[段考] 108上第1次段考-台中-台中一中-高一(詳解)

108上第1次段考-台中-台中一中-高一(詳解)

範圍：108上龍騰單元1~單元5

　 　

---

說明：	說明：請將答案畫記在答案卡上對應之處，若有畫記不清致讀卡無法辨識者，其責任自負。答案卡上應書寫處未完整書寫者，扣總分十分以為懲戒。本評量之得分，依標示所列，若總得分超過100分，以100分計算。本次測驗可使用科學型計算機應試，但不能使用手機、平板、行動載具等內附的計算機App。

1. $\left[ (1.675\times {{10}^{-27}})+\left( 1.673\times {{10}^{-27}} \right) \right]\div \left( 9.109\times {{10}^{-31}} \right)\risingdotseq 0.3675\times {{10}^{4}}\approx 3700$倍
   $\Rightarrow $選(2)
   
   
2. $m\to {{m}^{2}}\to {{({{m}^{2}})}^{2}}\to {{({{({{m}^{2}})}^{2}})}^{2}}={{m}^{8}}$
   ${{m}^{8}}=1000\Rightarrow m={{1000}^{\displaystyle{\frac{1}{8}}}}\risingdotseq 2.37$
   $\Rightarrow $選(2)
   
   
3. $x=log N$$\Rightarrow $$log x=log(log N)=108$$\Rightarrow $$log N={{10}^{108}}$$\Rightarrow $$\text{1}{{\text{0}}^{\text{108}}}\text{+1}$位$\Rightarrow $選(4)
   
   
4. 令高跟鞋高$h\ cm$
   $\Rightarrow \overline{AB}=170-102=68$、$\overline{BC}$(穿高跟鞋)$=h+102$
   $\overline{AC}$(穿高跟鞋)$=h+170\Rightarrow \displaystyle{\frac{68}{h+102}}=\displaystyle{\frac{h+102}{h+170}}$
   $\Rightarrow {{(h+102)}^{2}}=68(h+170)$
   $\Rightarrow h=\displaystyle{\frac{+136\pm \sqrt{23120}}{2}}\risingdotseq \displaystyle{\frac{-136\pm 152}{2}}\risingdotseq 8$
   $\Rightarrow $選(3)
   
   

5. (1)正確
   (2)$a$可能為$0$，此時無意義，不正確
   (3)正確
   (4)正確
   (5)錯誤，$\sqrt[n]{{{a}^{\pi }}}$應為$a^{\frac{\pi }{n}}$
   
   
6. (1)反例:$b=\sqrt{2}$，${{b}^{2}}=2\in R$
   (2)正確
   (3)正確
   (4)反例:$a=1$，$b=1-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
   (5)反例:$a=1$，$b=-\sqrt{2}$
   
   
7. (1)$ \displaystyle{\frac{5}{13}}=0.\overline{384615}$，不選
   (2)$ \displaystyle{\frac{1}{7}}=0.\overline{142857}$，正確
   (3)$a\div b=\displaystyle{\frac{35}{13}}=2\displaystyle{\frac{9}{13}}$必為循環小數，正確
   (4)$a\times b=\displaystyle{\frac{5}{91}}=0.\overline{054945}$，正確
   (5)$a+b=\displaystyle{\frac{1}{7}}+\displaystyle{\frac{5}{13}}=\displaystyle{\frac{48}{91}}=0.\overline{527472}$
   $2019\div 6$餘$3\Rightarrow 7$，正確
   
   
8. 由圓的子母相似性質知:$\overline{DC}=\sqrt{\overline{AC}\cdot \overline{BC}}$
   (1)$\overline{CB}=5\Rightarrow \overline{CD}=\sqrt{15}$
   (2)$\overline{CD}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\Rightarrow \overline{AD}=\sqrt{{{\sqrt{6}}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{15}$
   (3)錯誤，可取$\overline{BC}=\displaystyle{\frac{2250}{13}}$，即得$\overline{CD}=15$
   (4)錯誤，當$\overline{AC}=3$、$\overline{BC}=2$時，半徑$=2.5<\sqrt{15}$
   (5)$\sqrt{\sqrt{15}+1}$皆為二次方根及有理數組成，正確
   
