[段考] 108上第1次段考-台中-台中女中-高一(題目)

108上第1次段考-台中-台中女中-高一(題目)

範圍：龍騰單元1~單元5

　 答案　 詳解

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一、多重選擇題：共2題，每答對一個選項得2分，總分20分，答錯不倒扣。

1. 設$a$、$b$、$c$都為實數，則下列各敘述哪些是正確的?
   (1)  若${{a}^{7}}$為有理數且${{a}^{9}}$為有理數，則$a$必為有理數
   (2)  若${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$、${{b}^{2}}+{{c}^{2}}$、${{c}^{2}}+{{a}^{2}}$都為有理數，則$a$、$b$、$c$都為有理數
   (3)  設$a$、$b$為相異的有理數，則在$a$、$b$之間必有至少一個無理數
   (4)  若${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca=0$，則${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2ab-2bc+2ca=0$
   (5)  若已知${{c}^{0}}=1$成立，則${{c}^{-\frac{2}{3}}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{{{c}^{2}}}}}$成立
   
   
2. 設${{x}^{2}}-5x+1=0$，則下列哪些結果是正確的?
   (1)  $x+{{x}^{-1}}=5$
   (2)  ${{x}^{2}}+{{x}^{-2}}=27$
   (3)  ${{x}^{3}}+{{x}^{-3}}=110$
   (4)  ${{x}^{\frac{1}{2}}}+{{x}^{-\frac{1}{2}}}=\pm \sqrt{7}$
   (5)  $x-{{x}^{-1}}=\pm \sqrt{21}$
   
   

二、填充題：共16格，每格5分，總分80分

※注意：
(1)  答案若為分數或根號，請化至最簡；答案不可用循環小數、次方形式表示。
(2)  每格需完全答對才給分。

1. 設$a$、$b$為有理數，且已知$\sqrt{3}$是無理數，若$(\sqrt{3}+1)a+(2-\sqrt{3})b=7-2\sqrt{3}$，則數對$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
2. 若方程式${{x}^{2}}-2x-6=0$的兩根為$\alpha$、$\beta$，且$\alpha <\beta$。若$\alpha =n+b$，其中$n$為整數，$b$為一個正的純小數，則${{\alpha }^{2}}+\displaystyle{\frac{1}{b}}$之值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
3. 一位農夫有$120$公尺的圍籬，想用這些圍籬圍出如右圖的農地以種植三種不同的作物，且圖中三塊為全等的矩形。則當$(a$，$b)=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$(單位為公尺)時，可圍出最大農地面積為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$平方公尺。
   
   
   
   
4. 因式分解下列各式：
   (1)  ${{x}^{6}}-1=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  $4{{x}^{4}}+11{{x}^{2}}+9=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
5. 設$x=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$，$y=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}$，則${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
6. (1)  解方程式$-4x=\left| 2x+3 \right|$得$x$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   (2)  解不等式$\left\{ \begin{array}{l} \left| 2x-3 \right|\le 5 \\ \left| -2x+1 \right|\ge 7 \\ \end{array} \right.$得$x$的解為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
7. 甲、乙兩人分別位在高鐵站的西方$6$公里、東方$21$公里處，今兩人同時開著車以等速在東西方向上移動，若甲、乙的速率比為$4$：$5$，且已知他們會相遇，則他們會在距離高鐵站$x$公里的地方相遇，$x$的值為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
8. 化簡$\sqrt[3]{\sqrt[8]{{{( \displaystyle{\frac{1}{64}})}^{0.2}}}\times 4\sqrt{2}}\times \sqrt[3]{{{8}^{-3}}}\times {{(\sqrt[4]{\sqrt[3]{{{2}^{4}}}})}^{2}}={{2}^{k}}$，則$k=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
   
   
9. 物理學家費曼先生提過一則有趣的故事：「給你一顆橘子及一把刀，將橘子切成
   薄片，有辦法讓薄片薄到足以蓋著整個地球表面嗎？」費曼利用這道問題來檢驗學生是數學思考還是物理考量。假設在數學思考的前提下，想用一片面積為$30$平方公分的正方形橘子皮蓋住整個地球表面，做法如下：先將橘子皮切成原來厚度一半的$2$片薄片，此為第一步；再將這$2$片薄片都切成原來厚度一半的$2$片，得到$4$片薄片，此為第二步；再將這$4$片都切成原來厚度一半的$2$片更薄的薄片，得到$8$片薄片，此為第三步；依此類推。已知地球表面積約為$5.1\times {{10}^{7}}$平方公里，則至少應進行$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$步操作，才可使這些薄片能蓋滿整個地球表面。(參考數據：${{2}^{20}}\approx 1.05\times {{10}^{6}}$，${{2}^{30}}\approx 1.07\times {{10}^{9}}$，${{2}^{40}}\approx 1.10\times {{10}^{12}}$，${{2}^{50}}\approx 1.13\times {{10}^{15}}$)
   
   
10. ${{10}^{log1}}+{{10}^{log3}}+{{10}^{log5}}+{{10}^{log7}}+\cdots +{{10}^{log99}}=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
11. 下列各式的數值均為有效數字，請取適當位數的有效數字表示下列各式的計算結果：
    (1)  $(3.230\times {{10}^{6}})+(4.71\times {{10}^{5}})=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    (2)  $(1.25\times {{10}^{5}})\div (2.5\times {{10}^{2}})=$$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。
    
    
12. 已知$log3\approx 0.4771$，則${{3}^{60}}$為$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$位整數