此數列的公比為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 某班共有$50$人，某次月考全班數學成績的算術平均數為$70$分，標準差為$8$分，但成績結算後才發現有兩位學生的成績登記錯誤，有一位同學成績$80$分卻誤登為$50$分，另一位同學成績$90$分卻誤登為$70$分，若這兩位同學的成績經過更正後，請問：
(1) 新的算術平均數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$；
(2) 新的標準差為$\sqrt{x}$，則$x$=$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 因應新冠肺炎全班每日需測量額溫，但班上的額溫計只能以華氏溫度檢測。某日經檢測後，全班同學額溫的算術平均數為$97.7$度，標準差為華氏$2.7$度，則轉換成攝氏溫度後，其算術平均數為攝氏$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$度，標準差為攝氏$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$度。(華氏溫度=$\displaystyle{\frac{9}{5}}\times $攝氏溫度$+32$)
- 已知在$2$、$x$、$y$、$42$四個數字中，前三個數字成等比，後三個數字成等差，則$x+y=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 一等差數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $的前$5$項之和為$50$，前$10$項之和為$60$，則前$20$項之和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 小明的媽媽在小明上高中後開始為他準備買房資金，媽媽眼光獨到，利用一支年利率為$8%$的資金投資，小明媽媽在每年的年初存入$100$萬元，則到第$10$年的年底時，小明的買房基金有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$元。(${{1.08}^{10}}\approx 2.16$)
- 遞迴數列$\left\{ \begin{array}{l}
{{a}_{1}}=2 \\
{{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+3n \\
\end{array} \right.$，$n\ge 2$，則${{a}_{20}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 有一級數$1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+\cdots $，照此規律，其前$80$項的和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
二、多重選擇題：共4分，每題5分，錯1個選項得3分，錯2個選項得1分，錯3個或3個以上選項不給分。
- 某公司的員工老張和老李在去年的月薪固定且相同。自今年一月起，公司決定以該月的業績高低來決定月底發放的薪資。老張因表現優異，一、二、三月每月加薪$20%$，而四、五、六月表現不佳，每月減薪$20%$；老李在一、二、三月表現不佳，每月減薪$20%$，而四、五、六月表現優異，每月加薪$20%$，則下六哪些選項為正確?
(1) 老張今年$6$個月來所領的總薪資比老李今年$6$個月來所領的薪資多
(2) 老張$6$月分所領的薪資高於老李$6$月分所領的薪資
(3) 老張$6$月分所領的薪資和老李$6$月分所領的薪資相同
(4) 老張$6$月分所領的月薪與去年的月薪相等
(5) 老李$6$月分所領的月薪比去年的月薪低
- 若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $、$\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle $為兩數列，其中$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $為等差數列，且${{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}$，則下列哪些選項為正確?
(1) $\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle $為等比數列
(2) $\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle $的公比大於$0$
(3) $\left\langle {{a}_{n}}+n \right\rangle $為等差數列
(4) 若$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $的公差大於$1$，則$\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle $的公比大於$2$
(5) 若${{a}_{3}}+{{a}_{5}}=8$，則${{b}_{4}}=16$
- 下表為某地區的每個家庭中孩子個數的調查表，若每個家庭孩子個數的中位數為$2$，則$x$可以為下列何者?
(1) $1$家庭孩子人數 次數 $0$ $x$ $1$ $3$ $2$ $2$ $3$ $5$ $4$ $2$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$
- 有一等差數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $共有$101$項，且此$101$項的總和為$0$，若${{a}_{21}}=21$，則下列哪些選項為正確?
(1) ${{a}_{22}}=22$
(2) ${{a}_{82}}=-21$
(3) ${{a}_{1}}>0$
(4) ${{a}_{30}}+{{a}_{72}}=0$
(5) ${{a}_{40}}+{{a}_{60}}>0$
第二部分：進階題
一、填充題：共3格，每格4分。
- 數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle $中，已知${{a}_{1}}=20$，${{a}_{8}}=100$，且當$n\ge 3$時，${{a}_{n}}$為此數列前$n$項的算術平均數，則${{a}_{2}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 一數列依照下列順序依序出現：$1$，$2$，$1$，$2$，$2$，$1$，$2$，$2$，$2$，$1$，$2$，$2$，$2$，$2$，$1$。以$1$分成多個區塊，而第$n$個區塊中有$n$個$2$，則此數列的前$500$項之和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 有一數列為$12$，$4$，$7$，$4$，$6$，$4$，$x$，若將此數列之算術平均數、中位數、眾數依照大小次序排列，恰好形成一公差大於$0$得等差數列，則所有可能的$x$之總和為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
二、計算證明題
- 觀察遞迴關係式$\left\{ \begin{array}{l}
{{a}_{1}}=3 \\
{{a}_{n}}=3{{a}_{n-1}}+2 \\
\end{array} \right.$，$n\ge 2$，並回答下列問題：
(1) 試求：${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，${{a}_{4}}$(各$1$分)
(2) 承(1)，猜測${{a}_{n}}$，並以數學歸納法證明你的結論。($5$分)
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