108上第2次段考-台南-台南一中-高一(題目)
範圍：泰宇2-1~2-4
答案
詳解
一、填充題
- 求通過點$(8$，$7)$且和直線$L$：$5x+2y=0$垂直的直線方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 設直線$L$通過點$(1$，$2)$且$x$截距為$y$截距的兩倍(兩截距皆不為$0$)，求直線$L$的方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 設$a$，$b$，$c$為實數，且二次多項式$f(x)=ax(x-1)+bx(x-3)+c(x-1)(x-3)$，$g(x)=2{{x}^{2}}-4x+6$，若$f(x)=g(x)$，求序組$(a$，$b$，$c)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 坐標平面上，求通過$A(4$，$2)$、$B(2$，$6)$、$C(-2$，$4)$三點的圓方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 設實數$x$、$y$滿足$5x+12y=26$，求$\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$的最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 坐標平面上，圓$C$通過$A(2$，$4)$、$B(6$，$2)$兩點且圓心在直線$y=1$上，求圓$C$的方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 坐標平面上，求聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x\ge 0 \\
y\ge 0 \\
3x+y-12\le 0 \\
x-y+4\ge 0 \\
\end{array} \right.$圍成的區域面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 坐標平面上，直線$L$：$4x+3y=12$和兩座標軸圍成三角形$ABC$，設圓$C$為$\vartriangle ABC$的內切圓，求平行直線$L$且和圓$C$相切的直線方程式為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 「$169=168$?」
某日老師拿了軟性磁鐵貼紙裁減出四張圖形，貼在黑板上拼接成邊長$13$的正方形如圖1，然後老師跟同學們說：接下來見證奇蹟的時刻到了，這時老師再將$4$張軟性磁鐵貼紙重新組合拼接成如圖2的圖形，然後問同學說：圖2的面積是多少？小明回答說：$21\times 8=168$。在一旁的大華發現說：那不對啊！$13$的平方是$169$怎麼會等於$168$？老師接著問同學們為何會這樣？數學高手郝強馬上衝到講台上去將圖形拆開成如圖3，然後就笑笑解釋說：因為$A$、$B$、$C$三點根本不共線啊！請問郝強是如何判斷的呢？
請同學根據圖3回答下列問題：
設$A$、$B$兩點的斜率為${{m}_{1}}$：$B$、$C$兩點的斜率為${{m}_{2}}$，求${{m}_{1}}-{{m}_{2}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 已知$A$點$(4$，$1)$對直線$L$：$y=x$的對稱點為$B$點，$A$點對原點的對稱點為$C$點，若$P(a$，$-a)$在$\vartriangle ABC$的內部(不含邊界)，求實數$a$的範圍為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 坐標平面上，在$y$軸正向上一點$P$放置一光源，將圓$C$：${{(x-2)}^{2}}+{{(y-5)}^{2}}=4$投射到$x$軸的影長為$12$，求$P$點座標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
- 坐標平面上，已知直線$L$和圓$C$相交於$A$、$B$兩點，設$O$點為圓$C$的圓心，若$\vartriangle AOB$面積的最大值恰好和圓$C$的半徑值相等，求圓$C$的半徑為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(提是：利用算幾不等式)
- 坐標平面上，直線$L$可平分圓$C$：${{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=10$的面積，且直線$L$不通過第三象限，設直線$L$的斜率為$m$且$m$為整數，則$m$值共有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個
- 坐標平面上，從$P(k$，$2)$對圓$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6y+4=0$作兩切線$PA$、$PB$，若$PA\bot PB$，則$k$值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(兩解)
二、多選題
- 阿均利用綜合除法計算多項式$f(x)$除以$2x-1$的商式$q(x)$和餘式$r(x)$，計算過程如下，若他沒有任何計算錯誤，但紙張遭到污損，請判斷下列何者正確？
(A) $d\times h=-1$
(B) $a+b+c=1$
(C) $f(x)=2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x-7$
(D) $q(x)=2{{x}^{2}}-4x+4$
(E) $r(x)=4x-5$
- 對於二元一次聯立方程式 $\left\{ \begin{array}{l}
kx+2y=2k+3 \\
6x+(k-1)y=3-k \\
\end{array} \right.$的解，下列何者正確?
(A) 若$k=108$，則聯立方程式恰有一解
(B) 若$k=4$，則聯立方程式有無限多組解
(C) 若聯立方程式無解，則$k=-3$
(D) 若聯立方程式的幾何意義為重合直線，則此直線與兩標軸圍成的三角形面積小於$1$
(E) 若聯立方程式的幾何意義為兩平行直線，則兩平行線的距離$\displaystyle{\frac{6}{\sqrt{5}}}$
三、計算題
阿良老師為了讓數學課更活潑有趣，設計了仿$TRML$競賽的《團體接力賽》來讓同學參與學習，某日課程進行到「多項式的除法原理」單元，課堂上的活動設計為《團體接力賽》，遊戲規則是共有三道連鎖問題，每一道問題的答案會是下一道問題的線索。某小組想要在這次活動中獲得優勝，請聰明(ㄉㄚˋㄨˋ)的你來和他們一起來解鎖成就。
- 老師先發給第一位同學的題目如下：
「設$f(x)$為一多項式，若$f(x)$除以$(x-\displaystyle{\frac{1}{2}})$的商式為$q(x)$，餘式為$r$，則$3f(x)$除以$(2x-1)$得到的餘式為$\underline{\ \ (1)\ \ }$？」算出答案(1)後傳給第二位同學
- 第二位同學收到第一位同學傳過來的答案(1)，老師再發下第二道題目給第二位同學如下：
「多項式除法中，除了長除法外還有綜合除法，今以$x-$(1)為除式將多項式$f(x)={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+22{{x}^{2}}-26x+20$改寫成$f(x)=a(x-(1){{)}^{4}}+b(x-(1){{)}^{3}}+c(x-(1){{)}^{2}}+d(x-(1))+e$的形式，就可以求出函數$f((1)-0.01)$的近似值，求$a+b+c+d-e=$$\underline{\ \ (2)\ \ }$」算出答案(2)後傳給第三位同學
- 第三位同學收到第二位同學傳過來的答案(2)，老師再發下第三道題目給第三位同學如下：
「多項式除法中，利用除法原理也可以求出函數值，設多項式$g(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x-8$，令$k=1+\sqrt{(2)}$，求$g(k)$之值$=$$\underline{\ \ (3)\ \ }$。」
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