108上第2次段考-台中-台中一中-高一(題目)
範圍：龍騰單元6~單元8
答案
詳解 (※索取各種題目檔案請來信索取。)
第一部分
一、單選題(占$12$分)
說明：第$1$題至第$2$題，每題有$5$個選項，其中只有一個是最適當的答案，畫記在答案卡之「解答欄」，各題答對得$6$分；未作答，答錯或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
- 坐標平面上有二圓${{C}_{1}}$：${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4$、${{C}_{2}}$：${{(x-7)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=2$，若直線$L$將這二圓${{C}_{1}}$、${{C}_{2}}$的面積同時平分，則直線$L$的斜率為下列哪一個選項中的數值?
(1) $\displaystyle{\frac{2}{3}}$
(2) $\displaystyle{\frac{-2}{3}}$
(3) $0$
(4) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$
(5) $\displaystyle{\frac{-1}{2}}$
- 坐標平面上有三點$A(0$，$0)$，$B(9$，$0)$，$C(0$，$12)$，若座標平面上的動點$P$滿足$\overline{PA}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\overline{PB}$且$\overline{PA}=\overline{PC}$，則動點$P$所成的軌跡圖形為下列哪一個選項?
(1) $1$個點
(2) $2$個點
(3) 一直線
(4) 一圓
(5) 不存在
二、多選題(占$32$分)
說明：第$3$至第$6$題，每題有$5$個選項，其中至少有一個是正確的選項，選出正確選項，畫記在答案卡「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得$8$分；答錯$1$個選項者，得$6$分；答錯$2$個選項者，得$4$分；答錯$3$個選項者，得$2$分，所有選項均未作答或答錯多於$3$個選項者，該題以零分計算。
- 坐標平面上滿足$\sqrt{x-y+1}\sqrt{x+2y-2}\ge 0$的點$(x$，$y)$所形成的區域為$\Gamma $，請問下列哪些選項中的敘述是正確的?
(1) 無論實數$k$為何，直線$x=k$必與$\Gamma $相交
(2) 無論實數$k$為何，直線$y=k$必與$\Gamma $相交
(3) 無論實數$k$為何，直線$y=\displaystyle{\frac{1}{2}}x+k$必與$\Gamma $相交
(4) 無論實數$k$為何，直線$y=2x+k$必與$\Gamma $相交
(5) 無論實數$k$為何，直線$y=-\displaystyle{\frac{1}{3}}x+k$必與$\Gamma $相交
- 在坐標平面上，當一個點$(x$，$y)$的$x$坐標與$y$坐標都是整數時，稱其為格子點。設$m$，$n$皆為正整數且$m>2$，$2<n<7$，若聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x\ge 0 \\
y\ge 0 \\
x+y\le 2 \\
nx+u\le m \\
\end{array} \right.$的解區域$\Omega $之面積為$\displaystyle{\frac{44}{3}}$，則下列哪些選項中的敘述是正確的?
(1) $3{{m}^{2}}=100n$
(2) $m=10$
(3) $n=6$
(4) $\Omega $邊界上的格子點有$15$個
(5) $\Omega $內部(不含邊界)的格子點有$8$個
- 坐標平面上$A$，$B$，$C$三點，已知$A$的坐標為$(1$，$1)$、$B$的坐標為$(3$，$1)$，$C$的坐標為$(s$，$t)$且$\overline{AC}$的中垂線方程式為$3x-y=7$，設$\vartriangle ABC$的外接圓方程式為${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+ax+by+c=0$，則下列哪些選項中的敘述是正確的?
(1) 圓心為$(2$，$-1)$
(2) 半徑為$5$
(3) $a+b+c=2$
(4) $s=4$
(5) $t=-2$
- 坐標平面上有一以原點$O$為圓心的圓$C$，交直線$L:2x+y=5$於$Q$、$R$兩點。已知圓$C$上有一點$P$使得$\vartriangle PQR$為正三角形。請選出正確的選項。
(1) 直線$\overline{OP}$的方程式為$2x-y=0$
(2) $P$點在第三象限
(3) $\vartriangle PQR$的面積為$15\sqrt{3}$
(4) 直線$2x+y-10=0$為過$P$點的切線
(5) 過$Q$的切線與過$R$的切線相交於點$(8$，$4)$
第二部分：選填題(占$55$分)
說明：第$A$題至第$H$題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號。每題完全答對得$7$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
- 在$\vartriangle ABC$中，$\overline{BC}$的長為$2$且直線$\overleftrightarrow{BC}:3x+4y=0$。若$\vartriangle ABC$的重心$G$的坐標為$(4$，$2)$，則$\vartriangle ABC$的面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- $A(-1$，$-2$，直線$\overleftrightarrow{AB}:3x-2y=1$，直線$\overleftrightarrow{BC}:y=1$。若$\vartriangle ABC$面積為$6$，且直線$\overleftrightarrow{AC}$的斜率為負，則直線$\overleftrightarrow{AC}$的斜率為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(化成最簡分數)
- 設直線${{L}_{1}}:ax-2y=c$，${{L}_{2}}:2x+by=-c$，若${{L}_{1}}$，${{L}_{2}}$互相垂直於點$(1$，$5)$，則序組$(a$，$b$，$c)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 如右圖，直線${{L}_{1}}:\displaystyle{\frac{x}{48}}+\displaystyle{\frac{y}{36}}=1$、圓$C$的半徑為$3$。若直線${{L}_{2}}$與直線${{L}_{3}}$平行且圓$C$與二直線${{L}_{1}}$、${{L}_{2}}$皆相切，則${{L}_{2}}$的$x$截距為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知圓$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-3y-2=0$，若直線$y=mx$和圓$C$相交相異兩點$A$，$B$且弦長$\overline{AB}=4$，則斜率$m=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(有$2$解)
- 坐標平面上有三條直線$L$、${{L}_{1}}$、${{L}_{2}}$，其中$L$為水平線，${{L}_{1}}$、${{L}_{2}}$的斜率分別為$\displaystyle{\frac{3}{4}}$、$\displaystyle{\frac{-4}{3}}$。已知這三條直線會形成一個$\vartriangle ABC$，且$\vartriangle ABC$的面積為$216$，則$\vartriangle ABC$的周長為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 如下圖，圓$O$上三點$A$，$B$，$D$，圓內一點$C$，已知$\overline{AB}\bot \overline{BC}$且$\overline{BC}\bot \overline{CD}$若$\overline{AB}=4$，$\overline{BC}=6$，$\overline{CD}=2$，且圓$O$的半徑為$r$，則$r=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知$A(5$，$0)$，$B(3$，$-4)$，動點$P$在圓$C:{{x}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=5$上移動，試求${{\overline{PB}}^{2}}-{{\overline{PA}}^{2}}$的最大值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
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