108上第1次段考-台中-文華高中-高一(題目)
範圍:龍騰單元6~單元9


一、多選題(共15分)
說明:第1題至第3題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項劃記在答案卡題號(1-3)。各選項獨立判定,所有選項均答對者,得5分;答錯1個選項者,得3分;答錯2個選項者,得1分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。- 請問下列敘述何者正確?
(1) 平面上有兩相異點A、B,k為實數,滿足¯PA=k¯PB的P點形成一個圓
(2) 對所有的實數k,x2+y2+2x+2ky+1=0的圖形為一圓
(3) 過三點A(4,3),B(1,−2),C(11,13)
(4) 圓(x−2)2+(y+3)2=4上恰有兩點與直線3x−4y−13=0的距離等於2
(5) 若直線L的方程式為xa+yb=1,a,b為實數,ab≠0,則L與兩軸圍出來的三角形面積為12ab
- 直線L:ax+by+c=0在下列哪些條件下可能會通過第二象限?
(1) ac>0,bc>0
(2) ab<0,ac>0
(3) c=0,ab<0
(4) ab<0,bc>0
(5) b=0,ac<0
- 右圖中,△ABC的內部及其邊界是一元二次聯立不等式{x+ay+b≤0cx+y+d≥02x−y+e≤0的解,其中A(−6,5)、B(0,2)、C(−1,0),且a,b,c,d為實數,則下列哪些選項正確?
(本題出題老師筆誤,應為「二元一次聯立不等式」)
(1) c<0
(2) ae=4
(3) 若t=y+1x−2,則−32≤t≤−13
(4) 原點O在△ABC的外接圓上
(5) (x+6)2+y2的最小值為25
二、選填題(共75分)
說明:1. 第A.至O.題,請將答案劃記在答案卡題號(4~41)。
2. 請化成最簡分數,每格完全答對給5分,答錯不倒扣,全對才給分。
- 設x,y為實數,若P(x,y)在直線5x−12y−5=0上,則x2+y2−4x+10y+30最小值為 _。
- 設一直線過點(−5,3),此直線在第二象限內與兩座標軸所圍出來的三角形面積最小為 _。
- 平面上有A(−1,2),B(1,3),C(4,0)三點,若直線m(y+5)=x−1與△ABC的邊恰有兩個交點,則m的範圍為 _。
- 已知平面上A(−1,5),B(3,−4)兩點在直線L:2x+5y=−3的異側,且¯AB交L於P點,則¯PA¯PB= _。
- △ABC中,¯AC邊上的高所在直線方程式為5x+3y−14=0,∠A的平分線方程式為x−y=0,又C(8,4)、A(−2,−2),則B點坐標為 _。
- 過點A(8,√15)作圓(x−1)2+y2=100的弦中,長度為整數的弦有 _條。
- 已知圓x2+y2=k將圓x2+y2−6x−8y+22=0的圓周平分成二等分,則k值為 _。
- 在坐標平面上A(−6,0)處有一個光源,將圓(x+3)2+(y−1)2=5投射到y軸上,則投射在y軸的影子長為 _。
- 過(−7,−1)並與圓C:(x+4)2+(y−3)2=25相切的直線方程式為ax+by+c=0,其中a,b,c為整數,a>0,(a,b)=1,則序組(a,b,c)= _。
- 如右圖,一座半圓形拱橋(弧IJ),當水面距離拱頂4公尺時,水面寬24公尺。洪水來臨時水面等速上升,上升速度為每分鐘20公分。現有一船甲板¯BC寬28公尺,承載長方體貨櫃於水面上的高度(含船高)為5公尺,且¯BF=¯CG=2公尺,則最慢於 _分鐘後船將無法穿越此拱橋。
註:¯IJ為初始水面、等腰梯型ABCD為船身橫截面、矩形EFGH為貨櫃橫截面的示意圖。
(註:因題目瑕疵,本題最後予以送分)
- 已知兩圓與y軸均相切於(0,5),且兩圓與直線L:3x−4y+12=0也相切,則兩圓的圓心距離為 _。
- 過點P(−7,12)向圓C:x2+y2−6x+4y−5=0作兩切線,切點為A,B兩點,則△PAB的外接圓圓心為 _。
- 已知f(x)除以x−3的商式為Q(x),餘式為5,若xf(x)除以x−3的餘式為r(x),則r(−1)= _。
- 已知f(x)=x6+5kx5−3x3+2kx2+x−11,g(x)=2x5+kx4+3x−7,且f(x)⋅g(x)的所有偶次項係數和等於所有奇次項係數和,則實數k的所有可能值之乘積為 _。
- 中央氣象局在剛剛發布了今年第9號颱風利奇馬的海上颱風警報,目前(7日20時)位置在台北的東南偏東方約670公里之海面上,根據中央氣象局的預測,颱風將依直線前進,明天(8日20時)利奇馬將會往西北方向前進到臺北的東南偏東方約330公里的海面上,第9號颱風之7級風暴風半徑接近正圓約為250公里,如下圖所示。為了化簡計算,我們在這個颱風路徑預報圖上建立xy坐標軸,並作等比例伸縮,臺北位置在(0,0),7日20時颱風位置在(5,−3),8日20時颱風位置在(3,−1),暴風半徑為2,試問在8日20時後 _小時,臺北會開始進入暴風圈內。
(註:因題目瑕疵,本題最後予以送分)
三、計算題(共10分)
說明:需列出詳細的計算過程,否則不予計分。 已知xy平面上有三點A(2,4)、B(7,−6)、C(−3,−1),則(1) 請寫出聯立不等式,使其解的範圍為△ABC(包含邊界)
(註:本題並未標註求三角形「內部」,但未送分)
(2) 若點P(3,1−a)在△ABC的內部(包含邊界),則a的範圍?
(請將計算過程寫在答案卷上並繳回)
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