[段考] 108上第1次段考-彰化-彰化女中-高一(題目)

108上第1次段考-彰化-彰化女中-高一(題目)

範圍：龍騰單元1~單元5

　 答案　 詳解

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一、多重選擇題(每題8分，共16分)

1. 設$0<a<1$，且${{a}^{\frac{1}{2}}}+{{a}^{-\frac{1}{2}}}=5$，下列敘述哪些正確?
   (A)  $a+{{a}^{-1}}=25$
   (B)  ${{a}^{2}}+{{a}^{-2}}=527$
   (C)  ${{a}^{\frac{3}{2}}}+{{a}^{-\frac{3}{2}}}=110$
   (D)  ${{a}^{\frac{1}{2}}}-{{a}^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt{21}$
   
   
2. 已知${{10}^{0.3010}}\approx 2$，${{10}^{0.4771}}\approx 3$
   請將${{2}^{114}}$表示成科學記號${{b}_{1}}\times {{10}^{{{n}_{1}}}}$($1\le {{b}_{1}}<10$，${{n}_{1}}\in \mathbb{Z}$)，
   請將${{3}^{70}}$表示成科學記號${{b}_{2}}\times {{10}^{{{n}_{2}}}}$($1\le {{b}_{2}}<10$，${{n}_{2}}\in \mathbb{Z}$)，
   請將${{5}^{50}}$表示成科學記號${{b}_{3}}\times {{10}^{{{n}_{3}}}}$($1\le {{b}_{3}}<10$，${{n}_{3}}\in \mathbb{Z}$)，
   (A)  ${{n}_{1}}>{{n}_{2}}$
   (B)  ${{n}_{3}}>{{n}_{1}}$
   (C)  ${{b}_{1}}={{10}^{0.334}}$
   (D)  ${{5}^{50}}$為$34$位數
   
   

二、填充題(每題5分，除了第一題，共79分)

1. $(2+3\sqrt{3})x+(1-2\sqrt{3})y=8+5\sqrt{3}$，$x$，$y$為有理數，則數對$(x,y)$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(4分)
   
   
2. 如圖，數線上，$A$點坐標為$a$，$B$點坐標為$b$，小新以「線段等分方式」作圖，若尺規作圖的過程都正確無誤，求$P$點的坐標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(請以$a$，$b$表示)
   
   
   
3. 設$a$為$1$至$9$的正整數，且$\displaystyle{\frac{13}{99}}<0.1\overline{a2}< \displaystyle{\frac{14}{99}}$，則$a=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 化簡$\sqrt[6]{{{3}^{-24}}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{{{9}^{15}}}}\cdot {{[{{(\displaystyle{\frac{1}{27}})}^{4}}\cdot {{729}^{2}}]}^{-3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 化簡$(log1000)\times ({{10}^{log23}})\times (log\displaystyle{\frac{1}{1000}})=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 若$\sqrt{14-4\sqrt{10}}$整數部分為$a$，小數部分為$b$，則$\displaystyle{\frac{1}{a+b}}-\displaystyle{\frac{1}{b+5}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 若${{(0.0025)}^{a}}=100$，${{(0.4)}^{b}}=1000$，則$\displaystyle{\frac{2}{a}}+\displaystyle{\frac{3}{b}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 已知$-2\le x\le 3$，$1\le y\le 5$，若$2x-3y$的最大值為$m$，${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$的最小值為$n$，求數對$(m,n)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 滿足不等式$1\le \left| 2x-3 \right|<9$的整數$x$共有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個。
   
   
10. 若$\left| ax+1 \right|\le \displaystyle{\frac{7}{5}}$之解為$-2\le x\le b$，求數對$(a,b)$為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 已知不等式$\left\{ \begin{array}{l}
    \left| x-1 \right|<a \\
    \left| 2x+3 \right|>b \\
    \end{array} \right.$的解為$2<x\le 3$，求$a$、$b$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 不等式$\left| x-2 \right|>2x-3$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
13. 設$0<x<1$，且$\sqrt{{{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}}+2}-\sqrt{{{x}^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{{{x}^{2}}}-2}}=\displaystyle{\frac{1}{14}}$，則$x=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
14. 大雄以長$120$公尺的鐵絲網在河邊圍一個舉行的菜園，如圖所示，虛線部分為河岸邊，不圍鐵絲網，且$B$點在$\overline{AC}$上，$\angle EAB=90{}^\circ $，$\overline{AB}=20$公尺，則菜園(矩形$ACDE$)的最大面積為$a$平方公尺，此時的$\overline{DE}=b$，$\overline{CD}=c$，試問數對$(a,b,c)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
    
15. 目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設$E(r)$為芮氏規模$r$時所釋放的能量，$r$與$E(r)$的關係如下：$logE(r)=5.24+1.44r$。試問：芮氏規模$6$的地震所釋放出來能量是芮氏規模$4$的地震所釋放出來能量的$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$倍。(四捨五入至整數位，已知${{10}^{1.44}}=27.54$)
    
    
16. 心理學家常用數學模式$L(t)=a(1-{{10}^{-bt}})$來描述學生經過$t$星期學習之後所得到的學習量(或成果)，這裡的常數$a$與$b$跟學生及學習的科目有關。如果阿虎$2$星期可以背熟$60$個單字，$4$星期可以背熟$100$個單字，那麼：請利用這個數學模式，推算阿虎$8$星期可以背熟$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$個單字。(四捨五入至整數位)
    
    

三、計算題(共5分)

維維和齊齊各用一張$10$公分$\times 10$公分的色紙來進行剪紙比賽，規則如下：
(1)  剪下的每張都一模一樣大小
(2)  每張面積為$6$平方公分
若齊齊選擇剪下$3$公分$\times 2$公分的長方形，而維維選擇剪下正方形，試問：誰可剪出的張數最多?