108上第1次段考-台中-文華高中-高一(題目)
範圍：龍騰單元6~單元9
詳解
一、多選題(共15分)
說明：第1題至第3題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案卡題號(1-3)。各選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。- 請問下列敘述何者正確?
(1) 平面上有兩相異點$A$、$B$，$k$為實數，滿足$\overline{PA}=k\overline{PB}$的$P$點形成一個圓
(2) 對所有的實數$k$，${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2ky+1=0$的圖形為一圓
(3) 過三點$A(4$，$3)$，$B(1$，$-2)$，$C(11$，$13)$
(4) 圓${{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}=4$上恰有兩點與直線$3x-4y-13=0$的距離等於$2$
(5) 若直線$L$的方程式為$\displaystyle{\frac{x}{a}}+\displaystyle{\frac{y}{b}}=1$，$a$，$b$為實數，$ab\ne 0$，則$L$與兩軸圍出來的三角形面積為$\displaystyle{\frac{1}{2}}ab$
- 直線$L$：$ax+by+c=0$在下列哪些條件下可能會通過第二象限?
(1) $ac>0$，$bc>0$
(2) $ab<0$，$ac>0$
(3) $c=0$，$ab<0$
(4) $ab<0$，$bc>0$
(5) $b=0$，$ac<0$
- 右圖中，$\vartriangle ABC$的內部及其邊界是一元二次聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x+ay+b\le 0 \\
cx+y+d\ge 0 \\
2x-y+e\le 0 \\
\end{array} \right.$的解，其中$A(-6$，$5)$、$B(0$，$2)$、$C(-1$，$0)$，且$a$，$b$，$c$，$d$為實數，則下列哪些選項正確?
(本題出題老師筆誤，應為「二元一次聯立不等式」)
(1) $c<0$
(2) $ae=4$
(3) 若$t=\displaystyle{\frac{y+1}{x-2}}$，則$-\displaystyle{\frac{3}{2}}\le t\le -\displaystyle{\frac{1}{3}}$
(4) 原點$O$在$\vartriangle ABC$的外接圓上
(5) ${{(x+6)}^{2}}+{{y}^{2}}$的最小值為$25$
二、選填題(共75分)
說明：1. 第A.至O.題，請將答案劃記在答案卡題號(4~41)。
2. 請化成最簡分數，每格完全答對給5分，答錯不倒扣，全對才給分。
- 設$x$，$y$為實數，若$P(x$，$y)$在直線$5x-12y-5=0$上，則${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+10y+30$最小值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 設一直線過點$(-5$，$3)$，此直線在第二象限內與兩座標軸所圍出來的三角形面積最小為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 平面上有$A(-1$，$2)$，$B(1$，$3)$，$C(4$，$0)$三點，若直線$m(y+5)=x-1$與$\vartriangle ABC$的邊恰有兩個交點，則$m$的範圍為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知平面上$A(-1$，$5)$，$B(3$，$-4)$兩點在直線$L$：$2x+5y=-3$的異側，且$\overline{AB}$交$L$於$P$點，則$\displaystyle{\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- $\vartriangle ABC$中，$\overline{AC}$邊上的高所在直線方程式為$5x+3y-14=0$，$\angle A$的平分線方程式為$x-y=0$，又$C(8$，$4)$、$A(-2$，$-2)$，則$B$點坐標為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 過點$A(8$，$\sqrt{15})$作圓${{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=100$的弦中，長度為整數的弦有$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$條。
- 已知圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=k$將圓${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+22=0$的圓周平分成二等分，則$k$值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 在坐標平面上$A(-6$，$0)$處有一個光源，將圓${{(x+3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=5$投射到$y$軸上，則投射在$y$軸的影子長為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 過$(-7$，$-1)$並與圓$C$：${{(x+4)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=25$相切的直線方程式為$ax+by+c=0$，其中$a$，$b$，$c$為整數，$a>0$，$(a$，$b)=1$，則序組$(a$，$b$，$c)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 如右圖，一座半圓形拱橋(弧$IJ$)，當水面距離拱頂$4$公尺時，水面寬$24$公尺。洪水來臨時水面等速上升，上升速度為每分鐘$20$公分。現有一船甲板$\overline{BC}$寬$28$公尺，承載長方體貨櫃於水面上的高度(含船高)為$5$公尺，且$\overline{BF}=\overline{CG}=2$公尺，則最慢於$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$分鐘後船將無法穿越此拱橋。
註：$\overline{IJ}$為初始水面、等腰梯型$ABCD$為船身橫截面、矩形$EFGH$為貨櫃橫截面的示意圖。
(註：因題目瑕疵，本題最後予以送分)
- 已知兩圓與$y$軸均相切於$(0$，$5)$，且兩圓與直線$L$：$3x-4y+12=0$也相切，則兩圓的圓心距離為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 過點$P(-7$，$12)$向圓$C$：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y-5=0$作兩切線，切點為$A$，$B$兩點，則$\vartriangle PAB$的外接圓圓心為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知$f(x)$除以$x-3$的商式為$Q(x)$，餘式為$5$，若$xf(x)$除以$x-3$的餘式為$r(x)$，則$r(-1)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 已知$f(x)={{x}^{6}}+5k{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+2k{{x}^{2}}+x-11$，$g(x)=2{{x}^{5}}+k{{x}^{4}}+3x-7$，且$f(x)\cdot g(x)$的所有偶次項係數和等於所有奇次項係數和，則實數$k$的所有可能值之乘積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
- 中央氣象局在剛剛發布了今年第$9$號颱風利奇馬的海上颱風警報，目前($7$日$20$時)位置在台北的東南偏東方約$670$公里之海面上，根據中央氣象局的預測，颱風將依直線前進，明天($8$日$20$時)利奇馬將會往西北方向前進到臺北的東南偏東方約$330$公里的海面上，第9號颱風之$7$級風暴風半徑接近正圓約為$250$公里，如下圖所示。為了化簡計算，我們在這個颱風路徑預報圖上建立$xy$坐標軸，並作等比例伸縮，臺北位置在$(0$，$0)$，$7$日$20$時颱風位置在$(5$，$-3)$，$8$日$20$時颱風位置在$(3$，$-1)$，暴風半徑為$2$，試問在$8$日$20$時後$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$小時，臺北會開始進入暴風圈內。
(註：因題目瑕疵，本題最後予以送分)
三、計算題(共10分)
說明：需列出詳細的計算過程，否則不予計分。 已知$xy$平面上有三點$A(2$，$4)$、$B(7$，$-6)$、$C(-3$，$-1)$，則(1) 請寫出聯立不等式，使其解的範圍為$\vartriangle ABC$(包含邊界)
(註：本題並未標註求三角形「內部」，但未送分)
(2) 若點$P(3$，$1-a)$在$\vartriangle ABC$的內部(包含邊界)，則$a$的範圍?
(請將計算過程寫在答案卷上並繳回)
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