[段考] 108下第1次段考-台北-成功高中-高一(題目)

108下第1次段考-台北-成功高中-高一(題目)

範圍：第二冊 龍騰1,2,8,9

答案 詳解　(※索取各種題目檔案請來信索取。)

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注意1：答案卷(卡)未於規定位置內確實填寫班級、座號、姓名者成績扣10分。
注意2：手寫卷除特別規定外、一律使用藍色、黑色筆書寫，否則該項成績以零分計算。

一、多選題(12%)(全對得6分，錯一個選項得4分，錯兩個得2分，錯三個以上得0分)

1. 若一數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$，前$n$項總和為${{S}_{n}}={{n}^{2}}-11n$，其中$n$為自然數，下列敘述何者正確?
   (A)  ${{a}_{1}}=-10$
   (B)  ${{a}_{n}}=-2n-12$，$n$為自然數
   (C)  $\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$是公差為$2$的等差數列
   (D)  ${{S}_{n}}$有最小值時，$n=5$或$6$
   (E)  $\left\langle {{a}_{n}}^{2} \right\rangle$為等差數列
   
   
2. 為了分析溫度$x$(${}^\circ C$)與飲料銷售量$y$(杯)是否有線性關係?小平與小安各自蒐集了$100$筆二維數據$({{x}_{i}}$，${{y}_{i}})$，$i=1$，$2$，$3$，…$100$。假設兩人分析的數據如下表，則下列何者正確?

   	小平	小安
   $X$與$Y$的相關係數	${r_1}$	${r_2}$
   $X$與$Y$的迴歸直線斜率	${m_1}$	${m_2}$
   ${{\mu }_{x}}$	${30}$	${35}$
   ${{\sigma }_{x}}$	${1}$	${2}$
   ${{\mu }_{y}}$	${60}$	${70}$
   ${{\sigma }_{y}}$	${5}$	${5}$

   (A)  若${{r}_{1}}>{{r}_{2}}$，則小平分析的二維數據相關程度較高
   (B)  若小平分析二維數據時，先將數對$({{x}_{i}}$，${{y}_{i}})$標準化，則推算出來的迴歸直線斜率$m={{r}_{1}}$
   (C)  若${{m}_{2}}=2$，小安可估計氣溫$38{}^\circ C$時，賣出$76$杯飲料
   (D)  ${{m}_{1}}$有可能等於$6$
   (E)  小安的迴歸直線必過$(35$，$70)$
   
   

二、填充題(78%：第1-9題，每格6分；第10題的每小題分別為2，2，1，1分)

1. 試計算下列各級數的總和：
   (1)  ${{10}^{3}}+{{11}^{3}}+{{12}^{3}}+\cdots +{{20}^{3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  $\displaystyle{\frac{1}{1\cdot 2}}+\displaystyle{\frac{1}{2\cdot 3}}+\displaystyle{\frac{1}{3\cdot 4}}+\displaystyle{\frac{1}{4\cdot 5}}+\cdots +\displaystyle{\frac{1}{18\cdot 19}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 有三數成等比，且公比$r\ge 1$，其和為$19$，若將此三數分別加上$1$，$4$，$6$後即成等差數列，則此三數最大兩數的積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 將兩個等差數列$\left\langle 5 \right.$，$12$，$19$，$26$，$33$，$\left. \cdots \right\rangle$，$\left\langle 7 \right.$，$18$，$29$，$40$，$51$，$\left. \cdots \right\rangle$中相同的數，依序取出形成一個新數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$，試求${{a}_{11}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 阿呆老師對兩個班學生實施測驗，得結果如下：

   	人數	算術平均數(分)	標準差
   甲班	$30$	$60$	$10$
   乙班	$20$	$70$	$5$

   現將學生共$50$人的成績合併計算，則
   (1)  合併後的算術平均數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$分
   (2)  合併後的標準差為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$分。(以根號表示即可，但必須化簡)
   (3)  若甲班阿成$64$分，乙班阿芬$73$分，在各自班上標準化後，誰的成績比較好?
   
