[段考] 108上第1次段考-彰化-彰化高中-高一(題目)

108上第1次段考-彰化-彰化高中-高一(題目)

範圍：三民1-1~1-4

　 答案　 詳解

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一、填充題(每格4分，共40分)

1. $0.\bar{6}+0.\bar{4}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 數線上有$A(-3)$，$B(7)$，$P$三點，若$\overline{PA}$：$\overline{PB}=3$：$2$，則$P$點的座標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。(二解)
   
   
3. 乘開下列各式：
   (1)  ${{(x-2y-1)}^{2}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  ${{(x+2y)}^{3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
   
   
4. 因式分解下列各式：
   (1)  $8{{x}^{3}}-1=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  $6{{x}^{2}}-11x-10=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 求下列各式的值：
   (1)  $\sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{75}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  ${{(0.04)}^{\frac{3}{2}}}\times {{(\displaystyle{\frac{8}{27}})}^{-\frac{2}{3}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. 設${{10}^{log5}}$的值為$a$，${{1000}^{log5}}$的值為$b$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 設$a$是正整數，且$2<a<12$。若$\displaystyle{\frac{7}{a}}$可化成有限小數，則$a$的值可能為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   

二、簡答題(每題6分，共30分)

說明：
(1)  請將正確選項填入答案卷，每題正確答案可能不只一個，全對者得4分，恰好錯一個者得2分，其餘不給分。
(2)  就問題回答你的想法，填入答案卷。(答題內容請精要)，答對者再得2分。

1. 關於實數，請選出正確的選項：
   (1)  實數分成有理數和有理數兩類。
   (2)  $\sqrt{2}-0.414$是無理數。
   (3)  $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}}$是無理數。
   (4)  $\sqrt{1.44}$是無理數。
   請說明何謂有理數$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 已知實數$x$滿足不等式$\left| x-2 \right|<3$，選出正確的選項：
   (1)  $\left| x-2 \right|<3$表示數線上點$x$與點$2$的距離小於$3$。
   (2)  $4$是不等式的一個解。
   (3)  $0$，$1$，$2$，$3$，$4$是不等式的所有解。
   (4)  若$x$是不等式的解，則$\left| x-6 \right|>1$。
   在數線上畫出不等式$\left| x-2 \right|<3$的解
   
   
   
   
   
3. 關於常用對數符號$loga$，選出正確的選項：
   (1)  $log10=1$
   (2)  $log100=10$
   (3)  $log0.1+1=0$
   (4)  $2log\sqrt{10}=1$
   請說明如何求得$log0.1$的值$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
4. 關於根式$\sqrt[n]{a}$，選出正確的選項：
   (1)  ${{(\sqrt{3})}^{2}}=3$
   (2)  $\sqrt[3]{3}> \displaystyle{\frac{4}{3}}$
   (3)  $\sqrt{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[5]{3}$
   (4)  $0<\sqrt[10]{3}<1$
   試說明比較$\sqrt[3]{3}$，$\displaystyle{\frac{4}{3}}$兩數大小的方法$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 已知氦無色、無臭、無味，是一種重要的污染氣體，其半衰期為$3.8$天。現在某一容器內有濃度$a$的氦氣，若沒有新的氦氣進入容器，則經過下列哪些選項的時間後，容器內的氦氣濃度會低於$\displaystyle{\frac{a}{20}}$?
   (1)  $10$天
   (2)  $15$天
   (3)  $20$天
   (4)  $30$天
   請說明$20$天後，氦氣的濃度是否低於$\displaystyle{\frac{a}{20}}$?$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   

三、計算、證明題(配分見各題目，共30分)

請詳細說明你的理由，以利老師了解你的想法。(沒有說明理由，該題以0分計)

1. 設$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，試比較$a$，$b$兩數的大小關係。(6分)
   
   
2. 試證明所有周長為$4$的矩形中，以邊長為$1$的正方形有最大的面積。(6分)
   
   
3. 解方程式$\left| x-1 \right|+\left| x+3 \right|=8$。(6分)
   
   
4. 已知$7\approx {{10}^{0.8451}}$，溶液中的$pH$值是指溶液中氫離子濃度的常用對數值乘上$(-1)$。
   若以$[{{H}^{+}}]$表示氫離子濃度，則$pH$值$=-log[{{H}^{+}}]$。
   例如純水在$25{}^\circ C$時的$[{{H}^{+}}]={{10}^{-7}}$莫耳/升，因此純水的$pH$值為$-log{{10}^{-7}}=7$。
   今有$A$溶液$pH$值為$3$，$B$溶液$pH$值為$4$，若以$A$溶液$20$毫升與$B$溶液$10$毫升混和，並假設混和後體積不變，求新溶液的$pH$值為何?(四捨五入到小數點以下第$2$位)(6分)
   
   
5. 已知$3\approx {{10}^{0.4771}}$，$4\approx {{10}^{0.602}}$，$5\approx {{10}^{0.699}}$。問：${{3}^{60}}$是幾位數?(3分)又最高位數字為何?(3分)(例如：$2345$是$4$位數，最高位數字為$2$)