   
9. (1)$[18-2,18+2]=[16,20]$，正確
   (2)$39\times 0.7=27.3\Rightarrow 27$，正確
   (3)$\left| I-\displaystyle{\frac{24+18.5}{2}} \right|\le \displaystyle{\frac{24-18.5}{2}}\le 18.5$，正確
   (4)$a=\displaystyle{\frac{100}{1.72}}\risingdotseq 34.6\Rightarrow \left| \alpha -10 \right|\risingdotseq 10.6>10$，正確
   (5)$t+2t=390\Rightarrow t=130$若第二個手卷熱量為$130$，小串吃到一半$\Rightarrow $減少吸收的熱量＜$130$，錯誤，不選
   
   

1. ${{4}^{a}}=5\Rightarrow {{2}^{2a}}=5\Rightarrow {{2}^{a}}=\sqrt{5}$
   $\Rightarrow {{8}^{a}}={{({{2}^{3}})}^{a}}={{({{2}^{a}})}^{3}}=5\sqrt{5}$
   $\Rightarrow {{2}^{a+2}}={{2}^{a}}\times 4=4\sqrt{5}$
   $\Rightarrow {{8}^{9}}-{{2}^{a+2}}=5\sqrt{5}-4\sqrt{5}=\sqrt{5}\risingdotseq 2.236$
   $\Rightarrow 2.2$
   
   
2. 分為$(-\infty $，$2]$、$(-2$，$7)$、$[7$，$\infty )$討論
   $x\in $$(-\infty $，$2]$
   $\Rightarrow -x-2-2x+14\le 15\Rightarrow x\ge -1$
   $\Rightarrow $無交集
   
   $x\in $$(-2$，$7)$
   $\Rightarrow x+2-2x+14\le 15\Rightarrow x\ge 1$
   $x\in $$[1$，$7)$
   
   $\Rightarrow x\in $$[7$，$\infty )$
   $\Rightarrow x+2+2x-14\le 15$
   $\Rightarrow 3x\le 27$
   $\Rightarrow x\le 9$
   $\Rightarrow x\in $$[7$，$9]$
   
   將$[1$，$7)$與$[7$，$9]$聯集$\Rightarrow $$[1$，$9]$
   $\Rightarrow $$(a$，$b)=(7$，$9)$
   
   
3. $\sqrt{14-4\sqrt{10}}=\sqrt{14-2\sqrt{40}}=\sqrt{10}-2=1.\cdots $
   $\Rightarrow a=1$，$b=\sqrt{10}-3$
   $\Rightarrow \displaystyle{\frac{1}{a+b+5}}-\displaystyle{\frac{1}{b}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}+3}}-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{10}-3}}=-6$
   
   
4. ${{x}^{3}}=2-\displaystyle{\frac{1}{2}}-3\cdot {{\sqrt[3]{2}}^{2}}\cdot \displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}+{{3}^{3}}\cdot \sqrt{2}\cdot \displaystyle{\frac{1}{{{\sqrt[3]{2}}^{2}}}}$
   $=\displaystyle{\frac{3}{2}}-3(\sqrt[3]{2}-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}})=\displaystyle{\frac{3}{2}}-3x$
   $\Rightarrow {{x}^{3}}+3x=\displaystyle{\frac{3}{2}}$
   $\Rightarrow 4{{x}^{3}}+12x+5=4({{x}^{3}}+3x)+5$
   $=4\times \displaystyle{\frac{3}{2}}+5=11$
   
   
5. 竹籬$600m\Rightarrow $矩形周長$630m$
   $\Rightarrow $最大面積為正方形，即${{(\displaystyle{\frac{630}{4}})}^{2}}$
   $=24806.25$
   
   
6. $2\risingdotseq {{10}^{0.03010}}\Rightarrow {{2}^{77232917}}\approx {{10}^{0.3010\times 77232917}}$
   $={{10}^{23247108.01\cdots }}$，$23247109$位數
   $\Rightarrow 23247109\div 23715\risingdotseq 980.2$
   $\Rightarrow 981$頁
   
   

7. 令$f(x)=\left| x-a \right|+2\left| x-b \right|+2x-108$，解$f(x)=0$
   $f(a)=2(b-a)+2a-108=2b-108$
   $f(b)=(b-a)+2b-108=(2b-108)+(b-a)$
   $f(b)>f(a)$，因此最小值為$2b-108$
   $2b-108=0$$\Rightarrow $$b=54$