[大考] 71年大學聯考數學科試題(自)(題目)

71年大學聯考數學科試題(自)(題目)

　 　

---

第一部分：單一選擇題(共占60分)

1. 設$f(x)={{x}^{4}}+7{{x}^{3}}+11{{x}^{2}}-3x-18$，求$s=f(f(1))=$?
   (複選，5分；答錯倒扣5/30分)
   (A)  $\left| s \right|\in \{2$，$4$，$6$，$8\}$
   (B)  $\left| s \right|\in \{2$，$3$，$6$，$\left. 7 \right\}$
   (C)  $\left| s \right|\in \{4$，$5$，$6$，$\left. 7 \right\}$
   (D)  $s<0$
   (E)  以上皆非
   
   
2. 以方程式${{x}^{3}}-7x+6=0$的三根$\alpha$，$\beta$，$\gamma$之平方為根，得一新方程式${{x}^{3}}+l{{x}^{2}}+mx+n=0$，試求$l$，$m$，$n$。(以下三小題皆複選，全對得9分；任一答錯倒扣9/511分)
   (A)  $\left| l \right|=12$
   (B)  $\left| l \right|=14$
   (C)  $\left| l \right|=22$
   (D)  $\left| l \right|=36$
   (E)  $l<0$
   
   
3. (A)  $\left| m \right|=12$
   (B)  $\left| m \right|=36$
   (C)  $\left| m \right|=42$
   (D)  $\left| m \right|=49$
   (E)  $m<0$
   
   
4. (A)  $\left| n \right|=28$
   (B)  $\left| n \right|=36$
   (C)  $\left| n \right|=48$
   (D)  $\left| n \right|=49$
   (E)  $n<0$
   
   
5. 採用極坐標$(r$，$\theta )$，三點$(5$，$\displaystyle{\frac{\pi }{3})}$，$(3$，$\displaystyle{\frac{10}{18}}\pi )$，$(3.6$，$-\displaystyle{\frac{1}{18}}\pi )$所成三角形之面積為何?取兩位有效數字(其下四捨五入)，將此面積記成$l+\displaystyle{\frac{m}{10}}$($l$及$m$為阿拉伯數碼)，試求$l$，$m$。計算時可用:$\sin \displaystyle{\frac{4}{18}}\pi =0.6428$，$\sin \displaystyle{\frac{7}{18}}\pi =0.9397$(以下兩小題皆複選，全對得12分；任一答錯倒扣12/99分)
   (A)  $l\in \{$$1$，$3$，$5$，$7$，$\}$
   (B)  $l\in \{$$2$，$3$，$6$，$7$$\}$
   (C)  $l\in \{$$4$，$5$，$6$，$7$，$8$$\}$
   (D)  $l\in \{$$0$，$8$，$9$$\}$
   
   
6. (A)  $m\in \{$$1$，$3$，$5$，$7$，$9$$\}$
   (B)  $m\in \{$$2$，$3$，$6$，$7$$\}$
   (C)  $m\in \{$$4$，$5$，$6$，$7$，$8$$\}$
   (D)  $m\in \{$$0$，$8$，$9$$\}$
   
   
7. 已知三角形$ABC$的邊$\overline{AB}=9$，$\overline{AC}=8$，角$\angle A=40{}^\circ$，在$\overline{AB}$上取一點$D$，在$\overline{AC}$上取一點$E$，而$\overline{DE}$把$\Delta ABC$的面積等分為二。試問:若要求$\overline{DE}$之長度為最短，$\overline{AD}$及$\overline{AE}$之值應為何?(以下兩小題皆單選，全對得12分；任一答錯倒扣12/24分)
   $\overline{AD}=$
   (A)  $3$
   (B)  $4$
   (C)  $4.5$
   (D)  $6$
   (E)  $7.5$
   
   
8. $\overline{AE}=$
   (A)  $2$
   (B)  $3$
   (C)  $4$
   (D)  $4.5$
   (E)  $6$
   
   
9. 將坐標軸旋轉$\theta$角($0<\theta < \displaystyle{\frac{\pi }{2}})$，可以把二次曲線$4{{x}^{2}}+4xy+{{y}^{2}}-6x-3y+2=0$的方程式化為標準形式，求出$\tan \theta$以及這個標準形式。(單選，4分；答錯倒扣4/4分)
   (A)  $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
   (B)  $\displaystyle{\frac{1}{2}}$
   (C)  $1$
   (D)  $2$
   (E)  $3$
   
   
10. (單選，6分；答錯倒扣6/4分)
    這曲線是
    (A)  橢圓(非退化)
    (B)  雙曲線(非退化)
    (C)  拋物線(非退化)
    (D)  相交兩直線
    (E)  以上皆非
    
    
11. 試求$\displaystyle{\frac{x}{a}}+\displaystyle{\frac{a}{x}}=\displaystyle{\frac{y}{b}}+\displaystyle{\frac{b}{y}}=\displaystyle{\frac{x}{y}}+\displaystyle{\frac{y}{x}}$的實解。解出之後再用$a=8$，$b=27$代入，設此時有$N$組不同解$({{x}_{i}}$，${{y}_{i}})$，$i=1$，…，$N$($N>1$)；將這$N$組不同解依字典排法排列:即要求${{x}_{i}}\le {{x}_{i+1}}$($x$自小到大排列)，而當${{x}_{i}}={{x}_{i+1}}$時，要求${{y}_{i}}<{{y}_{i+1}}$。試問:$N=?$第二組解(${{x}_{2}}$，${{y}_{2}}$)為何?(單選，4分；答錯倒扣4/4分)
    (A)  $N=2$
    (B)  $N=3$
    (C)  $N=4$
    (D)  $N=6$
    (E)  $N=8$
    
    
12. (以下下列兩小題皆單選，全對得8分；任一答錯倒扣8/24分)
    ${{x}_{2}}=$
    (A)  $4$
    (B)  $6$
    (C)  $8$
    (D)  $12$
    (E)  $18$
    
    
13. ${{y}_{2}}=$
    (A)  $6$
    (B)  $8$
    (C)  $9$
    (D)  $12$
    (E)  $18$
    
    

第二部分：非選擇題(共占40分)

1. 設從區間$[-5$，$5]=\{x$：$-5\le x\le 5\}$中任意選出一個實數$x$，試求${{\log }_{14}}({{x}^{3}}-5x+12)<1$之機率為$p$。
   
   
2. 試證明:對於一切自然數$n$，$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$恆成立。再計算$[\sum\limits_{n=1}^{10000}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}}]$，此處高斯符號$[x]$表示正實數$x$的「整數部分」。
   
   
3. 如果$\alpha$，$\beta$，$\gamma$滿足$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =0$且$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =0$，試證明:$\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =0$且$\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0$。
   
   
4. 繪圖表示不等式$\left| {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-169 \right|-6x+8y\le 130$的範圍，並求它的面積。