108上第1次段考-高雄-高雄中學-高一(詳解)
範圍：自編
一、多重選擇題(每題5分，共25分)(每題至少有一個選項是正確的。選出正確選項，每題答對得5分，答錯不倒扣。未答者不給分。只錯一個選項可獲得3分，錯兩個以上不給分)
- (1) 正確
(2) 錯誤，反例：$c=\sqrt{2}$、$d=-\sqrt{2}$
(3) 錯誤，反例：$a=0$、$c=\sqrt{2}$
(4) 錯誤，反例：$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{2}$
(5) 錯誤，反例：$a=1$、$b=2$、$c=\sqrt{2}$、$d=-1+\sqrt{2}$
故選(1)
- (1) 錯誤，反例：$a=1$、$b=-2$、$c=1$、$d=-2$
(2) 根據加法等量公理與實數大小的遞移性，正確
(3) 錯誤，反例：$a=1$、$b=-1$
(4) 正確
(5) 正確
故選(2)(4)(5)
- (1)(2)(3) $-{{x}^{2}}+2x+3=-{{(x-1)}^{2}}+4$，$f(x)$的最大值為$\sqrt{4}=2$，又$-{{x}^{2}}+2x+3\ge 0$解出$-1\le x\le 3$。故(3)正確、(1)(2)錯誤。
(4) 錯誤，${{(f(x))}^{2}}$才是。
(5) $f(-x)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}\ne f(x)$，錯誤
故選(3)
- 根據集合定義，皆正確。
- 根據定義，得$p\Rightarrow q$、$q\Leftrightarrow r$、$r\Leftarrow s$，$s\Leftarrow q$，則得到如圖關係：
故$s$、$q$、$r$互為充要條件，且都是$p$的必要條件，故選(1)(4)(5)
二、填充題(每題6分，共60分)
- $\sqrt{9-2\sqrt{23-6\sqrt{10+4\sqrt{3-2\sqrt{2}}}}}$$=\sqrt{9-2\sqrt{23-6\sqrt{10+4(\sqrt{2}-1)}}}$$=\sqrt{9-2\sqrt{23-6\sqrt{6+4\sqrt{2}}}}$$=\sqrt{9-2\sqrt{23-6\sqrt{6+2\sqrt{8}}}}$$=\sqrt{9-2\sqrt{23-6(2+\sqrt{2})}}$$=\sqrt{9-2\sqrt{11-6\sqrt{2})}}$$=\sqrt{9-2\sqrt{11-2\sqrt{18})}}$$=\sqrt{9-2(3-\sqrt{2})}$$=\sqrt{3+2\sqrt{2}}$$=\sqrt{2}+1$，整數部分$a$為$2$、正小數部分$b$為$(\sqrt{2}+1)-2=\sqrt{2}-1$，則$\displaystyle{\frac{1}{a-b-1}}+\displaystyle{\frac{1}{a+b+1}}$$=\displaystyle{\frac{1}{2-(\sqrt{2}-1)-1}}+\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}+1+1}}$$=\displaystyle{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}+\displaystyle{\frac{1}{2+\sqrt{2}}}$$=\displaystyle{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}+\displaystyle{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}$$=2$
- 原式$=\left| x-(-1) \right|+2\left| x-0 \right|+3\left| x-2 \right|+\left| x-4 \right|$，最小值發於$x=2$，最小值為$9$。故$k<9$時無解。
- $x<-2$或$x>6$則可以解出$\left| x-2 \right|>4$，則$\left| -2x+4 \right|>8$，則$a=-2$、$b=8$
- 令$\displaystyle{\frac{x-1}{x-2}}=y$，則$x-1=y(x-2)$$\Rightarrow $$x(1-y)=1-2y$$\Rightarrow $$x=\displaystyle{\frac{1-2y}{1-y}}$，得$f(\displaystyle{\frac{x-1}{x-2}})=f(y)= \displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{1-2y}{1-y}}+1}{\displaystyle{\frac{1-2y}{1-y}}}}=\displaystyle{\frac{1-2y+1-y}{1-2y}}=\displaystyle{\frac{2-3y}{1-2y}}$$\Rightarrow $$f(x)= \displaystyle{\frac{2-3x}{1-2x}}$
- ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-xz-yz)(x+y+z)$，其中$xy+xz+yz=\displaystyle{\frac{1}{2}}\left[ {{(x+y+z)}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}) \right]= \displaystyle{\frac{1}{2}}({{5}^{2}}-9)=8$，故$20-3xyz=(9-8)\times 5$，則$xyz=\displaystyle{\frac{20-5}{3}}=5$
- $A=\{x|-5\le x\le 1\}$、$B=\{x|2019-k\le x\le 2019+k\}$，因$A\subset B$，則$2019-k\le -5$且$2019+k\ge 1$，得$k\ge 2024$
- $4096={{64}^{2}}={{16}^{3}}={{4}^{6}}$、$1000000={{1000}^{2}}={{100}^{3}}={{10}^{6}}$，完全平方數有$1000-64+1=937$個，完全立方數有$100-16+1=85$個，六次方數有$10-4+1=7$個。故所求為$937+85-7=859$個
- 由多項式展開得知${{(5+\sqrt{22})}^{3}}+{{(5-\sqrt{22})}^{3}}$為整數，此整數為$2(125+3\cdot 22\cdot 5)=910$，其中$0<{{(5-\sqrt{22})}^{3}}<1$，故${{(5+\sqrt{22})}^{3}}$介在$909$與$910$之間
- ${{x}^{5}}+x+1$$=\left( \left( {{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}} \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \right)-\left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)$ $=\left( {{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+1\cdot \left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \right)-{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$$=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}+1 \right)-{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$$=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right)$
- $3x+2y\ge 2\sqrt{3x\cdot 2y}=2\sqrt{6\times 12}=12\sqrt{2}$，最小值為$12\sqrt{2}$，此時$3x=2y=6\sqrt{2}$，$x=2\sqrt{2}$、$y=3\sqrt{2}$
三、綜合題(共15分)
- 若$\sqrt{3}$為有理數，即$\sqrt{3}=\displaystyle{\frac{b}{a}}$，$(a$，$b)=1$，$a$，$b\in \mathbb{R}$。則$3{{a}^{2}}={{b}^{2}}$$\Rightarrow $${{b}^{2}}$為$3$的倍數，即$b$為$3$的倍數$\Rightarrow $令$b=3k$$\Rightarrow $$3{{a}^{2}}=9{{k}^{2}}$$\Rightarrow $${{a}^{2}}=3{{k}^{2}}$$\Rightarrow $${{a}^{2}}$為$3$的倍數，即$a$為$3$的倍數。此時$(a$，$b)\ge 3$，與假設不符$\Rightarrow $$\sqrt{3}$無法表示為$\displaystyle{\frac{b}{a}}$，$(a$，$b)=1$，$a$，$b\in \mathbb{R}$的形式，即$\sqrt{3}$為無理數。
- 將$x=1$、$x=-2$分段做討論。
若$x<-2$，則$y=-5x-8$；若$-2\le x<1$，則$y=x+4$；若$x\ge 1$，則$y=5x$。其中$x=1$時$y=5$、$x=-2$時$y=2$作圖如下：
由圖知：最小值為$2$
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