   
5. 有$20$個數據$2$，$5$，$6$，$6$，$6$，$7$，${8}$，${11}$，${18}$，${24}$，${30}$，${33}$，${44}$，${51}$，${59}$，${60}$，${65}$，${70}$，${75}$，${80}$，已知中位數為$a$，第$36$百分位數為$b$，眾數為$c$，求$a+b+c=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 有兩變數$({{x}_{i}}$，${{y}_{i}})$，$i=1$，$2$，……，$n$，已知$x$與$y$的相關係數為$0.8$，若$s=2x+4$且$t=-5y-1$，求$t$與$s$的相關係數$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 有一等比數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$，前$n$項的和為${{S}_{n}}$，已知${{S}_{10}}=8$，${{S}_{20}}=24$，則${{S}_{40}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 嚴重特殊傳染性肺炎(英語：Coronavirus disease 2019，縮寫：${COVID-19}$)疫情，新冠肺炎，台灣又稱武漢肺炎；是由嚴重急性呼吸道症候群冠狀病毒${2}$型(${SARS-CoV-2}$)所引發的全球大流行疫情。疫情在${2019}$年底首次爆發於大陸武漢市，隨後在$2020$年擴散至全球多國。截至${3}$月${21}$日，疫情已造成全球${180}$多個國家和地區超過${27.5}$萬名確診個案，導致超過${1}$萬${1}$千名患者死亡。事後的資料統計認為，首宗感染個案發病時間是${2019}$年${11}$月${17}$日，透過飛沫傳染極為快速，${2020}$年已經影響全球，人類的健康與生存，乃至於經濟、民生物資造成極大衝擊；尤其在口罩的需求上，更加明顯。台灣${2020}$年的寒假各大專院校宣佈延後開學，中小學也玻天荒延後開學至${2/25}$日。台灣政府對於疫情的防範做出極大努力，雖在初期擴散的速度上得到緩和的控制，但在${3/18}$激增${23}$人至${100}$名確診，隔天已達${108}$名確診，至${3/20}$又暴增${27}$位，在${3/21}$當天境外移入，又新增${12}$女${6}$男確診。在防疫的路上又造成新的恐慌，很多人開始搶購民生物資，因此，政府信心喊話，安撫人民物資一定夠，請大家不要搶購囤積物資。人民十分擔心疫情的傳播速度，如果利用數學的角度來計算，由上述資料算出${3/19}$、${3/20}$、${3/21}$這三天確診人數的平均成長率為$r$，可以對傳播的狀況有實際的了解，更可以讓大家知道防疫的重要性，不共飲、不共食，勤洗手，戴口罩，保護自己同時也保護家人和朋友。請問$r=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。($\sqrt[3]{1.43}\approx 1.13$，$\sqrt[3]{1.53}\approx 1.15$，$\sqrt[3]{1.63}\approx 1.16$，請利用這些資料計算$r$值，並以小數表示)(祝大家身體健康，考試順利)
   
   
9. 阿華進入高中後自主學習計畫：自${108}$年${9}$月起，每月${1}$日存入銀行${1000}$元，月利率$0.5%$，每月複利計息；請問至${111}$年指考${7}$月${1}$日前(${7}$月不再存款)結算為止。阿華的自主學習計畫成功後，在他高中畢業時至少擁有${a(t-1)}$元，其中$t={{1.005}^{34}}$，則$a=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
10. 《周易》素來有群經之首，經中之王之稱，影響華人世界極為深遠，其中陰爻⚋與陽爻⚊為主要組成元素。故《繫辭傳》云：「易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。」其中兩儀即指陰爻與陽爻，八卦指乾☰，兌☱，離☲，震☳，巽☴，坎☵，艮☶，坤☷等八卦為三爻卦，又稱經卦，亦由陰陽爻所組成。而《周易》所稱六十四卦始乾䷀終未濟䷿，指的是由八卦任取兩卦上下重疊而成的六爻卦，此六十四卦的六爻卦又稱別卦。在六十四卦中各卦皆有吉有凶或悔吝休咎，歷來受到易學家推崇的一卦為謙卦䷎，其六爻皆吉祥，此乃謙和之德為立身行道，為人處世之根本。今若由下而上依照(陰陽陽陰)兩次，(陽陰陰陽)兩次的順序，重複此步驟來排列，排到三百八十四爻滿為止。再由下往上三爻取一卦，則：
    (1)  所取的三爻卦中，八個經卦共出現過幾個(重複出現的只算一次即可)$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(2%)
    (2)  八卦出現次數的算術平均數為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(2%)
    (3)  八卦出現次數的標準差為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(1%)(以根號表示即可，但必須化簡)
    (4)  若由上而下每六爻取一卦，上述的排列規則中出現幾次謙卦?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(1%)
    
    

三、計算題(10%)

1. 若一遞迴數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$滿足$\left\{ \begin{array}{l} {{a}_{1}}=\displaystyle{\frac{3}{2}} \\ {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-\displaystyle{\frac{1}{n(n+1)}},n\ge 2 \\ \end{array} \right.$
   (1)  求出${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$(2分)
   (2)  試猜測數列$\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle$的一般式${{a}_{n}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(以$n$表示)(3分)
   (3)  利用數學歸納法證明猜測是正確的。(5分)